Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức: Bài tập cuối chuyên đề 2

Nguyễn Trang Ngày: 31-01-2023 Lớp 10

1.3 K

Tailieumoi.vn giới thiệu giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.2¹ = 4 = 1.2^{1 + 1}.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (k + 1).2^k = k.2^{k + 1}.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (k + 1).2^k + [(k + 1) + 1].2^{k + 1} = (k + 1)2^{(k + 1) + 1}.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (k + 1).2^k + [(k + 1) + 1].2^{k + 1}

= k.2^{k + 1} + [(k + 1) + 1].2^{k + 1}

= (2k + 2).2^{k + 1}

= (k + 1).2.2^{k + 1}

= (k + 1)2^{k + 2}

= (k + 1).2^{(k + 1) + 1}.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Đặt $S_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ .

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh nó bằng quy nạp.

Lời giải:

a) $S_{1} = \frac{1}{1.3} = \frac{1}{3}, S_{2} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} = \frac{2}{5}, S_{3} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} = \frac{3}{7} .$

b) Từ a) ta có thể dự đoán $S_{n} = \frac{n}{2 n + 1} .$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có $S_{1} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2.1 + 1} .$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: $S_{k} = \frac{k}{2 k + 1} .$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

$S_{k + 1} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k + 1} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= S_{k} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{k (2 k + 3) + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{2 k^{2} + 3 k + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{(k + 1) (2 k + 1)}{(2 k + 1) (2 k + 3)} = \frac{k + 1}{2 k + 3} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 2.21 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 10^{2n + 1} + 1 chia hết cho 11.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 0 ta có 10^{2.0 + 1} + 1 = 11 ⁝ 11.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 10^{2k + 1} + 1 chia hết cho 11.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 10^{2(k + 1) + 1} + 1 chia hết cho 11.

Thật vậy, ta có:

10^{2(k + 1) + 1} + 1

= 10^{(2k + 1) + 2} + 1

= 100.10^{2k + 1} + 1

= 100.10^{2k + 1} + 100 – 100 + 1

= 100(10^{2k + 1} + 1) – 100 + 1

= 100(10^{2k + 1} + 1) – 99.

Vì 10^{2k + 1} + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(10^{2k + 1} + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 10^{2(k + 1) + 1} + 1 chia hết cho 11.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Bài 2.22 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 2 ta có 5² = 25 = 3² + 4².

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5^k ≥ 3^k + 4^k.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5^{k + 1} ≥ 3^{k + 1} + 4^{k + 1}.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

5^{k + 1} = 5.5^k ≥ 5(3^k + 4^k) = 5. 3^k + 5.4^k ≥ 3. 3^k + 4.4^k = 3^{k + 1} + 4^{k + 1}.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Bài 2.23 trang 38 Chuyên đề Toán 10:

a) Khai triển (1 + x)¹⁰.

b) (1,1)¹⁰ và 2.

Lời giải:

a) ${(1 + x)}^{10} = C_{10}^{0} 1^{10} + C_{10}^{1} 1^{9} x + C_{10}^{2} 1^{8} x^{2} + ... + C_{10}^{9} 1 x^{9} + C_{10}^{10} x^{10}$

$= 1 + C_{10}^{1} x + C_{10}^{2} x^{2} + ... + C_{10}^{9} x^{9} + x^{10} .$

b) Áp dụng câu a) ta có:

${(1, 1)}^{10} = {(1 + 0, 1)}^{10}$

$= 1 + C_{10}^{1} .0, 1 + C_{10}^{2} {(0, 1)}^{2} + ... + C_{10}^{9} {(0, 1)}^{9} + {(0, 1)}^{10} > 1 + C_{10}^{1} .0, 1 = 2.$

Bài 2.24 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Lời giải:

Số hạng chứa x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹ là

$C_{11}^{11 - 9} {(2 x)}^{9} {(- 3)}^{11 - 9} = C_{11}^{2} 2^{9} x^{9} {(- 3)}^{2} = C_{11}^{2} 2^{9} 3^{2} x^{9} = 253440 x^{9} .$

Vậy hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹ là 253440.

Bài 2.25 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Khai triển đa thức (1 + 2x)¹² thành dạng a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₂x¹².

Tìm hệ số a_k lớn nhất.

Lời giải:

Số hạng chứa x^k trong khai triển thành đa thức của (1 + 2x)¹² hay (2x + 1)¹² là

$C_{12}^{12 - k} {(2 x)}^{k} 1^{12 - k} = C_{12}^{k} 2^{k} x^{k} .$

Do đó $a_{k} = C_{12}^{k} 2^{k} .$

Thay các giá trị của k từ 0 đến 12 vào a_k ta thấy a₈ có giá trị lớn nhất và bằng 126720.

Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh rằng $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048.$

Lời giải:

Xét:

$M = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$N = C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$P = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 2} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$Q = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 3} + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

+) Ta có:

${(x + 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} 1^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} x 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} 1^{2 n}$

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} x + C_{2 n}^{2 n} .$

Cho x = 1, ta được:

${(1 + 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} 1^{2 n} + C_{2 n}^{1} 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} 1^{2 n - 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2 n}$

$= C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} .$

Vậy M = (1 + 1)²ⁿ = 2²ⁿ .

+) Ta có:

${(x - 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} 1^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} x 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} 1^{2 n}$

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} x + C_{2 n}^{2 n} .$

Cho x = 1, ta được:

${(1 - 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} 1^{2 n} - C_{2 n}^{1} 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} 1^{2 n - 2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2 n}$

$= C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} .$

Vậy N = (1 - 1)²ⁿ = 0.

Ta có: P + Q = M = 2²ⁿ và P - Q = N = 0 nên P = Q = 2²ⁿ : 2 = 2^2n-1.

Áp dụng:

$C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048$

$\Rightarrow 2^{2 n - 1} = 2048 \Rightarrow 2 n - 1 = 11 \Rightarrow n = 6.$

Bài 2.27 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n} .$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)ⁿ, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Lời giải:

+) Ta có:

$C_{n}^{k} \leq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{n!}{k! (n - k)!} \leq \frac{n!}{(k + 1)! (n - k - 1)!}$

$\Leftrightarrow (k + 1)! (n - k - 1)! \leq k! (n - k)!$

$\Leftrightarrow k + 1 \leq n - k \Leftrightarrow 2 k \leq n - 1$ (*).

– Nếu n lẻ thì (*) ⇔ k $\leq \frac{n - 1}{2} .$ Từ đây ta có $C_{n}^{k} \geq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow k \geq \frac{n - 1}{2} .$

$\Rightarrow C_{n}^{0} \leq C_{n}^{1} \leq ... \leq C_{n}^{\frac{n - 1}{2}} \leq C_{n}^{\frac{n + 1}{2}} \leq ... \leq C_{n}^{n} .$

Dấu "=" chỉ xảy ra khi k = $\frac{n - 1}{2}$ .

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là $C_{n}^{\frac{n - 1}{2}}$ và $C_{n}^{\frac{n + 1}{2}}$ .

– Nếu n chẵn thì (*) ⇔ k $\leq [\frac{n - 1}{2}] = \frac{n}{2} - 1.$ Từ đây ta có $C_{n}^{k} \geq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow k \geq \frac{n}{2} - 1.$