SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Nguyễn Thanh Huyền Ngày: 16-02-2023 Lớp 10

446

Toptailieu biên soạn và giới thiệu giải sách bài tập Toán 10 Bài 8 (Kết nối tri thức): Tổng và hiệu của hai vectơ hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 10 Bài 8.

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Câu hỏi trang 50 SBT Toán 10

Bài 4.7 trang 50 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Chứng minh rằng:

Cho hai vectơ a và vecto b không cùng phương

Lời giải:

Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn: $\vec{a} = \vec{A B}, \vec{b} = \vec{B C}$

Cho hai vectơ a và vecto b không cùng phương

Khi đó ta có: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (quy tắc ba điểm)

Do đó:

Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác

Mặt khác: xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 4.8 trang 50 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.

a) Chứng minh rằng O là trung điểm MN.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O

Nên O là trung điểm của AC và BD và $\hat{A D O} = \hat{C B O}$

Xét ∆ODN và ∆OBM có:

OD = OB (do O là trung điểm của BD),

$\hat{D O N} = \hat{B O M}$ (hai góc đối đỉnh),

$\hat{N D O} = \hat{M B O}$ (do $\hat{A D O} = \hat{C B O}$ )

$\Rightarrow$ ∆ODN = ∆OBM (g.c.g)

$\Rightarrow$ ON = OM (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ O là trung điểm của NM.

Vậy O là trung điểm của NM.

b) Vì G là trọng tâm ∆BCD nên $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$

$\Rightarrow (\vec{G M} + \vec{M B}) + \vec{G C} + (\vec{G N} + \vec{N D}) = \vec{0}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \vec{G M} + \vec{M B} + \vec{G C} + \vec{G N} + \vec{N D} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G M} + \vec{G C} + \vec{G N} + (\vec{M B} + \vec{N D}) = \vec{0}$ (*)

Ta có: O là trung điểm của NM (câu a), O là trung điểm của BD (câu a)

$\Rightarrow$ BMDN là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{B M} = \vec{N D}$ $\Rightarrow - \vec{M B} = \vec{N D}$

$\Rightarrow \vec{M B} + \vec{N D} = \vec{0}$

Thay vào (*) ta được $\vec{G M} + \vec{G C} + \vec{G N} + \vec{0} = \vec{0}$

Do đó $\vec{G M} + \vec{G C} + \vec{G N} = \vec{0}$

$\Rightarrow$ G là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy G là trọng tâm tam giác MNC.

Bài 4.9 trang 50 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD.

a) Chứng minh rằng $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$

b) Chứng minh rằng $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A D} + \vec{C B} .$

Lời giải:

a) Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A}$

$= \vec{A C} + \vec{C D} + \vec{D A}$

$= \vec{A D} + \vec{D A}$

$= \vec{AA}$

$= \vec{0}$

Vậy $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$

b) Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{A B} + \vec{C D}$

$= (\vec{A D} + \vec{D B}) + (\vec{C B} + \vec{B D})$

$= \vec{A D} + \vec{D B} + \vec{C B} + \vec{B D}$

$= \vec{A D} + \vec{C B} + (\vec{B D} + \vec{D B})$

$= \vec{A D} + \vec{C B} + \vec{B B}$

$= \vec{A D} + \vec{C B} + \vec{0}$

$= \vec{A D} + \vec{C B}$

Vậy $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A D} + \vec{C B} .$

Câu hỏi trang 51 SBT Toán 10

Bài 4.10 trang 51 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

a) Xác định vectơ $\vec{A F} - \vec{B D} + \vec{C E} .$

b) Xác định điểm M thoả mãn $\vec{AF} - \vec{B D} + \vec{C E} = \vec{M A} .$

c) Chứng minh rằng $\vec{M C} = \vec{A B} .$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A F} - \vec{B D} + \vec{C E}$

$= \vec{A F} + \vec{D B} + \vec{C E}$

$= \vec{A F} + \vec{D B} + \vec{E A}$ (vì E là trung điểm AC nên $\vec{C E} = \vec{E A}$ )

$= (\vec{E A} + \vec{A F}) + \vec{D B}$

$= \vec{E F} + \vec{D B}$

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow$ EF // BC và $E F = \frac{1}{2} B C$

Mà D là trung điểm của BC nên $B D = \frac{1}{2} B C$

Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, $EF = B D (= \frac{1}{2} B C)$

$\Rightarrow$ EFBD là hình bình hành

$\Rightarrow$ $\vec{E F} = \vec{D B}$

Khi đó: $\vec{A F} - \vec{B D} + \vec{C E}$ $= \vec{E F} + \vec{D B}$

$= \vec{D B} + \vec{D B}$

$= 2 \vec{D B}$

$= \vec{C B}$ (do D là trung điểm của BC)

Vậy $\vec{A F} - \vec{B D} + \vec{C E} = \vec{C B} .$

b) Điểm M thoả mãn $\vec{AF} - \vec{B D} + \vec{C E} = \vec{M A} .$

Mà $\vec{A F} - \vec{B D} + \vec{C E} = \vec{C B}$ (câu a)

Nên $\vec{M A} = \vec{C B}$

Do đó MABC là hình bình hành (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 tập 1)

Vậy điểm M thoả mãn tứ giác MABC là hình bình hành.

c) Vì MABC là hình bình hành (câu b)

Nên $\vec{M C} = \vec{A B}$ (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 tập 1)

Vậy $\vec{M C} = \vec{A B} .$

Bài 4.11 trang 51 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng A.

Bài 4.11 trang 51 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Lời giải:

Ta sử dụng các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ và $\vec{A E}$ lần lượt biểu diễn cho các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ và hợp lực $\vec{F}$ của $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ (hình vẽ dưới đây).