Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) biết: 

${{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}$.

Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 0} \frac{{\sin {\rm{x}} - \sin 3{\rm{x}}}}{{\rm{x}}}$ bằng :

Tìm a, b để hàm số $f\left( x \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{x^2} + bx + 1\,\,khi\,\,x \ge 0}\\{a\sin x + b\cos x\,\,khi\,x < 0}\end{array}} \right.$ có đạo hàm tại điểm x₀= 0

Cho hàm số ${\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = x}}\left( {{\rm{x}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{x}} - {\rm{2}}} \right)...\left( {{\rm{x}} - {\rm{1000}}} \right)$. Tính f′(0) ?

Với hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sin \frac{\pi }{x}\,\,khi\,\,x \ne 0}\\{0\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.$. Để tìm đạo hàm f′(0) một học sinh lập luận qua các bước sau:

Bước 1: $\left| {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)} \right|{\rm{ = }}\left| {\rm{x}} \right|\left| {{\rm{sin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{x}}}} \right| \le \left| {\rm{x}} \right|$

Bước 2: Khi x → 0 thì $\left| {\rm{x}} \right| \to 0$ nên $\left| {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)} \right| \to 0 \Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) \to 0$

Bước 3: Do $\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = f}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ = 0}}$ nên hàm số liên tục tại x = 0.

Bước 4: Từ f(x) liên tục tại ${\rm{x}} = 0 \Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)$ có đạo hàm tại x = 0.

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}}}{2}\,\,khi\,\,x \le 1}\\{ax + b\,\,khi\,\,x > 1}\end{array}} \right.$. Tìm tất cả các giá trị của các tham số a, b sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{x^2} + bx\,\,khi\,\,x \ge 1}\\{2x - 1\,\,khi\,\,x < 1}\end{array}} \right.$. Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1.

Tìm a, b để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\,\,khi\,x \ge 0}\\{ax + b\,\,khi\,x < 0}\end{array}} \right.$ có đạo hàm tại điểm x = 0.

</>

Tìm a để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1}\\{a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.$ có đạo hàm tại x = 1.

Xét hai câu sau:

(1) Hàm số ${\rm{y = }}\frac{{\left| {\rm{x}} \right|}}{{{\rm{x + 1}}}}$ liên tục tại x = 0.

(2) Hàm số ${\rm{y = }}\frac{{\left| {\rm{x}} \right|}}{{{\rm{x + 1}}}}$có đạo hàm tại x = 0.

Trong 2 câu trên:

Cho hàm số ${\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}\left| {{\rm{x + 1}}} \right|}}{{\rm{x}}}$. Tính đạo hàm của hàm số tại ${{\rm{x}}_0} = - 1$.