Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos 2x$ và thỏa mãn $F\left( \pi \right) = 1$. Phương trình $F\left( x \right) = 1$ có tất cả bao nhiêu nghiệm trong đoạn $\left[ {0;3\pi } \right]$?

Hằng ngày anh An đi làm bằng xe máy trên cùng một cung đường từ nhà đến cơ quan mất 15 phút. Hôm nay khi đang di chuyển trên đường với vận tốc ${v_0}$ thì bất chợt anh gặp một chướng ngại vật nên anh đã hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 6{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$. Biết rằng tổng quãng đường từ lúc anh nhìn thấy chướng ngại vật (trước khi hãm phanh 2 giây) và quãng đường anh đã đi được trong 3 giây đầu tiên kể từ lúc hãm phanh là 35,5 m. Tính ${v_0}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Biết $\int\limits_1^3 {\left( {x + \frac{2}{x}} \right)dx = a + 2\ln b}$, với $a,b \in \mathbb{Z}$. Tính $a + b$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm là $f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}$.

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)$.

b) Biết $f\left( 0 \right) = 3$. Khi đó, $f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 3$.

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 3} \right)dx} = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 3x + C$ với $C$ là hằng số.

d) Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 2$. Khi đó $F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1$.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

a) $\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = 0$.

b) Biết $F\left( 0 \right) = \frac{1}{2}$ thì $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx = 2}$.

d) $\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = 4}$.

Một sân bóng hình chữ nhật với diện tích $200{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$. Người ta muốn trồng cỏ trên sân bóng theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của sân bóng như hình vẽ bên. Biết chi phí trồng cỏ là 300 nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Xác định chi phí trồng cỏ cần có cho sân bóng trên là bao nhiêu triệu đồng?

Trong không gian $Oxyz$, gọi $M,N,P$lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A\left( {2; - 3;1} \right)$ lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ có dạng $ax + by + cz - 12 = 0$. Tính $a + b + c$.