Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Các dạng toán về Hình chữ nhật  (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Các dạng toán về Hình chữ nhật (50 bài tập minh họa)

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật$\iff \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}={90}^o$

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân

2. Tính chất

- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.

- Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết:

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Áp dụng vào tam giác vuông:

a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật.

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao?

Lời giải:

$∆ABC$ vuông tại A nên $\widehat{BAC}={90}^o$; mà D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC nên $\widehat{DAE}={90}^o$

Vì $MD\perp AB$ tại D nên $\widehat{ADM}={90}^o$

$ME\perp AC$ tại E nên $\widehat{AEM}={90}^o$

Xét tứ giác ADME có:

$\widehat{DAE}=\widehat{ADM}=\widehat{AEM}={90}^o$

Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Ta có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

$\left\{\begin{array}{l}BG=2GM\\ CG=2GN\end{array}\right.$(1)

Lại có: G đối xứng với với D qua M$\Rightarrow$GM = MD$\Rightarrow$GD = 2GM (2)

G đối xứng với E qua N$\Rightarrow$GN = EN$\Rightarrow$GE = 2GN (3)

Từ (1); (2); (3)$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BG=GD\\ CG=GE\end{array}\right.$$\Rightarrow$G là trung điểm của BD; G là trung điểm CE

Xét tứ giác BCDE có:

G là trung điểm của đường chéo BD

G là trung điểm đường chéo CE

Do đó: tứ giác BCDE là hình bình hành

Lại có:

$\Delta ABC$ cân tại A nên AB = AC. Mà M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB nên BN = CM

Xét tam giác BNC và tam giác CMB có:

BC chung

BN = CM

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ (do tam giác ABC cân tại A)

Do đó: $\Delta BNC=\Delta CMB$ (c – g –c)

$\Rightarrow$CN = BM (hai cạnh tương ứng)

Mà $\left\{\begin{array}{l}CN=\frac{3}{4}EC\\ BM=\frac{3}{4}BD\end{array}\right.$

Do đó EC = BD.

Xét hình bình hành BCDE có hai đường chép EC và BD bằng nhau

$\Rightarrow$Hình bình hành BCDE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Dạng 2: Vận dụng tính chất của hình chữ nhật để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình chữ nhật và các kiến thức đã học về tứ giác đặc biệt.

Ví dụ: Tứ giác ABCD có AB$\perp$CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.

Lời giải:

Vì E là trung điểm của BC, H là trung điểm của AC nên EH là đường trung bình của $∆ABC$$\Rightarrow$EH // AB (*) và $EH=\frac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Tương tự ta chứng minh được GF là đường trung bình của $∆ABC\Rightarrow$GF // AB và $GF=\frac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow$HE // GF; HE = GF$\Rightarrow$GHEF là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) (**)

Mặt khác ta cũng chứng minh được EF là đường trung bình của$∆BCD\Rightarrow$EF // CD (3)

Kết hợp với $AB\perp CD$ (gt) (4)

Kết hợp (*), (3) và (4)$\Rightarrow HE\perp EF$$\Rightarrow \widehat{HEF}={90}^o$(***)

Từ (**) và (***) ta có EFGH là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết). Từ đó suy ra hai đường chéo EG = FH (tính chất của hình chữ nhật).

Dạng 3: Sử dụng định lý thuận và đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng định lý về tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông để tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh các hình bằng nhau hoặc chứng minh tam giác vuông.

Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HB = 2 cm, HD = 6 cm. Tính độ dài AB, AD.

Lời giải:

Ví dụ 2:  Cho $∆ABC$ vuông tại A, trung tuyến AM. Biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài AM.

Lời giải:

Ví dụ 3: Cho hình thang vuông ABCD ($\widehat{A}=\widehat{D}={90}^o$) có các điểm E, F thuộc cạnh AD sao cho AE = DF và $\widehat{BFC}={90}^o$. Chứng minh $\widehat{BEC}={90}^o$

Lời giải:

Gọi N là trung điểm của EF

$\Rightarrow$NE = NF, mà AE = DF (gt)

$\Rightarrow$AE + NE = DF + NF

$\Rightarrow$AN = DN

$\Rightarrow$N là trung điểm của AD

Gọi M là trung điểm của BC

 Khi đó: MN là đường trung bình của hình thang ABCD

$\Rightarrow$MN // AB.

Mặt khác $AB\perp AD$ (do hình thang ABCD vuông tại A và D)

Nên $MN\perp AD$$\Rightarrow$$MN\perp EF$

Xét $\Delta MEF$ có:

MN là đường cao,

MN là đường trung tuyến (do N là trung điểm của EF)

$\Rightarrow \Delta MEF$ cân tại M nên ME = MF (1)

Lại có:

$\Delta BFC$ vuông tại F

M là trung điểm của BC

Nên MF = MB = MC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow$ME = MB = MC.

$\Rightarrow ∆$BEC vuông tại E (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

$\Rightarrow \widehat{BEC}={90}^o$(đpcm).

Dạng 4. Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh EFGH là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là hình chữ nhật.

Lời giải:

a) Ta có:

 E là trung điểm của AB, H là trung điểm của AD nên HE là đường trung bình của $∆ABC$$\Rightarrow$HE // BD; $HE=\frac{1}{2}BD$(1)

F là trung điểm BC, G là trung điểm của DC nên FG là đường trung bình của $∆BCD$ nên:

FG // BD; $FG=\frac{1}{2}BD$(2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}HE//FG\\ HE=FG\end{array}\right.$

Xét tứ giác EFGH ta có $\left\{\begin{array}{l}HE//FG\\ HE=FG\end{array}\right.$

Do đó: EFGH là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết)

b) Giả sử EFGH là hình chữ nhật$\Rightarrow \widehat{HEF}={90}^o$$\iff HE\perp EF$(3)

Ta có:

E là trung điểm của AB,

F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow$EF //AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Mà HE // BD (chứng minh a) (5)

Từ (3), (4), (5)$\Rightarrow BD\perp AC$

$\Rightarrow$Tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc.

Tứ giác ABCD cần có thêm điều kiện hai đường chéo vuông góc thì EFGH là hình chữ nhật.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì?

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M thuộc AB). Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Bài 3. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Lấy E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K. Chứng minh:

a) Tứ giác AHCE là hình chữ nhật;

b) HG = GK = KE.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M di động trên cạnh BC. Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC.

a) Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh AM = DE;

c) Chứng minh khi điểm M thay đổi trên cạnh BC thì chu vi tứ giác ADME không thay đổi;

d) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất.

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kì trên đường chéo BD. Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và AD tại H và K. Chứng minh:

a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật;

b) AF // BD;

c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của DM và AB, K là giao điểm của EM và AC. Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng;

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật;

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD. Điểm E, F lần lượt thuộc cạnh AD, AB. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của EF, FD, BE, BD. Chứng minh IN = KM.

Bài 8. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, DC. Chứng minh rằng tứ giác AEFG là hình thang cân.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC.

a) Tính số đo góc IHK;

b) Chứng minh chu vi tam giác IHK bằng nửa chu vi tam giác ABC.

Bài 11. Cho hình thang cân ABCD, đường cao AH. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên AD, BC. Chứng minh rằng EFCH là hình bình hành.

Bài 12. Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường thẳng MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H.

a) Tứ giác AMBQ là hình gì?

b) Chứng minh $CH\perp AB$

c) Chứng minh tam giác PIQ cân.

Bài 13. Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành;

b) Xác định vị trí của điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 14. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC.

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng;

b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân;

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật.