SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo: Bài tập cuối chương IV

Phương Thảo Ngày: 15-02-2023 Lớp 10

391

Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài tập cuối chương IV Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo: Bài tập cuối chương IV

Câu hỏi trang 80 SBT Toán 10

Bài 1 trang 80 SBT Toán 10: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin α = \sin (180^{\circ} - α)$

B. $\cos α = \cos (180^{\circ} - α)$

C. $\tan α = \tan (180^{\circ} - α)$

D. $\cot α = \cot (180^{\circ} - α)$

Lời giải:

$\sin α = \sin (180^{\circ} - α)$

$\cos α = - \cos (180^{\circ} - α)$

Chọn A. $\sin α = \sin (180^{\circ} - α)$

Bài 2 trang 80 SBT Toán 10: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. $\cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ}$

B. $\cos 45^{\circ} = \sin 135^{\circ}$

C. $\cos 30^{\circ} = \sin 120^{\circ}$

D. $\sin 60^{\circ} = \cos 120^{\circ}$

Phương pháp giải:

$\cos α = - \cos (180^{\circ} - α)$

$\cos α = \sin (90^{\circ} - α)$

Lời giải:

$\cos 45^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 135^{\circ}$

=> A, B đúng

$\cos 30^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 120^{\circ}$ , suy ra C đúng

Chọn D.

Bài 3 trang 80 SBT Toán 10: Bất đẳng thức nào sau đây là bất đẳng thức đúng?

A. $\sin 90^{\circ} < \sin 150^{\circ}$

B. $\sin 90^{\circ} 15^{'} < \sin 90^{\circ} 30^{'}$

C. $\sin 90^{\circ} 30^{'} > \cos 100^{\circ}$

D. $\cos 150^{\circ} > \cos 120^{\circ}$

Lời giải:

$\sin 90^{\circ} < \sin 150^{\circ} \Leftrightarrow \sin 90^{\circ} - \sin 150^{\circ} < 0$

Sử dụng máy tính cầm tay: $\sin 90^{\circ} - \sin 150^{\circ}$ ta được kết quả là $\frac{1}{2} > 0$ => A sai

Tương tự ta có: $\sin 90^{\circ} 15^{'} - \sin 90^{\circ} 30^{'} = 0, 000029 > 0$ => B sai

$\sin 90^{\circ} 30^{'} - \cos 100^{\circ} = 1, 17 > 0$ => C đúng

Chọn C

Bài 4 trang 80 SBT Toán 10: Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào đúng?

A. $\sin 150^{\circ} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\cos 150^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\tan 150^{\circ} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

D. $\cot 150^{\circ} = \sqrt{3}$

Phương pháp giải:

Lời giải:

Tra bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt ta có $\tan 150^{\circ} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Chọn C.

Bài 5 trang 80 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC có $B C = a, C A = b, A B = c$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ thì góc A nhọn

B. Nếu $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ thì góc A tù

C. Nếu $b^{2} + c^{2} - a^{2} < 0$ thì góc A nhọn

D. Nếu $b^{2} + c^{2} - a^{2} < 0$ thì góc A vuông

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có: $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

Mà $a, b, c > 0 \Rightarrow 2 b c > 0$

Nên dấu của $\cos A$ phụ thuộc vào tử số $b^{2} + c^{2} - a^{2}$

Ta có $\begin{array}{l} 0^{\circ} < \hat{A} < 90^{\circ} \Rightarrow \cos A > 0 \\ 90^{\circ} < \hat{A} < 180^{\circ} \Rightarrow \cos A < 0 \\ \hat{A} = 90^{\circ} \Rightarrow \cos A = 0 \\ \hat{A} = 180^{\circ} \Rightarrow \cos A = - 1 \end{array}$

=> Nếu $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ thì góc A nhọn

Chọn A.

Bài 6 trang 80 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC có $A B = 4$ cm, $B C = 7$ cm, $C A = 9$ . Giá trị $\cos A$ là

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{8}{9}$

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{9^{2} + 4^{2} - 7^{2}}{2.9.4} = \frac{2}{3}$

Chọn A

Bài 7 trang 80 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC có $A B = 8$ cm, $A C = 18$ cm và có diện tích bằng 64 cm2. Giá trị $\sin A$ là:

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{3}{8}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{8}{9}$

Lời giải:

Áp dụng định lí sin ta có:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A \Rightarrow \sin A = \frac{2 S_{A B C}}{A B . A C} = \frac{2.64}{8.18} = \frac{8}{9}$

Chọn D

Bài 8 trang 80 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có $A B = A C = 30$ cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích của tam giác GFC là:

A. 50 $c m^{2}$

B. $50 \sqrt{2}$ $c m^{2}$

C. 75 $c m^{2}$

D. $15 \sqrt{105}$ $c m^{2}$

Lời giải:

Ta có CE, BF là đường trung tuyến nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

$\Rightarrow G F = \frac{1}{3} B F \Rightarrow S_{Δ G C F} = \frac{1}{3} S_{Δ B C F}$

Mà $C F = \frac{1}{2} A C \Rightarrow S_{Δ B C F} = \frac{1}{2} S_{Δ A B C}$

$\Rightarrow S_{Δ G C F} = \frac{1}{6} S_{Δ A B C} = \frac{1}{6} . \frac{1}{2} .30 .30 = 75 (c m^{2})$

Chọn C

Bài 9 trang 80 SBT Toán 10: Tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:

A. 2S

B. 3S

C. 4S

D. 6S

Lời giải:

Trước khi tăng ta có diện tích tam giác $S_{A B C} = \frac{1}{2} B C . C A . \sin C$

Sau khi tăng ta có: $B^{'} C = 2 B C, C A^{'} = 3 C A$ , suy ra diện tích tam giác sau khi tăng là

$S_{A^{'} B^{'} C} = \frac{1}{2} B^{'} C . A^{'} C \sin C = \frac{1}{2} .2 B C .3 C A . \sin C = 6 S_{A B C}$

Chọn D

Câu hỏi trang 91 SBT Toán 10

Bài 10 trang 81 SBT Toán 10: Cho $\hat{x O y} = 30^{\circ}$ . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho $A B = 1$ . Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

A. 1,5

B. $\sqrt{3}$

C. $2 \sqrt{2}$

D. 2

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác OAB để tính OB.

Lời giải:

Ta có: $\frac{A B}{\sin O} = \frac{O B}{\sin A} \Rightarrow O B = \sin A . \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = 2 \sin A \leq 2$

Dấu bằng xảy ra khi $\sin A = 1$ hay $A B ⊥ O y$

Chọn D.

Bài 1 trang 81 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC với ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 a b c}$

Lời giải:

Từ định lí côsin ta suy ra
$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}; \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}; \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

Suy ra:

$\begin{array}{l} \frac{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}}{a} + \frac{\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}}{b} + \frac{\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}}{c} \\ = \frac{(b^{2} + c^{2} - a^{2}) + (a^{2} + c^{2} - b^{2}) + (a^{2} + b^{2} - c)}{2 a b c} \\ = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 a b c} \end{array}$

Bài 2 trang 81 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC. Biết $a = 24, b = 36, \hat{C} = 52^{\circ}$ . Tính cạnh c và hai góc $\hat{A}, \hat{B}$

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C = 24^{2} + 36^{2} - 2.24.36. \cos 52^{\circ} ≃ 808, 137 \\ \Rightarrow c ≃ 28, 43 \end{array}$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = \frac{28, 43}{\sin 52^{\circ}}$

Ta tính được

$\begin{array}{l} \sin A ≃ 0, 666 \Rightarrow \hat{A} ≃ 41^{\circ} 42^{'} \\ \sin B ≃ 0, 999 \Rightarrow \hat{B} ≃ 86^{\circ} 18^{'} \end{array}$

Bài 3 trang 81 SBT Toán 10: Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 50 m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển, người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc $\hat{B P A} = 40^{\circ}$ và $\hat{B Q A} = 52^{\circ}$ . Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Lời giải:

Góc $\hat{P Q B}$ là góc bù của tam giác BPQ nên ta có:

$\hat{B Q P} = \hat{Q P B} + \hat{P B Q} \Rightarrow \hat{P B Q} = \hat{B Q P} - \hat{Q P B} = 52^{\circ} - 40^{\circ} = 12^{\circ}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác BPQ ta có

$\frac{P Q}{\sin B} = \frac{B Q}{\sin P} = \frac{50}{\sin 12^{\circ}} \Rightarrow B Q = \frac{50}{\sin 12^{\circ}} . \sin P = \frac{50}{\sin 12^{\circ}} . \sin 40^{\circ}$

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABQ ta có:

$\frac{B Q}{\sin A} = \frac{A B}{\sin Q} \Rightarrow A B = \frac{B Q}{\sin A} . \sin Q = \frac{\frac{50}{\sin 12^{\circ}} . \sin 40^{\circ}}{\sin 90^{\circ}} . \sin 52^{\circ} ≃ 121, 81$ (m)

Vậy chiều cao của tháp hải đăng là khoảng 121,81 m

Bài 4 trang 81 SBT Toán 10: Cho $Δ A B C$ có $\hat{A} = 99^{\circ}, b = 6, c = 10$ . Tính:

a) Diện tích tam giác ABC

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Lời giải:

a) Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} .6 .10 . \sin 99^{\circ} ≃ 29, 63$ (đvdt)

b) Áp dụng định lí côsin ta tính được:

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A} = \sqrt{6^{2} + 10^{2} - 2.6.10 \cos 99^{\circ}} ≃ 12, 44$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$R = \frac{a b c}{4 S} ≃ \frac{12, 44.6.10}{4.29, 63} ≃ 6, 25$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là:

$r = \frac{S}{p} = \frac{29, 63}{\frac{(12, 44 + 6 + 10)}{2}} ≃ 2, 084$

Bài 5 trang 81 SBT Toán 10: Hai máy bay rời một sân bay cùng một lúc. Một chiếc máy bay với vận tốc 800 km/h theo hướng lệch so với hướng bắc $15^{\circ}$ về hướng tây. Chiếc còn lại bay theo hướng lệch so với hướng nam $45^{\circ}$ về phía tây với vận tốc 600 km/h (hình 1). Hỏi hai máy bay đó cách nhau bao xa sau 3 giờ?

Lời giải:

Sau 3 giờ khoảng cách máy bay so với sân bay là: $O A = 2400$ km, $O B = 1800$ km

Ta có

$\hat{x O A} + \hat{A O B} + \hat{B O y} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{A O B} = 180^{\circ} - (\hat{x O A} + \hat{B O y}) = 180^{\circ} - (15^{\circ} + 45^{\circ}) = 120^{\circ}$

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l} A B = \sqrt{O A^{2} + O B^{2} - 2 O A . O B . \cos \hat{A O B}} \\ = \sqrt{2400^{2} + 1800^{2} - 2.2400.1800. \cos 120^{\circ}} ≃ 3649, 66 \end{array}$

Vậy khoảng cách của hai máy bay sau 3 giờ là khoảng 3649,66 km

Bài 6 trang 81 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng: $\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{c^{2} + b^{2} - a^{2}}$

Lời giải:

Tam giác ABC không vuông nên $\tan A, \tan B, \tan C$ xác định

Áp dụng định lý sin và định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{a}{2 R} : \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{a b c}{4 R . (b^{2} + c^{2} - a^{2})} \\ \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{b}{2 R} : \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{a b c}{4 R . (c^{2} + a^{2} - b^{2})} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{\tan A}{\tan B} = \frac{a b c}{4 R . (b^{2} + c^{2} - a^{2})} : \frac{a b c}{4 R . (a^{2} + c^{2} - b^{2})} = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{c^{2} + b^{2} - a^{2}}$ (dpcm)

Bài 7 trang 81 SBT Toán 10: Một tháp viễn thông cao 42m được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc $34^{\circ}$ so với phương ngang. Từ đỉnh tháp người ta neo một sợi dây cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp 33 m như hình 2. Tính chiều dài của sợi dây đó.