Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Phân thức đại số và các tính chất cơ bản của phân thức (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Phân thức đại số và các tính chất cơ bản của phân thức (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

1. Khái niệm phân thức đại số

Phân thức đại số (hay gọi là phân thức) là biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ với A, B là các đa thức và B $\ne$0.

A được gọi là tử thức (hay tử).

B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

2. Hai phân thức bằng nhau

+ Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ (B, D $\ne$0) được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C. Ta viết:

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$(B, D $\ne$0) nếu A.D = B.C

Chú ý:

- Các tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức.

- Các giá trị của biến làm cho mẫu bằng 0 gọi là giá trị làm phân thức vô nghĩa hoặc không xác định.

3. Các tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M}$(với $\frac{A}{B}$ là phân thức; B, M $\ne$  0)

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của tử và mẫu ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A:N}{B:N}$(với N là nhân tử chung của A và B)

4. Quy tắc đổi dấu

- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đã cho thì ta được phân thức mới bằng phân thức ban đầu.

$\frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}$(với B $\ne$0)

- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=-\frac{-A}{B}=-\frac{A}{-B}$(với B $\ne$0)

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

Phương pháp giải: Phân thức $\frac{A}{B}$ có nghĩa khi và chỉ khi B $\ne$0.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa

a) $\frac{4x-3}{2+x}$

b) $\frac{5x-4}{3x-2}$

Lời giải:

a) Phân thức $\frac{4x-3}{2+x}$ có nghĩa $\iff 2+x\ne 0\iff x\ne -2$

b) Phân thức $\frac{5x-4}{3x-2}$ có nghĩa $\iff 3x-2\ne 0\iff 3x\ne 2\iff x\ne \frac{2}{3}$

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa

a) $\frac{3x+2}{x^2-5x+6}$

b) $\frac{3x-4}{2x^2-7x+3}$

Lời giải:

a) Phân thức $\frac{3x+2}{x^2-5x+6}$ có nghĩa thì $x^2-5x+6\ne 0$

$\iff x^2-3x-2x+6\ne 0$

$\iff x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)\ne 0$

$\iff \left(x-3\right)\left(x-2\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-3\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 3\\ x\ne 2\end{array}\right.$

Vậy để phân thức có nghĩa thì $x\ne 3$ và $x\ne 2$ .

b) Để phân thức $\frac{3x-4}{2x^2-7x+3}$ có nghĩa thì $2x^2-7x+3\ne 0$

$\iff 2x^2-6x-x+3\ne 0$

$\iff 2x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)\ne 0$

$\iff \left(2x-1\right)\left(x-3\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-1\ne 0\\ x-3\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ne 1\\ x\ne 3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{1}{2}\\ x\ne 3\end{array}\right.$

Vậy để phân thức có nghĩa thì $x\ne \frac{1}{2}$ và $x\ne 3$

Dạng 2: Tính giá trị phân thức tại một giá trị của biến

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa của phân thức

Bước 2: Kiểm tra giá trị của biến với điều kiện

Bước 3: Tính giá trị phân thức bằng cách thay giá trị của biến vào phân thức rồi thực hiện tính toán biểu thức số.

Ví dụ 1: Tính giá trị phân thức $\frac{3x+2}{5x+6}$ tại điểm x = 3

Lời giải:

Điều kiện xác định:

$5x+6\ne 0$

$\iff x\ne \frac{-6}{5}$

Thay x = 3 (thỏa mãn điều kiện) vào phân thức ta được

$\frac{3.3+2}{5.3+6}=\frac{11}{21}$

Vậy giá trị phân thức là $\frac{11}{21}$ tại x =3.

Ví dụ 2: Tính giá trị phân thức $\frac{x+2}{x^2-6x+8}$ tại các điểm x = 2 và x = $\frac{-6}{5}$

Lời giải:

Điều kiện xác định:

$x^2-6x+8\ne 0$

$\iff x^2-4x-2x+8\ne 0$

$\iff x\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)\ne 0$

$\iff \left(x-2\right)\left(x-4\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-2\ne 0\\ x-4\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ x\ne 4\end{array}\right.$

Với x = 2 (không thỏa mãn điều kiện) nên phân thức không xác định

Với x = $\frac{-6}{5}$ (thỏa mãn điều kiện) thay vào phân thức ta được

$\frac{\frac{-6}{5}+2}{{\left(\frac{-6}{5}\right)}^2-6.\left(\frac{-6}{5}\right)+8}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{416}{25}}=\frac{5}{104}$

Vậy:

Với x = 2 ta không xác định được giá trị của phân thức

Với x = $\frac{-6}{5}$  phân thức có giá trị là $\frac{5}{104}$

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Cho biểu thức bằng với giá trị cho trước. Sau đó dùng các phương pháp tìm x thông thường để giải.

Ví dụ 1: Tìm x để phân thức $\frac{3x+2}{4x-1}$ có giá trị bằng 2

Lời giải:

Điều kiện xác định:

$4x-1\ne 0$

$\iff 4x\ne 1$

$\iff x\ne \frac{1}{4}$

Ta có: $\frac{3x+2}{4x-1}=2$

$\iff 3x+2=2\left(4x-1\right)$

$\iff 3x+2=8x-2$

$\iff 8x-3x=2+2$

$\iff 5x=4$

$\iff x=\frac{4}{5}$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x=\frac{4}{5}$ thì phân thức $\frac{3x+2}{4x-1}$ có giá trị là 2.

Ví dụ 2: Cho phân thức A = $\frac{x^2-1}{2x^2-3x+1}$ . Tìm x để A = 1.

Lời giải:

Điều kiện xác định:

$2x^2-3x+1\ne 0$

$\iff 2x^2-2x-x+1\ne 0$

$\iff 2x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\ne 0$

$\iff \left(2x-1\right)\left(x-1\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-1\ne 0\\ x-1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ne 1\\ x\ne 1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{1}{2}\\ x\ne 1\end{array}\right.$

Để A = 1 thì $\frac{x^2-1}{2x^2-3x+1}=1$

$\Rightarrow x^2-1=2x^2-3x+1$

$\iff 2x^2-x^2-3x+1+1=0$

$\iff x^2-3x+2=0$

$\iff x^2-2x-x+2=0$

$\iff x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)=0$

$\iff \left(x-2\right)\left(x-1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\left(tm\right)\\ x=1\left(ktm\right)\end{array}\right.$

Vậy để A = 1 thì x = 2.

Dạng 4: Chứng minh phân thức bằng nhau

Phương pháp giải: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$  (B, D $\ne$0) được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C. Ta viết:

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ (B, D $\ne$0) nếu A.D = B.C

Chọn một trong bốn cách biến đổi sau

Cách 1: Dùng định nghĩa $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ (B, D $\ne$0) nếu A.D = B.C

Cách 2: Biến đổi vế trái thành vế phải.

Cách 3: Biến đổi vế phải thành vế trái.

Cách 4: Biến đổi đồng thời cả hai vế.

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau $\frac{2x-1}{2x^2+3x-2}=\frac{1}{x+2}$với $x\ne -2;x\ne \frac{1}{2}$

Lời giải:

Đặt

$VT=\frac{2x-1}{2x^2+3x-2}$

$VP=\frac{1}{x+2}$

Ta biến đổi vế trái

$VT=\frac{2x-1}{2x^2+3x-2}$

$\iff VT=\frac{2x-1}{2x^2+4x-x-2}$

$\iff VT=\frac{2x-1}{2x\left(x+2\right)-\left(x+2\right)}$

$\iff VT=\frac{2x-1}{\left(x+2\right)\left(2x-1\right)}$

$VT=\frac{1}{x+2}=VP$ (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Hai phân thức $\frac{x-4}{x^2-5x+4}$ và $\frac{x-2}{x^2-3x+2}$ có bằng nhau không với $x\ne 2;x\ne 4;x\ne 1$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{x-4}{x^2-5x+4}=\frac{x-4}{x^2-4x-x+4}$

$=\frac{x-4}{x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)}=\frac{x-4}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}$

$=\frac{1}{x-1}$ (1)

Ta lại có:

$\frac{x-2}{x^2-3x+2}=\frac{x-2}{x^2-2x-x+2}$

$=\frac{x-2}{x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)}=\frac{x-2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}$

$=\frac{1}{x-1}$(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{x-4}{x^2-5x+4}=\frac{x-2}{x^2-3x+2}=\frac{1}{x-1}$ (điều phải chứng minh).

Dạng 5: Tìm phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước

Bước 1: Phân tích tử thức, mẫu thức ở cả hai vế

Bước 2: Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm.

Chú ý: Áp dụng tính chất của hai phân thức bằng nhau

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\iff A.D=B.C\left(B,D\ne 0\right)$

Ví dụ 1: Tìm đa thức A trong đẳng thức sau $\frac{x-1}{x^2+2x+4}=\frac{A}{x^3-8}$ với $x\ne 2$ .

Lời giải:

$\frac{x-1}{x^2+2x+4}=\frac{A}{x^3-8}$

$\iff \frac{x-1}{x^2+2x+4}=\frac{A}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}$

Ta có:

$x^2+2x+4=x^2+2x+1+3={\left(x+1\right)}^2+3$

Vì ${\left(x+1\right)}^2\ge 0$  với mọi x nên ${\left(x+1\right)}^2+3\ge 3$ với mọi x

$\Rightarrow x^2+2x+4\ne 0$

Nhân cả hai vế với $x^2+2x+4$

$\Rightarrow x-1=\frac{A}{x-2}$

$\Rightarrow A=\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

$\iff A=x^2-2x-x+2$

$\iff A=x^2-3x+2$

Vậy $A=x^2-3x+2$  với $x\ne 2$ .

Ví dụ 2: Tìm đa thức B thỏa mãn đẳng thức sau $\frac{2x^3+4x^2}{x^2-4}=\frac{B}{x-2}$ với $x\ne \pm 2$ .

Lời giải:

$\frac{2x^3+4x^2}{x^2-4}=\frac{B}{x-2}$ 

$\iff \frac{2x^2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{B}{x-2}$

$\iff \frac{2x^2}{x-2}=\frac{B}{x-2}$

$\iff 2x^2=B$(vì  nên x – 2 0)

Vậy B = $2x^2$ với $x\ne \pm 2$ .

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm điều kiện của các phân thức sau

a) $\frac{4x-1}{2x+5}$

b) $\frac{4x-2}{2x^2-3x+1}$

c) $\frac{3x-1}{{\left(x-2\right)}^2}$

d) $\frac{2x-3}{x^3-x^2+x-1}$

Bài 2: Tính giá trị phân thức

a) $\frac{4x-3}{2x^2-3x+1}$ với x = 2

b) $\frac{3x-1}{2x-5}$ với $x=\frac{1}{2}$

Bài 3: Tìm các đa thức B trong mỗi trường hợp sau

a) $\frac{2x-1}{x-3}.\frac{1}{B}=\frac{1}{x^2-4x+3}$ với $x\ne \frac{1}{2};x\ne 1;x\ne \frac{1}{3}$

b) $\frac{B}{2x-3}=\frac{2x^2+3x}{4x^2-9}$ với $x\ne \pm \frac{3}{2}$

Bài 4: Tính giá trị phân thức $A=\frac{x^2-2x-3}{x^2-2x+1}$  tại x trong các trường hợp sau:

a) $x=3$

b) $2x-1=1$

c) $\left|4x+3\right|=7$

Bài 5: Chứng minh các đẳng thức bằng nhau $\frac{-x^2+3x-2}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2-4x+4}{4-x^2}$ với $x\ne \pm 2;x\ne 1$

Bài 6: Tìm một cặp đa thức A, B thỏa mãn đẳng thức $\frac{\left(x^2-1\right)A}{x^2-2x+1}=\frac{\left(x+1\right)B}{x^2-x-6}$

Với $x\ne 1;x\ne -2;x\ne 3$

Bài 7: Cho ba phân thức $\frac{x^2-x-2}{x^2+x};\frac{x-2}{x};\frac{x^2-3x+2}{x^2-x}$ có bằng nhau không? Vì sao?

Bài 8:  Cho đẳng thức $\frac{\left(x+3\right)A}{x-3}=\frac{\left(x-1\right)B}{x^2-9}$ với $x\ne \pm 3$ . Tìm cặp số A, B thỏa mãn.

Bài 9: Tìm đa thức M thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{x+1}{M}=\frac{x^2-2x+4}{x^3+8}$ với $x\ne -1;x\ne -2$

b) $\frac{x-3}{x+3}.M=\frac{2x^3-8x^2-6x+36}{x+2}$ với $x\ne \pm 3;x\ne -2$

Bài 10: Cho $B=\frac{3x^2-10x+3}{x^2-4x+3}$ với $x\ne 2;x\ne 3$

Tính giá trị của B khi x thỏa mãn  $x^2-8x+15=0$