Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng sách Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 19: Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Câu hỏi trang 31 Toán 10

HĐ1 trang 31 SGK Toán 10 Tập 2: Cho vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho $\overrightarrow{AM}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$.

Lời giải:

Tập hợp tất cả những điểm M để $\overrightarrow{AM}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ là đường thẳng qua A và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{n}$.

HĐ2 trang 31 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A\left(x_o;y_o\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$. Chứng minh rằng điểm $M\left(x;y\right)$ thuộc $\mathrm{\Delta }$ khi và chỉ khi:

$a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$.

Lời giải:

Gọi $M\left(x;y\right)$

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(x-x_o;y-y_o\right),\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$

$M\in \mathrm{\Delta }\iff \overrightarrow{AM}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n}$

Hay $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0\iff a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$ (ĐPCM).

Câu hỏi trang 32 Toán 10

Luyện tập 1 trang 32 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(1; 3), B(-1;- 1), C(5 - 3). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

$\overrightarrow{BC}$ là vevto pháp tuyến của đường thẳng AH.

Lời giải:

Đường cao AH đi qua điểm $A\left(-1;5\right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AH}}=\overrightarrow{BC}=\left(4;-2\right)$.

Phương trình tổng quát của AH là $4\left(x+1\right)-2\left(y-5\right)=0\iff 2x-y+7=0$.

Luyện tập 2 trang 32 SGK Toán 10 Tập 2: Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyển của đường thẳng $\mathrm{\Delta }:y=3x+4$.

Lời giải:

Ta có $\mathrm{\Delta }:y=3x+4\iff \mathrm{\Delta }:3x-y+4=0$

Vậy vectơ pháp tuyến của $\mathrm{\Delta }$ là $\overrightarrow{n}=\left(3;-1\right)$.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

HĐ3 trang 32 SGK Toán 10 Tập 2: Trong hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng $\overrightarrow{v}$ và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?

Lời giải:

Vật thể sẽ di chuyển trên đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_2$

Câu hỏi trang 33 Toán 10

Luyện tập 3 trang 33 SGK Toán 10 Tập 2:  Hãy chỉ ra một vectơ chí phương của đường thẳng $\mathrm{\Delta }:2x-y+1=0$.

Phương pháp giải:

Tìm vectơ pháp tuyến, từ đó suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=\left(2;-1\right)$, suy ra $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=\left(1;2\right)$.

HĐ4 trang 33 SGK Toán 10 Tập 2: Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi  hành từ $A\left(2;1\right)$ và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}\left(3;4\right)$.

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t>0) tính từ lúc khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là $\left(2+3t;1+4t\right)$.

Lời giải:

a) Vật thể đi qua điểm $A\left(2;1\right)$ và  đi theo hướng  vectơ $\overrightarrow{v}\left(3;4\right)$.

b) Sau thời gian t thì vectơ vận tốc của vật thể là: $t\overrightarrow{v}=\left(3t;4t\right)$.

Vậy tọa độ của vật thể sau thời gian t là: $\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{v}=\left(2+3t;1+4t\right)$.

Luyện tập 4 trang 33 SGK Toán 10 Tập 2: Lập phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M\left(-1;2\right)$ và song song với đường thẳng $d:3x-4y-1=0$.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến cùng phương

Lời giải:

Vì hai đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và d song song với nhau nên ta có thể chọn $\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=\overrightarrow{n_d}=\left(3;-4\right)$.

Mặt khác, $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M\left(-1;2\right)$nên phương trình $\mathrm{\Delta }$ là:

$3\left(x+1\right)-4\left(y-2\right)=0\iff 3x-4y+11=0$.

Luyện tập 5 trang 33 SGK Toán 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt $A\left(x_1;y_1\right);B\left(x_2;y_2\right)$ cho trước.

Phương pháp giải:

$\overrightarrow{AB}$ là vevto chỉ phương của đường thẳng AB.

Lời giải:

Đường thẳng AB đi qua điểm $A\left(x_1;y_1\right)$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;y_2-y_1\right)$

Do đó, AB có phương trình tham số là: $\{\begin{array}{l}x=x_1+\left(x_2-x_1\right)t\\ y=y_1+\left(y_2-y_1\right)t\end{array}$

Chọn $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(y_2-y_1;-\left(x_2-x_1\right)\right)$, suy ra AB có phương trình tổng quát là:

$\left(y_2-y_1\right)\left(x-x_1\right)-\left(x_2-x_1\right)\left(y-y_1\right)=0$.

Câu hỏi trang 34 Toán 10

Vận dụng trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1 686 – 1 736) được xác định bởi hai mốc sau: Nước đóng băng ở 0°C, 32°F: Nước sôi ở 100°C, 212°F. Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212). Hỏi 0°F, 100°F tương ứng với bao nhiêu độ C?

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng AB, từ đó tìm được mối liên hệ giữa hoành độ (độ C) với tung độ (độ F).

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{AB}=\left(100;180\right)$ suy ra $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(9_1;-5\right)$.

Mặt khác AB đi qua điểm $A\left(0;32\right)$ nên phương trình của AB là $9x-5y+160=0\iff x=\frac{5y-160}{9}$.

Với $y=0{}^{o}F$ ta có: $x=\frac{5.0-160}{9}=\left(\frac{-160}{9}\right){}^{o}C$

Với $y=100{}^{o}F$ ta có: $x=\frac{5.100-160}{9}=\left(\frac{340}{9}\right){}^{o}C$

Vậy $0{}^{o}F$,$100{}^{o}F$tương ứng xấp xỉ $-18{}^{o}C,38{}^{o}C$.

Bài tập

Bài 7.1 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho$\overrightarrow{n}=\left(2;1\right),\overrightarrow{v}=\left(3,2\right),A\left(1,3\right),B\left(-2;1\right)$ .

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$ đi qua A và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_2$, đi qua B và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$.

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng$\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_o\left(x_o;y_o\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\left(\overrightarrow{n}\ne 0\right)$làm vectơ pháp tuyến là: $a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$.

Phương trình tham số của đường thẳng$\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_o\left(x_o;y_o\right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\left(\overrightarrow{u}\ne 0\right)$làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{array}{l}x=x_o+at\\ y=y_o+bt\end{array}$  ( $t$ là tham số )

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$ là: $2\left(x-1\right)+1\left(y-3\right)=0\iff 2x+y-5=0$.

b) Phương trình tham số của đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_2$  là:$\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=1+2t\end{array}$

c) Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm $A\left(1;3\right)$ nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-2\right)$ là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của AB là $\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=3-2t\end{array}$

Bài 7.2 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ

Phương pháp giải:

Trục số  đi qua điểm O và có vectơ pháp tuyến lần lượt là .

Lời giải:

Trục $\mathrm{O}x$ đi qua $O\left(0;0\right)$ và nhận $\overrightarrow{j}=\left(1;0\right)$ là vectơ pháp tuyến, do đó phương trình tổng quát của trục Ox là $0.\left(x-0\right)+1.\left(y-0\right)=0\iff y=0$.

Trục Oy đi qua $O\left(0;0\right)$ và nhận $\overrightarrow{i}=\left(0;1\right)$ là vectơ pháp tuyến, do đó phương trình tổng quát của trục Oy là $1.\left(x-0\right)+0.\left(y-0\right)=0\iff x=0$.

Bài 7.3 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Cho phương trình hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:\{\begin{array}{l}x=-1-3t\\ y=2+2t\end{array}$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:2x+3y-5=0$.

a) Lập phương trình tổng quát của ${\mathrm{\Delta }}_1$

b) Lập phương trình tham số của ${\mathrm{\Delta }}_2$

Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng$\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_o\left(x_o;y_o\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\left(\overrightarrow{n}\ne 0\right)$làm vectơ pháp tuyến là: $a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$.

Phương trình tham số của đường thẳng$\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_o\left(x_o;y_o\right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\left(\overrightarrow{u}\ne 0\right)$làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{array}{l}x=x_o+at\\ y=y_o+bt\end{array}$  ( $t$ là tham số )

Lời giải:

a) Đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{{\mathrm{\Delta }}_1}=\left(2;5\right)$

Do đó ${\overrightarrow{n}}_{{\mathrm{\Delta }}_1}=\left(-5;2\right)$, đồng thời ${\mathrm{\Delta }}_1$ đi qua điểm $M\left(1;3\right)$ nên  phương trình tổng quát của ${\mathrm{\Delta }}_1$ là: $5\left(x-1\right)-2\left(y-3\right)=0\iff 5x-2y+1=0$.

b) Đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_2$có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{{\mathrm{\Delta }}_2}=\left(2;3\right)$

Do đó ${\overrightarrow{u}}_{{\mathrm{\Delta }}_1}=\left(-3;2\right)$, đồng thời ${\mathrm{\Delta }}_2$ đi qua điểm $N\left(1;1\right)$ nên  phương trình tham số của ${\mathrm{\Delta }}_2$ là: $\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1-2t\end{array}$.

Bài 7.4 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(-2; -1).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Phương pháp giải:

a) Đường cao kẻ tử A đi qua A có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC}$.

b) Đường trung tuyến kẻ từ B đi qua hai điểm B và M trong M là trung điểm của cạnh AC.

Lời giải:

a) Đường cao kẻ từ A  của tam giác ABC là đường thẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC}=\left(-5;-1\right)$ nên phương trình đường cao đó là:

$-5\left(x-1\right)-1\left(y-2\right)=0\iff 5x+y-7=0$

b) Gọi M là trung điểm AC. Khi đó $\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{1+\left(-2\right)}{2}=-\frac{1}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{2+\left(-1\right)}{2}=\frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow M\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

Trung tuyến BM đi qua điểm $B\left(3;0\right)$ nhận vectơ $\overrightarrow{u_{BM}}=2\overrightarrow{BM}=\left(-7;1\right)$ là vectơ chỉ phương  nên phương trình tham số của BM là $\{\begin{array}{l}x=3-7t\\ y=t\end{array}$.

Bài 7.5 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(a;0\right),B\left(0;b\right)\left(ab\ne 0\right)$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Phương pháp giải:

Viết phương trình tổng quát của AB rồi biến đổi phương trình về dạng cần chứng minh.

Lời giải:

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{AB}=\left(-a;b\right)$. Do đó $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(b;a\right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến  $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(b;a\right)$ và đi qua điểm $A\left(a;0\right)$là: $b\left(x-a\right)+a\left(y-0\right)\iff bx+ay-ab=0\iff \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Bài 7.6 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2° Bắc, kinh độ 105,8° Đông, sân bay Đà Nẵng có Vĩ độ 16,1° Bắc, kinh độ 108,2° Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ x° Bắc, kinh độ y° Đông được tính theo công thức

$\{\begin{array}{l}x=21,2-\frac{153}{40}t\\ y=105,8+\frac{9}{5}t\end{array}$

a) Hỏi chuyển bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 ( 17 độ Bắc) chưa?

Phương pháp giải:

a) Thời gian bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng ứng với tham số t thõa mãn tọa độ của sân bay Đà Nẵng.

b) Tìm hoành độ tại thời điểm $t=1$, rồi rút ra kết luận.

Lời giải:

a) Máy bay đến sân bay Đà Nẵng ứng với thời gian t (giờ) thỏa mãn:

$\{\begin{array}{l}16,1=21,2-\frac{153}{40}t\\ 108,2=105,8+\frac{9}{5}t\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{153}{40}t=5,1\\ \frac{9}{5}t=2,4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{4}{3}\\ t=\frac{4}{3}\end{array}\iff t=\frac{4}{3}$.

Chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất $\frac{4}{3}$ giờ.

b) Tại thời điểm $t=1$ giờ, ta có $x=21,2-\frac{153}{40}.1=17,375$

Vậy tại thời điểm 1 giờ sau khi cất cánh , máy bay ở vị trí có vĩ độ $17,{375}^o$ Bắc nên máy bay chưa bay qua vĩ tuyến 17.