SBT Toán 7 Kết nối tri thức Bài 25: Đa thức một biến

Giang Ngày: 01-02-2023 Lớp 7

788

Toptailieu biên soạn và giới thiệu giải sách bài tập Toán 7 Bài 25: Đa thức một biến sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 7 Bài 25.

Giải SBT Toán 7 Bài 25 (Kết nối tri thức): Đa thức một biến

Bài 7.7 trang 24 sách bài tập Toán 7: Trong các biểu thức sau đây, biểu thức nào là đa thức một biến?

a) $\frac{x^{2}}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}$ ; b) $\sqrt{2 x}$ ;

c) $(1 - \sqrt{2}) x^{3} + 2$ ; d) $x + \frac{1}{x}$

Phương pháp giải

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức có cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Lời giải

a) $\frac{x^{2}}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} . x^{2} - \sqrt{3}$ là đa thức một biến

b) $\sqrt{2 x}$ không là đa thức một biến

c) $(1 - \sqrt{2}) x^{3} + 2$ là đa thức một biến

d) $\frac{1}{x}$ không là đơn thức nên $x + \frac{1}{x}$ không là đa thức một biến.

Bài 7.8 trang 25 sách bài tập Toán 7: Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức sau đây theo luỹ thừa giảm của biến rồi tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó.

a) $F (x) = - 2 + 4 x^{5} - 2 x^{3} - 4 x^{5} + 3 x + 3$

b) $G (x) = - 5 x^{3} + 4 - 3 x + 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 3$ .

Phương pháp giải

Cho một đa thức khác đa thức không. Trong dạng thu gọn của nó:

-Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức;

-Hệ số của hạng tủ có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất;

-Hệ số của hạng tử có bậc 0 (hạng tử không chứa biến) gọi là hệ số tự do.

Lời giải

$\begin{array}{l} F (x) = - 2 + 4 x^{5} - 2 x^{3} - 4 x^{5} + 3 x + 3 \\ F (x) = (4 x^{5} - 4 x^{5}) - 2 x^{3} + 3 x + (- 2 + 3) \\ F (x) = - 2 x^{3} + 3 x + 1 \end{array}$

Bậc: 3

Hệ số cao nhất: -2

Hệ số tự do: 1

$\begin{array}{l} G (x) = - 5 x^{3} + 4 - 3 x + 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 3 \\ G (x) = (- 5 x^{3} + 4 x^{3}) + x^{2} + (- 3 x + 6 x) + (4 - 3) \\ G (x) = - x^{3} + x^{2} + 3 x + 1 \end{array}$

Bậc: 3

Hệ số cao nhất: -1

Hệ số tự do: 1

Bài 7.9 trang 25 sách bài tập Toán 7: Bằng cách tính giá trị của đa thức F(x) =x³ + 2x² +x tại các giá trị của x thuộc tập hợp {-2; -1; 0; 1; 2}, hãy tìm hai nghiệm của đa thức F(x).

Phương pháp giải

-Thay x = -2; x = -1; x = 0; x = 1; x = 2 vào đa thức F(x).

-Nếu tại x = a (với a là một số), giá trị của một đa thức bằng 0 thì ta gọi a (hay x = a) là một nghiệm của đa thức đó.

Lời giải

Ta có:

$F (- 2) = {(- 2)}^{3} + 2. {(- 2)}^{2} + (- 2) = - 8 + 8 - 2 = - 2$

$F (- 1) = {(- 1)}^{3} + 2. {(- 1)}^{2} + (- 1) = - 1 + 2 - 1 = 0$

$F (0) = 0^{3} + {2.0}^{2} + 0 = 0$

$F (1) = 1^{3} + {2.1}^{2} + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$

$F (2) = 2^{3} + {2.2}^{2} + 2 = 8 + 8 + 2 = 18$

Hai nghiệm của đa thức F(x) là x = -1 và x = 0.

Bài 7.10 trang 25 sách bài tập Toán 7: Tìm đa thức P(x) bậc 3 thoả mãn các điều kiện sau:

P(x) khuyết hạng tử bậc hai;
Hệ số cao nhất là 4
Hệ số tự do là 0;
$x = \frac{1}{2}$ là một nghiệm của P(x).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- P(x) bậc 3 khuyết hạng tử bậc 2 có dạng: P(x) = $a x^{3} + b x + c$

-Dựa vào các khái niệm hệ số cao nhất, hệ số tự do, nghiệm để tìm a, b, c.

Lời giải chi tiết

P(x) bậc 3 khuyết hạng tử bậc 2 có dạng: P(x) = $a x^{3} + b x + c$

Hệ số cao nhất là 4 nên a = 4

Hệ số tự do là 0 nên c = 0

Khi đó P(x) = $4 x^{3} + b x$

$P (\frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow 4. {(\frac{1}{2})}^{3} + b . \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow b . \frac{1}{2} == \frac{- 1}{2} \Rightarrow b = - 1$

Vậy $P (x) = 4 x^{3} - x$ .

Bài 7.11 trang 25 sách bài tập Toán 7: Cho 2 đa thức A(x) = - x4 + 2,5x3 + 3x2 - 4x; B(x) = x4 + $\sqrt{2}$ .

a) Chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm của đa thức A(x) nhưng không là nghiệm của đa thức B(x).

b) Chứng tỏ rằng đa thức B(x) không có nghiệm.

Phương pháp giải

a) Thay x = 0 vào 2 đa thức A(x) và B(x)

Chứng minh: A(0) = 0; B(0) # 0.

b) Chứng minh B(x) > 0 với mọi x

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} A (0) = - 0^{4} + 2, {5.0}^{3} + {3.0}^{2} - 4.0 = 0 \\ B (0) = 0^{4} + \sqrt{2} = \sqrt{2} \neq 0 \end{array}$

Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức A(x) nhưng không là nghiệm của đa thức B(x).

Ta có:

$\begin{array}{l} x^{4} \geq 0, \forall x \\ \Rightarrow x^{4} + \sqrt{2} \geq \sqrt{2} > 0, \forall x \\ \Rightarrow B (x) > 0, \forall x \end{array}$

Vậy B(x) không có nghiệm.

Bài 7.12 trang 25 sách bài tập Toán 7: Biết rằng hai đa thức G(x) = x2- 3x + 2; H(x) = x2 + x - 6 có một nghiệm chung. Hãy tìm nghiệm chung đó

Phương pháp giải

- Giả sử a là nghiệm của cả hai đa thức.

-Lấy $G (a) - H (a) = 0$

-Tìm a.

-Thử lại kiểm tra kết quả.

Lời giải

Giả sử a là nghiệm của cả hai đa thức.

Hai đa thức G(x) và H(x) có một nghiệm chung nên G(a) = H(a) = 0

$\begin{array}{l} \Rightarrow G (a) - H (a) = 0 \\ \Rightarrow (a^{2} - 3 a + 2) - (a^{2} + a - 6) = 0 \\ \Rightarrow a^{2} - 3 a + 2 - a^{2} - a + 6 = 0 \\ \Rightarrow - 4 a + 8 = 0 \\ \Rightarrow - 4 a = - 8 \\ \Rightarrow a = 2 \end{array}$

Thử lại bằng cách tính G(2) và H(2), ta thấy x = 2 là nghiệm của hai đa thức G(x) và H(x).

Bài 7.13 trang 25 sách bài tập Toán 7: Người ta định dùng những viên gạch với kích thước như nhau để xây một bức tường (có dạng hình hộp chữ nhật) dày 20 cm, dài 6m và cao x(m). Số gạch đã có là 450 viên.

a)Tìm đa thức (biến x) biểu thị số gạch cần mua thêm để xây tường, biết rằng cứ xây mỗi mét khối tường thì cần 542 viên gạch. Xác định bậc và hệ số tự do của đa thức đó.

b) Nếu chỉ dùng số gạch sẵn có thì xây được bức tường cao khoảng bao nhiêu mét? (Tính chính xác đến 0,1m)

Phương pháp giải

-Tính thể tích hình hộp chữ nhật = chiều dài . chiều rộng . chiều cao.

-Tính số viên gạch cần dùng.

-Tính số viên gạch cần mua thêm.

b) Nếu chỉ dùng số gạch sẵn có để xây tường thì số gạch mua thêm là 0

Lời giải

Bức tường có dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước là 0,2m; 6m và x (m).

Thể tích của nó là: 0,2 . 6 . x = 1,2x (m3).

Mỗi mét khối trường xây hết 542 viên gạch nên số gạch cần dùng để xây bức tường là:

542 . 1,2x = 650,4.x (viên).

Số gạch đã có là 450 viên.

Vậy số gạch cần mua thêm là:

$F (x) = 650, 4 x - 450$

Nếu chỉ dùng số gạch sẵn có để xây tường thì số gạch mua thêm là 0

$\begin{array}{l} \Rightarrow 650, 4 x - 450 = 0 \\ \Rightarrow 650, 4 x = 450 \\ \Rightarrow x = 450 : 650, 4 \\ \Rightarrow x \approx 0, 7 (m) \end{array}$