- Đồ thị hàm số $y=2x-5$ là đường thẳng đi qua 2 điểm (0 ; -5) và $\left(\frac{5}{2};0\right)$

- Đồ thị hàm số $y=x^2-4x-1$ là đường parabol có a = 1 > 0 nên có bề lõm quay lên trên.

Đỉnh $I(2;-5)$, trục đối xứng x = 2. Giao điểm của parabol với trục Oy là điểm (0 ; -1) và cắt trục Ox tại 2 điểm có hoành độ $x=2-\sqrt{5}$ và $x=2+\sqrt{5}$

+) Tìm giao điểm

Xét phương trình hoành độ: $2x-5=x^2-4x-1\iff x^2-6x+4=0\iff x=3-\sqrt{5}$ hoặc x = $3+\sqrt{5}$

Với x = $3-\sqrt{5}$ thì y = $1-2\sqrt{5}$ ;    với x = $3+\sqrt{5}$ thì y = $1+2\sqrt{5}$

Vậy giao điểm hai đồ thị là 2 điểm ($3-\sqrt{5}$ ; $1-2\sqrt{5}$) và ($3+\sqrt{5}$ ; $1+2\sqrt{5}$)

Bài 6.59 trang 26 sách bài tập Toán 10: Vẽ đồ thị mỗi hàm số sau, từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình tương ứng

a) $y=x^2-3x+2$ và bất phương trình $x^2-3x+2\ge 0$

b) $y=x^2-x-6$ và bất phương trình $x^2-x-6<0$

Lời giải:

a) $y=x^2-3x+2$ và bất phương trình $x^2-3x+2\ge 0$

+) Vẽ đồ thị

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol có bề lõm quay lên trên. Đỉnh $I\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{4}\right)$. Trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$

Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0 ; 2) và đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm có hoành độ là x = 1 và x = 2

+) Giải BPT $x^2-3x+2\ge 0$

Từ đồ thị ta thấy với x ≤ 1 hoặc x ≥ 2 thì đồ thị hàm số $y=x^2-3x+2$ nằm phía trên trục hoành.

Vậy tập nghiệm của BPT $x^2-3x+2\ge 0$ là $(-\mathrm{\infty };1]\cup [2;+\mathrm{\infty })$

b) $y=x^2-x-6$ và bất phương trình $x^2-x-6<0$

+) Vẽ đồ thị

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol có bề lõm quay lên trên. Đỉnh $I\left(\frac{1}{2};-\frac{25}{4}\right)$. Trục đối xứng $x=\frac{1}{2}$

Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0 ; -6) và đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm có hoành độ là x = 3 và x = -2

+) Giải BPT $x^2-x-6<0$

Từ đồ thị ta thấy với -2 < x < 3 thì đồ thị hàm số $y=x^2-x-6$ nằm phía dưới trục hoành.

Vậy tập nghiệm của BPT $x^2-x-6<0$ là $(-2;3)$

Bài 6.60 trang 26 sách bài tập Toán 10: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$

b) Tam thức bậc hai $y=-x^2+mx-1$ có dấu không phụ thuộc vào x

c) Hàm số  $y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}$có tập xác định chỉ gồm một phần tử .

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$

+) Với m = 0 thì hàm số có dạng $y=\frac{1}{\sqrt{5}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Do đó m = 0 thỏa mãn
+) Với m ≠ 0, hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m{x}^2-2m\mathrm{x}+5>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ 

Ta có: $m{x}^2-2m\mathrm{x}+5>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$$\iff m>0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-5m<0$ $\iff m>0$ và $0<m<5$ $\iff 0<m<5$

Kết hợp các điều kiện, với $m\in [0;5)$ thì hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$

b) Tam thức bậc hai $y=-x^2+mx-1$ có a = -1 < 0

Khi đó$y=-x^2+mx-1$ có dấu không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi $y=-x^2+mx-1$ < 0 $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\iff$$\mathrm{\Delta }=m^2-4<0\iff -2<m<2$

Vậy với $m\in (-2;2)$ thì Tam thức bậc hai $y=-x^2+mx-1$ có dấu không phụ thuộc vào x

c) Hàm số  $y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}$có tập xác định chỉ gồm một phần tử khi và chỉ khi

$-2x^2+mx-m-6=0$ có nghiệm kép $\iff \mathrm{\Delta }=m^2-8(m+6)=0$

 $\iff m^2-8m-48=0\iff m=-4$hoặc m = 12

Vậy với $m\in \{-4;12\}$ thì Hàm số  $y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}$có tập xác định chỉ gồm một phần tử .