Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

Mai Hương Ngày: 21-01-2024 Lớp 8

108

Với giải Bài 17 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bài 17 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) $M = \frac{x - 2 y}{3 x + 6 y} : \frac{x^{2} - 4 y^{2}}{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}}$

b) $N = (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}) (\frac{1}{y} + \frac{2}{x - y})$

c) $P = (\frac{x^{3} + y^{3}}{x + y} - x y) : (x^{2} - y^{2}) + \frac{2 y}{x + y}$

Lời giải:

a) Rút gọn biểu thức $M$ ta có:

$\begin{array}{l} M = \frac{x - 2 y}{3 x + 6 y} : \frac{x^{2} - 4 y^{2}}{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}} \\ = \frac{x - 2 y}{3 x + 6 y} . \frac{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}}{x^{2} - 4 y^{2}} \\ = \frac{(x - 2 y) . {(x + 2 y)}^{2}}{3 (x + 2 y) . (x - 2 y) (x + 2 y)} \\ = \frac{1}{3} \end{array}$

Ta thấy $M = \frac{1}{3}$ vậy giá trị của biểu thức $M$ không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Rút gọn biểu thức $N$ ta có:

$\begin{array}{l} N = (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}) (\frac{1}{y} + \frac{2}{x - y}) \\ = (\frac{x (x + y)}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}) (\frac{x - y}{y (x - y)} + \frac{2 y}{y (x - y)}) \\ = (\frac{x^{2} + x y - x^{2} - y^{2}}{x + y}) (\frac{x - y + 2 y}{y (x - y)}) \\ = (\frac{x y - y^{2}}{x + y}) (\frac{x + y}{y (x - y)}) \\ = (\frac{y (x - y)}{x + y}) (\frac{x + y}{y (x - y)}) \\ = 1 \end{array}$

Ta thấy $N = 1$ vậy giá trị của biểu thức $N$ không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) Rút gọn biểu thức $P$ ta có:

$\begin{array}{l} P = (\frac{x^{3} + y^{3}}{x + y} - x y) : (x^{2} - y^{2}) + \frac{2 y}{x + y} \\ = (\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x + y} - x y) : (x - y) (x + y) + \frac{2 y}{x + y} \\ = (x^{2} - x y + y^{2} - x y) : (x - y) (x + y) + \frac{2 y}{x + y} \\ = \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x y}{(x - y) (x + y)} + \frac{2 y}{x + y} \\ = \frac{{(x - y)}^{2}}{(x - y) (x + y)} + \frac{2 y}{x + y} \\ = \frac{x - y}{x + y} + \frac{2 y}{x + y} \\ = \frac{x + y}{x + y} = 1 \end{array}$