SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Toạ độ của vectơ

Phương Thảo Ngày: 16-02-2023 Lớp 10

678

Với Giải SBT Toán 10 Tập 2 trong Bài 1: Toạ độ của vectơ Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Toạ độ của vectơ

Câu hỏi trang 58 SBT Toán 10

Bài 1 trang 58 SBT Toán 10: Cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 2), \vec{b} = (3; 0)$

a) Tìm tọa độ của vectơ $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$

b) Tính các tính vô hướng $\vec{a} . \vec{b}, (3 \vec{a}) . (2 \vec{b})$

Phương pháp giải:

Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ , ta có:

+ $\vec{a} \pm \vec{b} = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2})$

+ $k \vec{a} = (k a_{1}, k a_{2})$

+ $\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

Lời giải:

a) $2 \vec{a} = 2 (1; 2) = (2; 4), 3 \vec{b} = 3 (3; 0) = (9; 0)$

$\Rightarrow 2 \vec{a} + 3 \vec{b} = (11; 4)$

b) $\vec{a} . \vec{b} = 1.3 + 2.0 = 3$

+ $3 \vec{a} = (3; 6), 2 \vec{b} = (6; 0) \Rightarrow (3 \vec{a}) . (2 \vec{b}) = 3.6 + 6.0 = 18$

Bài 2 trang 58 SBT Toán 10: Cho ba vectơ $\vec{m} = (1; 1), \vec{n} = (2; 2), \vec{p} = (- 1; - 1)$ . Tìm tọa độ của các vectơ

a) $\vec{m} + 2 \vec{n} - 3 \vec{p}$ ;

b) $(\vec{n} . \vec{p}) \vec{m}$

Phương pháp giải:

Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ , ta có:

+ $\vec{a} \pm \vec{b} = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2})$

+ $k \vec{a} = (k a_{1}, k a_{2})$

+ $\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

Lời giải:

a) $2 \vec{n} = (4; 4), 3 \vec{p} = (- 3; - 3)$

$\Rightarrow \vec{m} + 2 \vec{n} - 3 \vec{p} = (1; 1) + (4; 4) - (- 3; - 3) = (8; 8)$

b) $\vec{n} . \vec{p} = 2 (- 1) + 2 (- 1) = - 4 \Rightarrow (\vec{n} . \vec{p}) \vec{m} = - 4 (1; 1) = (- 4; - 4)$

Câu hỏi trang 59 SBT Toán 10

Bài 3 trang 59 SBT Toán 10: Cho tam giác MNP có tọa độ của các đỉnh là $M (3; 3), N (7; 3), P (3; 7)$

a) Tìm tọa độ trung điểm E của cạnh MN

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP

Phương pháp giải:

+ Cho hai điểm $A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B})$ . Tọa độ trung điểm $M (x_{M}, y_{M})$ của đoạn thẳng AB là: $x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}; y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$

+ Cho tam giác ABC có $A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B}), C (x_{C}, y_{C})$ . Tọa độ trọng tâm $G (x_{G}, y_{G})$ của tam giác ABC là: $x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$

Lời giải:

a) E là trung điểm của cạnh MN $\Rightarrow E (\frac{3 + 7}{2}; \frac{3 + 3}{2}) \Rightarrow E (5; 3)$

b) G là trọng tâm của tam giác MNP $\Rightarrow G (\frac{3 + 7 + 3}{3}; \frac{3 + 3 + 7}{3}) \Rightarrow G (\frac{13}{3}; \frac{13}{3})$

Bài 4 trang 59 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là $A (1; 3), B (3; 1), C (6; 4)$

a) Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC và số đo của góc B

b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Phương pháp giải:

Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ và hai điểm $A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B})$ . Ta có:

+ $A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}}$

+ $c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} = \frac{a_{1} a_{2} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} . \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$

- Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm cách đều ba điểm A, B, C

Lời giải:

Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là $A (1; 3), B (3; 1), C (6; 4)$

a) Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC và số đo của góc B

$\begin{array}{l} \vec{A B} = (2; - 2) \Rightarrow A B = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{2} \\ \vec{B C} = (3; 3) \Rightarrow B C = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{2} \\ \vec{A C} = (5; 1) \Rightarrow A C = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{26} \end{array}$

+ $c o s (B) = | c o s (\vec{A B}, \vec{B C}) | = \frac{2.3 - 2.3}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{3^{2} + 3^{2}}} = 0 \Rightarrow \hat{B} = 90^{\circ}$

b) Tam giác ABC vuông tại B có I là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC nên I là trung điểm của AC

$\Rightarrow I (\frac{1 + 6}{2}; \frac{3 + 4}{2}) \Rightarrow I (\frac{7}{2}; \frac{7}{2})$

Bài 5 trang 59 SBT Toán 10: Cho năm điểm $A (2; 0), B (0; - 2), C (3; 3), D (- 2; - 2), E (1; - 1)$ . Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a) Thuộc trục hoành

b) Thuộc trục tung

c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Phương pháp giải:

Cho điểm $A (x_{0}; y_{0})$ và đường thẳng $d : a x + b y + c = 0$

Điểm A thuộc đường thẳng d khi $a x_{0} + b y_{0} + c = 0$

Lời giải:

a) Thuộc trục hoành, tức là $y = 0 \Rightarrow$ A thuộc trục hoành

b) Thuộc trục tung tức là $x = 0 \Rightarrow$ B thuộc trục tung

c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất tức là $y = x$

$\Rightarrow$ C, D thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Bài 6 trang 59 SBT Toán 10: Cho điểm $M (4; 5)$ . Tìm tọa độ:

a) Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục $O x$

b) Điểm M’ đối xứng với M qua trục $O x$

c) Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục $O y$

d) Điểm M’’ đối xứng với M qua trục $O y$

e) Điểm C đối xứng với M qua gốc O

Phương pháp giải:

+ Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ , ta có: $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow a_{1} . b_{1} + a_{2} . b_{2} = 0$

+ Cho hai điểm $A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B})$ . Tọa độ trung điểm $M (x_{M}, y_{M})$ của đoạn thẳng AB là: $x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}; y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$

Lời giải:

a) + $M H ⊥ O x = H \Rightarrow H \in O x \Rightarrow H (a; 0)$

+ $\vec{M H} = (a - 4; - 5), \vec{v_{O x}} = (1; 0) \Rightarrow a - 4 + 0 = 0 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow H (4; 0)$

b) Điểm M’ đối xứng với M qua trục $O x$ $\Rightarrow$ H là trung điểm của MM’ $\Rightarrow$ $M^{'} (4; - 5)$

c) + $M H ⊥ O y = H \Rightarrow K \in O y \Rightarrow H (0; b)$

+ $\vec{M K} = (- 4; b - 5), \vec{v_{O x}} = (0; 1) \Rightarrow 0 + b - 5 = 0 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow K (0; 5)$

d) Điểm M’’ đối xứng với M qua trục $O y$ $\Rightarrow$ K là trung điểm của MM’’ $\Rightarrow$ $M^{″} (- 4; 5)$

e) Điểm C đối xứng với M qua gốc O $\Rightarrow$ O là trung điểm của CM $\Rightarrow$ $C (- 4; - 5)$

Bài 7 trang 59 SBT Toán 10: Cho ba điểm $A (1; 1), B (2; 4), C (4; 4)$

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD

Phương pháp giải:

+ ABCD là hình bình hành $\Rightarrow$ $\vec{A B} = \vec{D C}$

+ Giao điểm hai đường chéo HBH là trung điểm mỗi đường

Lời giải:

a) ABCD là hình bình hành $\Rightarrow$ $\vec{A B} = \vec{D C} \Rightarrow (1; 3) = (4 - x; 4 - y) \Rightarrow D (3; 1)$

b) Giao điểm hai đường chéo HBH là trung điểm của AC $\Rightarrow$ $O (\frac{5}{2}; \frac{5}{2})$

Bài 8 trang 59 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là $A (1; 1), B (7; 3), C (4; 7)$ và cho các điểm $M (2; 3), N (3; 5)$

a) Chứng minh bốn điểm A, M, N, C thẳng hàng

b) Chứng minh trọng tâm của các tam giác ABC và MNB trùng nhau

Phương pháp giải:

+ A, B, C thẳng hàng khi $\vec{A B} = k \vec{A C} (k \neq 0)$

Lời giải:

a) $\vec{A C} = (3; 6), \vec{A M} = (1; 2), \vec{A N} = (2; 4) \Rightarrow \vec{A C} = 3 \vec{A M} = \frac{3}{2} \vec{A N}$ $\Rightarrow$ Bốn điểm A, M, N, C thẳng hàng

b) Chứng minh trọng tâm của các tam giác ABC và MNB trùng nhau

+ Trọng tâm của các tam giác ABC: $G_{1} (\frac{1 + 7 + 4}{3}; \frac{1 + 3 + 7}{3}) \Rightarrow G_{1} (4; \frac{11}{3})$

+ Trọng tâm của các tam giác MNB: $G_{2} (\frac{2 + 7 + 3}{3}; \frac{3 + 3 + 5}{3}) \Rightarrow G_{2} (4; \frac{11}{3})$

$\Rightarrow$ Trọng tâm của các tam giác ABC và MNB trùng nhau

Bài 9 trang 59 SBT Toán 10: Cho bốn điểm $M (6; - 4), N (7; 3), P (0; 4), Q (- 1; - 3)$ . Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông

Lời giải:

+ $\vec{M N} = (1; 7), \vec{Q P} = (1; 7) \Rightarrow \vec{M N} = \vec{Q P}$ $\Rightarrow$ MNPQ là hình bình hành

+ $\vec{M N} = (1; 7), \vec{M Q} = (- 7; 1) \Rightarrow \vec{M N} . \vec{M Q} = 0 \Rightarrow M N ⊥ M Q$ $\Rightarrow$ MNPQ là HCN

+ $M N = | \vec{M N} | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}} = \sqrt{50}$

$\begin{array}{l} M Q = | \vec{M Q} | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{50} \\ \Rightarrow M N = M Q \end{array}$

$\Rightarrow$ MNPQ là Hình vuông

Câu hỏi trang 60 SBT Toán 10

Bài 10 trang 60 SBT Toán 10: Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong các trường hợp sau:

a) $\vec{a} = (1; - 4), \vec{b} = (5; 3)$

b) $\vec{a} = (4; 3), \vec{b} = (6; 0)$

c) $\vec{a} = (2; 2 \sqrt{3}), \vec{b} = (- 3; \sqrt{3})$

Phương pháp giải:

Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ . Ta có:

+ $c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} = \frac{a_{1} a_{2} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} . \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$

Lời giải:

a) $c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{1.5 - 4.3}{\sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2}} . \sqrt{5^{2} + 3^{2}}} = \frac{- 7 \sqrt{2}}{34} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) \approx 106^{\circ} 56^{'}$

b) $c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{4.6 + 3.0}{\sqrt{4^{2} + 6^{2}} . \sqrt{3^{2} + 0^{2}}} = \frac{4}{5} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) \approx 36^{\circ} 52^{'}$

c) $c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{2. (- 3) + 2 \sqrt{3} . \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}} . \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}} = 0 \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) \approx 90^{\circ}$