Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Các dạng toán về Hình bình hành (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Các dạng toán về Hình bình hành (50 bài tập minh họa)

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành$\iff \left\{\begin{array}{l}AB//CD\\ AD//BC\end{array}\right.$

2. Tính chất: Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

II. Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh:

a) BE = DF; $\widehat{ABE}=\widehat{CDF}$;

b) BE//DF

Lời giải:

a) Vì E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AE=DE=\frac{1}{2}AD\\ BF=CF=\frac{1}{2}BC\end{array}\right.$

Mà AD = BC do ABCD là hình bình hành.

Do đó: AE = DE = BF = CF

Lại có do ABCD là hình bình hành:

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AB=DC\\ \widehat{EAB}=\widehat{DCF}\end{array}\right.$ (tính chất)

Xét tam giác ABE và tam giác CDF có:

$\left\{\begin{array}{l}AB=DC\\ \widehat{EAB}=\widehat{DCF}\\ AE=BF\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta CDF$ (c – g – c)

$\Rightarrow$BE = DF (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{ABE}=\widehat{CDF}$ (hai góc tương ứng)

b) Xét tứ giác EBFD có:

$\left\{\begin{array}{l}BE=DF\\ DE=BF\end{array}\right.$(chứng minh trên)

Nên tứ giác EBFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow$BE // DF

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD lần lượt tại H và tại K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Lời giải:

Vì tứ gác ABCD là hình bình hành:

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AD=BC\\ AD//BC\end{array}\right.$

Vì AD // BC nên $\widehat{ADH}=\widehat{CBK}$ (hai góc so le trong)

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}AH\perp BD\\ CK\perp BD\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{AHD}=90°\\ \widehat{CKB}=90°\\ AH//CK\end{array}\right.$

Xét tam giác AHD và tam giác CKB có:

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{AHD}=\widehat{CKB}=90°\\ \widehat{ADH}=\widehat{CBK}\\ AD=BC\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta AHD=\Delta CKB$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow$AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AHCK có:

$\left\{\begin{array}{l}AH=CK\\ AH//CK\end{array}\right.$

$\Rightarrow$tứ giác AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng quy.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của LE.

Vì D là trung điểm của AB, L là trung điểm của AO nên LD là đường trung bình của tam giác AOB.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}LD//OB\\ LD=\frac{1}{2}OB\end{array}\right.$(1)

Vì N là trung điểm của OC, E là trung điểm BC nên NE là đường trung bình của tam giác OBC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}NE//OB\\ NE=\frac{1}{2}OB\end{array}\right.$(2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}NE//LD\\ NE=LD\end{array}\right.$

Xét tứ giác DENL có:

NE // LD

NE = LD

Nên tứ giác DENL là hình bình hành

$\Rightarrow$Hai đường chéo DN và LE cắt nhau tại trung điểm I của của LE (*)

L là trung điểm của AO, M là trung điểm của OB nên LM là đường trung bình của tam giác OAB

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}LM//AB\\ LM=\frac{1}{2}AB\end{array}\right.$(3)

F là trung điểm của AC, E là trung điểm của BC nên FE là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}FE//AB\\ FE=\frac{1}{2}AB\end{array}\right.$(4)

Từ (3) và (4)$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}FE//LM\\ FE=LM\end{array}\right.$

Xét tứ giác LMEF có:

FE // LM

FE = LM

Nên tứ giác LMEF là hình bình hành

$\Rightarrow$Hai đường chéo MF là LE cắt nhau tại trung điểm I của LE (**)

Từ (*) và (**) ta có EL, FM, DN đồng quy (do cùng đi qua trung điểm I của EL)

III. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E, tia phân giác của góc B cắt CD tại F.

a) Chứng minh DE // BF;

b) Tứ giác DEBF là hình gì?

Bài 2. Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F và đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF, chứng minh:

a) Tam giác AED cân

b) AD là phân giác của góc A.

Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và I, K là trung điểm của các đường chéo AC, BD. Chứng minh:

a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.

b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.

Bài 4. Cho tam giác ABC, H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D.

a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.

b) Tính số đo góc $\widehat{BDC}$, biết $\widehat{BAC}={60}^O$

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE cắt BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì?

b) Tam giác EMC là tam giác gì?

c) Chứng minh $\widehat{BAD}=2\widehat{AEM}$

Bài 6. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành;

b) So sánh chu vi tứ giác MNPQ và tổng hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Hai đường thẳng AM, AN cắt BD tại E, F. CMR:

a) E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD;          

b) EB = EF = DF.

Bài 8. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AF, EC, DE, BF.

Chứng minh các tứ giác EQFM, ENFP, MNPQ là hình bình hành.

Bài 9.  Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, O là trung điểm của MN. Gọi I là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh:

a) Tứ giác AMIN là hình bình hành.

b) Tứ giác MNIB là hình bình hành.

c) Tứ giác MNCI là hình bình hành.

d) B và C đối xứng nhau qua I.

Bài 10. Cho tam giác ABC và O là điểm nằm trong tam giác, M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, CA. Gọi A’, B’ lần lượt là các điểm đối xứng của điểm O qua M, N. Chứng minh:

a) Tứ giác AB’CO là hình bình hành.

b) Tứ giác BOCA’ là hình bình hành.

c) Tứ giác AB’A’B là hình bình hành.

Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Điểm E đối xứng với P qua N, điểm F đối xứng với N qua đường thẳng BC.

a) Tứ giác ANFM là hình gì? Vì sao?

b) Đường thẳng ME cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh K đối xứng với P qua B.

c) Chứng minh ba điểm C, E, F thẳng hàng.

Bài 12. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua A, F là điểm đối xứng với D qua C.

a) Chứng minh AEBC và ABFC là các hình bình hành.

b) Các điểm E và F có đối xứng với nhau qua điểm B không? Vì sao?

c) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để E đối xứng với F qua đường thẳng BD.

Bài 13. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho AD = CE. Gọi O là trung điểm của DE, K là giao điểm của AO và BC. Tứ giác ADKE là hình bình hành.

Bài 14. Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Lấy P, Q lần lượt thuộc cạnh BC, AD (PB$\ne$PC, QA$\ne$QD). Biết tứ giác MPNQ là hình bình hành. Chứng minh BC // AD.

Bài 15. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh:

a) EMFN là hình bình hành;

b) Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.

Bài 16*. Cho hình bình hành ABCD. Qua C kẻ đường thẳng xy chỉ có một điểm chung C với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B. C, D đến đường thẳng xy. Chứng minh AA’ = BB’ + DD'.

Bài 17*. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm mối liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’, DD'.

Bài 18*. Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{A}>{90}^o$. Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam giác đều ADF, ABE.

a) Tính $\widehat{EAF}$;

b) Chứng minh tam giác CEF là tam giác đều.

Bài 19. Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại A là BD, ACE. Vẽ hình bình hành ADIE. Chứng minh:

a) IA = BC

b) $IA\perp BC$