Với Giải Trang 44 sách bài tập Toán 8 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 3 Sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 8.

Trang 44 sách bài tập Toán 8 Tập 1

Bài 3.28 trang 44 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC. Với mỗi điểm M nằm giữa B và C, lấy điểm N thuộc cạnh AB, điểm P thuộc cạnh AC sao cho MN // AC, MP // AB.

a) Hỏi tứ giác ANMP là hình gì?

b) Hỏi M ở vị trí nào để tứ giác ANMP là một hình thoi?

c) Tam giác ABC phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác ANMP là một hình chữ nhật?

d) Khi tam giác ABC thoả mãn điều kiện nói trong câu c, tìm vị trí của M để NP ngắn nhất.

e) Tam giác ABC thoả mãn điều kiện gì và M ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác ANMP là một hình vuông?

Lời giải:

a) Ta có NM // AC hay MN // AP (do P ∈ BC)

MP // AB hay MP // AN (do N ∈ AB)

Tứ giác ANMP có MN // AP và MP // AN nên là hình bình hành.

b) Để ANMP là hình thoi thì tia AM phải là tia phân giác của góc A.

c) Để ANMP là hình chữ nhật thì hình bình hành ANMP phải có 1 góc vuông.

Khi đó thì góc A phải vuông tức là tam giác ABC vuông tại A.

d) Khi góc A là góc vuông, ANMP là hình chữ nhật nên AM = NP.

Vậy NP ngắn nhất khi AM ngắn nhất, lúc này AM là đường cao của tam giác ABC.

e) Tứ giác ANMP là hình vuông thì nó phải là hình chữ nhật và là hình thoi tức là tam giác ABC vuông tại A và có tia AM là phân giác của góc A.

Bài 3.29 trang 44 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Gọi H là giao của ba đường cao AI, BJ, CK của tam giác nhọn ABC. Dùng công thức tính diện tích tam giác để chứng minh:

$\frac{HI}{AI}+\frac{HJ}{BJ}+\frac{HK}{CK}=1.$

Hỏi khi góc A của tam giác ABC là góc tù thì công thức đó thay đổi thế nào?

Lời giải:

Kí hiệu S là diện tích tam giác.

• Xét trường hợp tam giác ABC nhọn, ta có

$S_{HBC}=\frac{1}{2}\cdot HI\cdot BC;$ $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AI\cdot BC$

Suy ra $\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot HI\cdot BC}{\frac{1}{2}\cdot AI\cdot BC}=\frac{HI}{AI}$

Chứng minh tương tự, ta có: $\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HJ}{BJ}$ và $\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HK}{CK}$.

Suy ra, $\frac{HI}{AI}+\frac{HJ}{BJ}+\frac{HK}{CK}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}$(do H nằm bên trong tam giác ABC)

Do đó $\frac{HI}{AI}+\frac{HJ}{BJ}+\frac{HK}{CK}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1$.

• Khi góc A là góc tù, H nằm trong góc đối đỉnh với góc BAC, ta có

S_ABC = S_HBC – S_HAB – S_HAC nên ta được $1=\frac{HI}{AI}-\frac{HJ}{BJ}-\frac{HK}{CK}$.

Bài 3.30 trang 44 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Khái niệm tam giác, tứ giác có thể mở rộng thành khái niệm n − giác (n là số tự nhiên lớn hơn 2) như sau:

n – giác là hình tạo bởi n đoạn thẳng (gọi là cạnh của n – giác) A₀A₁, A₁A₂, …, A_n–1A_n, A_nA₀ (các điểm A₀, A₁, ..., A­_n gọi là đỉnh của n – giác), trong đó không có ba đỉnh nào cùng nằm trên một đường thẳng và hình nằm về một phía đối với mỗi đường thẳng chứa một cạnh.

Khi n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, n − giác còn được gọi lần lượt là tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, thất giác, bát giác.

Hai đỉnh của n – giác gọi là kề nhau nếu chúng là hai đỉnh của một cạnh của n – giác.

Đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của n – giác gọi là một đường chéo của n – giác.

a) Chứng minh qua mỗi đỉnh của n – giác, có n − 3 đường chéo của n – giác. Từ đó suy ra n − giác có $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$ đường chéo.

b) Hãy vẽ tất cả các đường chéo của một ngũ giác (n = 5).

Lời giải:

a) Không có đường chéo nào của n – giác nối một đỉnh cho trước với chính đỉnh đó và với hai đỉnh kề với đỉnh đó nên có n − 3 đường chéo của n – giác đi qua đỉnh đang xét.

Tính theo cách đó thì n – giác có n(n – 3) đường chéo, nhưng mỗi đường chéo đã được tính hai lần (mỗi đường chéo có hai đầu mút là hai đỉnh của n – giác) nên n – giác có tất cả $\frac{n\left(n–3\right)}{2}$ đường chéo.

b) Giả sử ta có ngũ giác ABCDE, khi đó ngũ giác này có $\frac{5\left(5-3\right)}{2}=5$ đường chéo, đó là: AC, AD, BD, BE, CE (hình vẽ).

Bài 3.31 trang 44 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Hai cạnh kề nhau của một n – giác là hai cạnh có cùng chung một đỉnh của n – giác đó; chúng xác định hai tia của một góc gọi là góc tại đỉnh đó của n – giác. Mỗi n − giác có n góc.

a) Kẻ n – 3 đường chéo của n – giác cùng đi qua đỉnh A₀, thì n – giác được chia thành bao nhiêu tam giác, từ đó suy ra tổng các góc của n – giác bằng (n – 2).180°.

b) Góc kề bù với một góc tại một đỉnh của n – giác gọi là một góc ngoài tại đỉnh đó của n – giác. Với mỗi đỉnh của một n − giác, xét một góc ngoài tại đỉnh đó của n – giác thì hỏi tổng n góc ngoài đó bằng bao nhiêu?

Lời giải:

a) Kẻ n – 3 đường chéo đi qua một đỉnh cho trước của n – giác thì chúng chia n – giác thành n – 2 tam giác.

Tổng các góc của n – giác là tổng các góc của các tam giác đó nên tổng đó bằng (n – 2).180°.

b) Nếu một góc của n – giác có số đo là α° thì góc ngoài tại đỉnh đó có số đo 180° – αº.

Từ đó tổng n góc ngoài có số đo là n.180° – tổng các góc của n - giác tức là n.180° – (n – 2).180° = 2.180° = 360°.