SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

539

Toptailieu biên soạn và giới thiệu giải sách bài tập Toán 10 Bài 10 (Kết nối tri thức): Vectơ trong mặt phẳng tọa độ hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 10 Bài 1  .

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Câu hỏi trang 58 SBT Toán 10

Bài 4.22 trang 58 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M, N, P theo thứ tự là trung điểm cạnh BC, CA, AB.

Lời giải:

Cách 1:

Gọi A(xA; yA); B(xB; yB) và C(xC; yC) là tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC.

Ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta được:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3)

Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).

Cách 2:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3)

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Nên MN, NP, PM là các đường trung bình của tam giác ABC.

Þ MN // AB, NP // BC, MP // AC.

+) Do MN // BM và NP // BM nên tứ giác MNPB là hình bình hành

Gọi B(xB; yB) và có M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3).

MB=xB4;yB và NP=25;32=3;1

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3)

Tương tự ta cũng có A(3; 5) và C(7; –1).

Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).

Bài 4.23 trang 58 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Từ đó suy ra tam giác ABC là một tam giác vuông cân.

b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABDC là một hình vuông.

Lời giải:

a) Với A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0) ta có:

 

+) AB=12;41=1;5

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0)

+) BC=71;04=6;4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0)

+) CA=27;10=5;1

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0)

Do đó AB = CA =26

Nên tam giác ABC cân tại A (1)

Mặt khác: BC2=2132=52

Và AB2+AC2=262+262=52

 BC2 = AB2 + AC2

Theo định lí Pythagoras đảo thì tam giác ABC vuông tại A (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông cân tại A với AB=AC=26;BC=213.

b)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0)

Vì ABC là tam giác vuông cân

Nên để ABDC là hình vuông thì tứ giác ABDC là hình bình hành

CA=DB

Gọi D(xD; yD) và có A(2;–1), B(1; 4), C(7; 0).

CA=5;1 và DB=1xD;4yD

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0)

Vậy tọa độ điểm D cần tìm là D(6; 5).

Bài 4.24 trang 58 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).

a) Tìm toạ độ của điểm P thuộc Ox sao cho PM = PN.

b) Tìm toạ độ của điểm Q sao cho MQ=2PN.

c) Tìm toạ độ của điểm R thoả mãn RM+2RN=0. Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng.

Lời giải:

a) Gọi P(a; 0) là điểm thuộc tia Ox.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5)

 (–2 – a)2 + 12 = (4 – a)2 + 52

 4 + 4a + a2 + 1 = 16 – 8a + a2 + 25

 12a = 36

 a = 3.

Vậy P(3; 0).

b) Giả sử điểm Q có tọa độ là Q(x; y).

Với M(–2; 1), N(4; 5) và P(3; 0) ta có:

+) MQ=x+2;y1

+) PN=43;50=1;5

2PN=2;10

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5)

Vậy Q(0; 11).

c) Giả sử R(x0; y0) là điểm cần tìm.

Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:

+) RM=2x0;1y0

+) RN=4x0;5y0 2RN=82x0;102y0

RM+2RN=2x0+82x0;1y0+102y0

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5)

+) Ta xét ba điểm: P(3; 0), Q(0; 11) và R2;113

PQ=3;11 và QR=2;11311=2;223

Có: 32=11223 nên hai vectơ PQ và QR cùng phương

Do đó P, Q, R thẳng hàng

Vậy ba điểm P, Q, R thẳng hàng.

Câu hỏi trang 59 SBT Toán 10

Bài 4.25 trang 59 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).

a) Tìm toạ độ của điểm P thuộc trục tung sao cho M, N, P thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ của điểm Q đối xứng với N qua Oy.

c) Tìm toạ độ của điểm R đối xứng với M qua trục hoành.

Lời giải:

a) Giả sử P(0; yP) là điểm thuộc trục tung.

Với M(–3; 2) và N(2; 7) ta có:

MP=3;yP2 và NP=2;yP7

Ba điểm M, N, P thẳng hàng

MP và NP cùng phương

32=yP2yP7 (với yP ≠ 7)

 3.(yP – 7) = –2.(yP – 2)

 3.yP – 21 = –2yP + 4

 3.yP + 2yP = 4 + 21

 5.yP = 25

 yP = 5 (thỏa mãn)

Vậy P(0; 5).

b)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7)

Vì Q đối xứng với N(2; 7) qua Oy nên:

+ Hoành độ của điểm Q là số đối của hoành độ điểm N;

+ Tung độ của điểm Q bằng với tung độ của điểm N.

Do đó Q(–2; 7).

Vậy Q(–2; 7).

c)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7)

Vì R đối xứng với M(–3; 2) qua trục hoành nên:

+ Hoành độ của điểm R bằng hoành độ điểm M;

+ Tung độ của điểm R bằng số đối của tung độ điểm M.

Do đó R(–3; –2).

Vậy R(–3; –2).

Bài 4.26 trang 59 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).

a) Tìm toạ độ của điểm E thuộc trục tung sao cho vectơ EC+ED có độ dài ngắn nhất.

b) Tìm toạ độ của điểm F thuộc trục hoành sao cho Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2) đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Lời giải:

a) Giả sử E(0; yE) là điểm thuộc trục tung.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

EC=1;6yE và ED=11;2yE

EC+ED=1+11;6yE+2yE

EC+ED=12;82yE

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Vì (8 – 2yE)2 ≥ 0  yE

Nên 122 + (8 – 2yE)2 ≥ 122  yE

Hay 122+82yE212 yE

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Do đó độ dài của vectơ EC+ED nhỏ nhất bằng 12

Dấu “=’ xảy ra  8 – 2yE = 0

 yE = 4

Vậy với E(0; 4) thì vectơ EC+ED có độ dài ngắn nhất.

b) Giả sử F(a; 0) thuộc trục hoành.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

+) FC=1a;62FC=22a;12

+) FD=11a;23FD=333a;6

2FC+3FD=22a+333a;12+6

2FC+3FD=355a;18

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Vì (35 – 5a)2 ≥ 0 a

Nên (35 – 5a)2 + 182 ≥ 182 a

Hay 355a2+182a

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Do đó độ dài của vectơ 2FC+3FD nhỏ nhất bằng 18

Dấu “=’ xảy ra  35 – 5a = 0

 a = 7

Vậy với F(7; 0) thì Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2) đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Giả sử M(x ; y) là tọa độ điểm thỏa mãn Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

+) CD=10;4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Gọi I là trung điểm của CD, khi đó ta có:

• Tọa độ của I là: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

• MC+MD=2MI

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Ta có Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

IM=CD2=2292=29.

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(6; 4) và bán kính R=29.

Bài 4.27 trang 59 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác đó.

b) Tìm toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Với ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1) ta có:

 

+) AB=2;2

+) AC=1;3

Do 2123 nên hai vectơ AB và AC không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên tạo thành một tam giác.

Gọi G(x; y) là tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1)

b) * Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Khi đó IA = IB = IC.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1)

Do đó IA = IB = IC IA2 = IB2 = IC2

 (1 – a)2 + (2 – b)2 = (3 – a)2 + (4 – b)2 = (2 – a)2 + (–1 – b)2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1)

* Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Gọi H(x0; y0) là tọa độ trực tâm của tam giác ABC.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên theo kết quả của Bài 4.15, phần a) trang 54 ta có AH=2IM (với M là trung điểm của BC).

Với A(1; 2), B(3; 4), C(2; –1) và I154;54 ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1)

• IM=52154;3254=54;14

2IM=52;12

• AH=x01;y02

Ta có: AH=2IM

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1)

Bài 4.28 trang 59 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB = 200 m, AD = 180 m, người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ AB và cách đỉnh A khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ CD và cách đỉnh C khoảng cách 30 m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ AB, AD.

Lời giải:

Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB = 200 m

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho các đỉnh của hình hồ hình chữ nhật có các tọa độ là A(0; 0), B(200; 0), C(200; 180) và D(0; 180).

Gọi vị trí các cột điện được trồng là C1, C2, C3 và C4.

Vì vị trí cột điện thứ nhất C1 nằm trên bờ AB và cách A một khoảng 20 m nên trong hệ trục tọa độ đã chọn, điểm C1(20; 0).

Vị trí cột điện thứ tư nằm trên bờ CD và cách C một khoảng 30 m nên khoảng cách từ C4 đến D là 170 m. Khi đó trong hệ trục tọa độ đã chọn, điểm C4(170; 180).

Vì bốn cột điện được trồng liên tiếp nhau và cách đều trên một đường thẳng nên:

C1C2 = C2C= C3C4

 C1C2 = C1C4 và C1C3 = C1C4.

C1C2=13C1C4 và C1C3=23C1C4

Giả sử C2(a; b) và C3(x; y).

Với C1(20; 0), C4(170; 180) ta có:

C1C4=150;180C1C2=a20;b và C1C3=x20;y

Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB = 200 m

Vậy khoảng cách từ cột điện thứ hai đến bờ AB là 60 m và đến bờ AD là 70 m.

Khoảng cách từ cột điện thứ ba đến bờ AB là 120 m và đến bờ AD là 120 m.

Đánh giá

0

0 đánh giá