Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Đường trung bình của tam giác, của hình thang (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Đường trung bình của tam giác, của hình thang (50 bài tập minh họa)

I. Lí thuyết

1. Đường trung bình của tam giác

a) Định nghĩa đường trung bình của tam giác:

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh tam giác đó.

b) Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

c) Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ba.

Xét hình vẽ:

Tam giác ABC có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm AC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MN\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC\\ MN=\frac{1}{2}BC\end{array}\right.$

2. Đường trung bình của hình thang

a) Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên hình thang.

ABCD là hình thang, AB // CD

E là trung điểm AD, F là trung điểm BC

EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

b) Định lí 2: Đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh bên thứ nhất và song song với cạnh đáy thì nó đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai của hình thang.

c) Định lí 3: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Xét hình thang ABCD có đường trung bình là FE

$\left\{\begin{array}{l}FE//AB//CD\\ FE=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right)\end{array}\right.$

II. Dạng bài tập

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lý về đường trung bình của tam giác để chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa, định lý để suy ra điều cần chứng minh.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh:

a) EM song song với DC;

b) I là trung điểm AM;

c) DC = 4DI.

Lời giải:

a) Vì ED = EB nên E là trung điểm của BD

Lại có M là trung điểm của BC

Suy ra EM là đường trung bình của tam giác BCD

$\Rightarrow$EM // CD

b) Xét tam giác AEM có:

 Ta có: AD = DE nên D là trung điểm AE.

Lại có I$\in$DC$\Rightarrow$DI // EM (do DC // EM)

Do đó: DI đi qua trung điểm AM

$\Rightarrow$I là trung điểm của AM

c) Từ câu a ta có: EM là đường trung bình của tam giác BCD

$EM=\frac{1}{2}DC$(1)

Lại có I là trung điểm của AM, D là trung điểm của AE

$\Rightarrow$DI là đường trung bình của tam giác AEM

$DI=\frac{1}{2}EM$(2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow DI=\frac{1}{2}EM$$=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}DC$$=\frac{1}{4}DC$hay DC = 4 DI (đpcm).

Dạng 2. Sử dụng định lý đường trung bình của hình thang để chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các định lý liên quan đến đường trung bình của hình thang để chứng minh.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các đường phân giác ngoài của $\widehat{A},\widehat{D}$ cắt nhau tại E, cắc đường phân giác ngoài $\widehat{B},\widehat{C}$ cắt nhau tại F. Chứng minh:

a) EF song song AB và CD.

b) EF có độ dạng bằng nửa chu vi hình thang ABCD.

Lời giải:

a) Vì AE là phân giác góc ngoài của $\hat{A}$ nên $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Vì DE là phân giác góc ngoài của $\hat{D}$ nên $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$

Mà $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=180°$ (hai góc trong cùng phía)

$\Rightarrow 2\widehat{A_2}+2\widehat{D_2}=180°$

$\Rightarrow \widehat{A_2}+\widehat{D_2}=90°$

Xét tam giác AED có: ${\widehat{A}}_2+{\widehat{D}}_2+\widehat{AED}=180°$ (tính chất tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat{AED}=180°-\left({\widehat{A}}_2+{\widehat{D}}_2\right)$$=180°-90°=90°$

$\Rightarrow DE\perp AE$

Gọi $AE\cap DC=M$

$\Delta ADM$ có DE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $\Delta ADM$ cân tại D

Nên DE là đường trung tuyến của $\Delta ADM$

$\Rightarrow$E là trung điểm của AM.

Gọi $BF\cap DC=N$

Chứng minh tương tự có điểm F là trung điểm BN

Lại có tứ giác ABNM có AB // MN (AB // CD) nên ABNM là hình thang

Mà có E, F lần lượt là trung điểm của AM và BN

Nên EF là đường trung bình của hình thang ABNM

$\Rightarrow$EF // AB // MM

Hay EF // AB // CD

b) Vì EF là đường trung bình của hình thang ABNM

$\Rightarrow E\text{}F=\frac{AB+MN}{2}$ (tính chất)

$\Rightarrow E\text{}F=$$\frac{AB+MD+CD+CN}{2}\left(1\right)$

Mà MD = AD (do tam giác AMD cân tại D); CN = BC (do tam giác BCN cân tại C) nên thay vào (1) ta có:

$\Rightarrow E\text{}F=$$\frac{AB+AD+CD+BC}{2}$

Vậy độ dài EF bằng nửa chu vi tứ giác ABCD.

Dạng 3. Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang để chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các định nghĩa định lý về đường trung bình để chứng minh bài toán

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC. Chứng minh:

a) M, N ,P, Q cùng nằm trên một đường thẳng

b) $NP=\frac{1}{2}\left(DC-AB\right)$

Lời giải:

a) Ta có M là trung điểm của AD, Q là trung điểm BC

$\Rightarrow$MQ là đường trung bình của hình thang ABCD

$\Rightarrow$MQ // AB // CD (1)

M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BD

$\Rightarrow$MN là đường trung bình của tam giác DAB

$\Rightarrow$MN // AB (2)

P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC

$\Rightarrow$PQ là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow$PQ // AB (3)

Từ (1), (2) , (3) $\Rightarrow$MN // MQ // QP // AB

$\Rightarrow$bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng

$\Rightarrow$M, N, P, Q thuộc cùng một đường thẳng

b) Đặt AB = a; CD = b

Vì MQ là đường trung bình của hình thang ABCD

$\Rightarrow MQ=\frac{AB+CD}{2}$$=\frac{a+b}{2}$

Lại có MN, PQ lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD và ABC

$\Rightarrow MN=\frac{a}{2}$; $PQ=\frac{a}{2}$

Ta có:

MQ = MN +NP + PQ = $\frac{a}{2}+NP+\frac{a}{2}$$=\frac{a+b}{2}$

$\Rightarrow NP=\frac{a+b}{2}-\frac{a}{2}-\frac{a}{2}$

$\Rightarrow NP=\frac{b-a}{2}$$=\frac{1}{2}(CD-AB)$

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;

b) AM là đường trung trực của EF.

Bài 2: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh

a) AFD cân tại F

b) $\widehat{BA\text{}F}=\widehat{CDF}$

Bài 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng với cạnh BC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho $AD=\frac{1}{2}DC$. Kẻ Mx song song song với BD và cắt AC tại E. Đoạn BD cắt AM tại I. Chứng minh:

a) AD = DE = EC;

b) $S_{AIB}=S_{IBM}$

c) $S_{ABC}=S_{IBC}$

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ Hx vuông góc với AB tại P, Hy vuông góc với AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điểm D và E sao cho PH = PD; QH = QE. Chứng minh:

a) A là trung điểm của DE;

b) $PQ=\frac{1}{2}DE$

c) PQ = AH.

Bài 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD) với AB = a; BC = b, CD = c và AD = d.

Các tia phân giác của $\hat{A}$ và $\hat{D}$ cắt nhau tại E, các tia phân giác của $\hat{B}$ và $\hat{C}$ cắt nhau tại F. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AD và BC.

a) Chứng minh M, E, N, F cũng nằm trên một đường thẳng.

b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d.

Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.

a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB;

b) So sánh EF và $\frac{1}{2}\left(AB+CD\right)$;

c) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng từ đó chứng minh $EF=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right)$

Bài 7: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh E, F, I thẳng hàng.

Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh EI // CD; IF // AB

Bài 9: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE // IK; DE = IK.

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. Chứng minh:

a) Tam giác BAE bằng tam giác CAD;

b) Tam giác MDC cân;

c) HK = HC.