Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-2=0$  và mặt phẳng $\left(\alpha \right):4x+3y-12z+10=0.$  Tìm phương trình mặt phẳng $\left(\beta \right)$  thỏa mãn đồng thời các điều kiện: tiếp xúc với $\left(S\right)$ ; song song với $\left(\alpha \right)$  và cắt trục $Oz$  ở điểm có cao độ dương.

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left(P\right):2x+y+z-2=0$  vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ :$x+y+z-1=0$  và $\left(\beta \right):2x-y+mz-m+1=0$ , với m là tham số thực. Giá trị của m để $\left(\alpha \right)\perp \left(\beta \right)$  là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1,2,-2) và mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y+z+5=0.$

 Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng $\left(P\right)$  theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng $16\pi$  là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x-2)}^2+{(y-4)}^2+{(z-1)}^2=4$  và mặt phẳng (P) có phương trình $x+my+z-3m-1=0$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có đường kính bằng 2.

Biết rằng trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng thoả mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm $A\left(1;1;1\right)$  và $B\left(0;-2;2\right)$  đồng thời cắt các trục toạ độ $Ox,Oy$  tại hai điểm cách đều O. Giả sử $\left(P\right)$  có phương trình $x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0$  và $\left(Q\right)$  có phương trình $x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=0.$

 Giá trị biểu thức $b_1{b}_2+c_1{c}_2$  bằng

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2mx+\left(m^2+1\right)y+\left(m^2-1\right)z-10=0$  và điểm $A\left(2;11;-5\right).$  Biết khi m thay đổi thì luôn tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $\left(P\right)$  và đi qua A. Tổng bán kính hai mặt cầu đó bằng

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng (Oxz)?

Trong không gian Oxyz, có bao nhiêu số thực m để mặt phẳng ($P):x+2y-2z-1=0$  song song với mặt phẳng $\left(Q\right):2x+(m+2)y-2mz-m=0?$

Cho mặt cầu (S) có đường kính 10 cm và mặt phẳng (P) cách tâm mặt cầu một khoảng 4 cm. Khẳng định nào sau đây sai?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${(x+2)}^2+{(y+1)}^2+{(z-1)}^2=12.$  Mặt phẳng nào sau đây cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S)  có phương trình ${(x-2)}^2+{(y+1)}^2+{(z+2)}^2=4$ và mặt phẳng (P)  có phương trình $4x-3y-m=0.$  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có đúng một điểm chung.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$  tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left(P\right):2x-2y+z-4=0$  và $\left(Q\right):2x-y+2z-4=0$  lần lượt tại các điểm $A,B.$  Độ dài đoạn AB là