Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {0;0; - 1} \right),B\left( { - 1;1;0} \right),C\left( {1;0;1} \right)$. Biết $M$ là điểm thỏa mãn $P = 3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ bằng (1) ________.

Đáp án:

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {0;0; - 1} \right),B\left( { - 1;1;0} \right),C\left( {1;0;1} \right)$. Biết $M$ là điểm thỏa mãn $P = 3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ bằng (1) _-9/4_.

Giải thích

Giả sử $M(x;y;z) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AM}  = (x;y;z + 1)\,\,\,\,\,\,}\\{\overrightarrow {BM}  = (x + 1;y - 1;z)}\\{\overrightarrow {CM}  = (x - 1;y;z - 1)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A{M^2} = {x^2} + {y^2} + {{(z + 1)}^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{B{M^2} = {{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2}}\\{C{M^2} = {{(x - 1)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2}}\end{array}} \right.} \right.$ 

$\Rightarrow 3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2} = 3\left[ {{x^2} + {y^2} + {{(z + 1)}^2}} \right] + 2\left[ {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2}} \right] - \left. {\left[ {{{(x - 1)}^2} + {y^2} + } \right.{{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]$

$= 4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2} + 6x - 4y + 8z + 5 = {\left( {2x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {(2y - 1)^2} + {(2z + 2)^2} - \frac{9}{4} \ge  - \frac{9}{4}$.

Dấu" $=$ " xảy ra $\Leftrightarrow x =  - \frac{3}{4},y = \frac{1}{2},z =  - 1$, khi đó $M\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)$.