Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Rút gọn phân thức đại số (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Rút gọn phân thức đại số (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau

Bước 1: Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử thức và mẫu thức.

Bước 2: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.

Nhắc lại các tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M}$(với $\frac{A}{B}$là phân thức; B, M 0)

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của tử và mẫu ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A:N}{B:N}$(với N là nhân tử chung của A và B)

- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đã cho thì ta được phân thức mới bằng phân thức ban đầu.

$\frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}$(với B$\ne$0)

- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=-\frac{-A}{B}=-\frac{A}{-B}$(với B$\ne$0)

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Rút gọn phân thức

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước sau

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung.

Bước 2: Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung.

Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu (lưu ý tới tính chất A = – (– A)).

Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau: $\frac{2x^3-x^2-2x+1}{x^3+3x^2-x-3}$với $x\ne -3;x\ne \pm 1$

Lời giải:

$\frac{2x^3-x^2-2x+1}{x^3+3x^2-x-3}$

$=\frac{x^2\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)}{x^2\left(x+3\right)-\left(x+3\right)}$

$=\frac{\left(2x-1\right)\left(x^2-1\right)}{\left(x+3\right)\left(x^2-1\right)}$

$=\frac{2x-1}{x+3}$với $x\ne -3;x\ne \pm 1$

Ví dụ 2: Đơn giản phân thức sau$\frac{9x^2{y}^2+3x^2}{12x{y}^5+4x{y}^3}$với $x,y\ne 0$

Lời giải:

$\frac{9x^2{y}^2+3x^2}{12x{y}^5+4x{y}^3}$

$=\frac{3x^2\left(3y^2+1\right)}{4x{y}^3\left(3y^2+1\right)}$

$=\frac{3x^2}{4x{y}^3}$

$=\frac{3x}{4y^3}$ với $x,y\ne 0$

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải: Chọn 1 trong ba cách biến đổi sau

Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải

Cách 2: Biến đổi vế phải thành vế trái

Cách 3: Biến đổi đồng thời cả hai vế

Chú ý: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi, rút gọn.

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức:

$\frac{2x^2+3xy+y^2}{2x^3+x^{2}y-2x{y}^2-y^3}=\frac{1}{x-y}$với $y\ne -2x;y\ne \pm x$

Lời giải:

Đặt $VT=\frac{2x^2+3xy+y^2}{2x^3+x^{2}y-2x{y}^2-y^3}$

$VP=\frac{1}{x-y}$

Ta biến đổi vế trái

$VT=\frac{2x^2+3xy+y^2}{2x^3+x^{2}y-2x{y}^2-y^3}$

$\iff VT=\frac{2x^2+2xy+xy+y^2}{2x^3+x^{2}y-2x{y}^2-y^3}$

$\iff VT=\frac{2x\left(x+y\right)+y\left(x+y\right)}{x^2\left(2x+y\right)-y^2\left(2x+y\right)}$

$\iff VT=\frac{\left(2x+y\right)\left(x+y\right)}{\left(x^2-y^2\right)\left(2x+y\right)}$

$\iff VT=\frac{x+y}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}$

$\iff VT=\frac{1}{x-y}=VP$(điều phải chứng minh)

Ví dụ 2: Cho $P=\frac{4x{y}^2-4x^{2}y+x^3}{4x^3-8x^{2}y}$và $Q=\frac{2xy-x^2-2y+x}{4x-4x^2}$

Với $x\ne 0;x\ne 1;x\ne 2y$

Chứng minh P = Q

Lời giải:

Ta có:

$P=\frac{4x{y}^2-4x^{2}y+x^3}{4x^3-8x^{2}y}$

$P=\frac{x\left(4y^2-4xy+x^2\right)}{4x^2\left(x-2y\right)}$

$P=\frac{x{\left(x-2y\right)}^2}{4x^2\left(x-2y\right)}$

$P=\frac{x-2y}{4x}$ (1)

Ta lại có

$Q=\frac{2xy-x^2-2y+x}{4x-4x^2}$

$Q=\frac{\left(2xy-2y\right)+\left(x-x^2\right)}{4x-4x^2}$

$Q=\frac{2y\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)}{-4x\left(x-1\right)}$

$Q=\frac{\left(x-1\right)\left(2y-x\right)}{-4x\left(x-1\right)}$

$Q=\frac{2y-x}{-4x}$

$Q=\frac{x-2y}{4x}$(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow P=Q$ (điểu phải chứng minh)

Dạng 3: Chứng minh một phân thức là phân thức tối giản

Phương pháp giải: Ta chứng minh tử thức và mẫu thức có ước chung lớn nhất là 1 hoặc -1

Bước 1: Gọi ước chung lớn nhất của tử thức và mẫu thức là d

Bước 2: Chứng minh d$=\pm$ 1

Chú ý: Cần vận dụng các kiến thức liên quan đến ước và bội, tính chất chia hết…

+ Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

+ Tính chất chia hết của một tổng(hiệu): $\left.\begin{array}{l}a⋮m\\ b⋮m\end{array}\right\}\Rightarrow \left(a\pm b\right)⋮m$

+ Tính chất chia hết của một tích: $a⋮m\Rightarrow \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}ka⋮m.$

Ví dụ 1: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

a) $\frac{3n+1}{5n+2}$

b) $\frac{2n-1}{4n^2-2}$

Lời giải:

a) $\frac{3n+1}{5n+2}$

Gọi ước chung lớn nhất của 3n + 1 và 5n + 2 là d

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(3n+1\right)⋮d\\ \left(5n+2\right)⋮d\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}5.\left(3n+1\right)⋮d\\ 3.\left(5n+2\right)⋮d\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(15n+5\right)⋮d\\ \left(15n+6\right)⋮d\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\left(15n+6\right)-\left(15n+5\right)\right]⋮d$      (áp dụng tính chất chia hết của một hiệu)

$\iff \left(15n+6-15n-5\right)⋮d$

$\iff 1⋮d$

$\Rightarrow d=1$hoặc d = -1

Vậy $\frac{3n+1}{5n+2}$là phân số tối giản với $\forall n\in \mathbb{N}$

b) $\frac{2n-1}{4n^2-2}$

Gọi ước chung của 2n – 1 và $4n^2-2$ là d

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(2n-1\right)⋮d\\ \left(4n^2-2\right)⋮d\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2n\left(2n-1\right)⋮d\\ \left(4n^2-2\right)⋮d\end{array}\right.$        (áp dụng tính chất chia hết của một tích)

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(4n^2-2n\right)⋮d\\ \left(4n^2-2\right)⋮d\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\left(4n^2-2n\right)-\left(4n^2-2\right)\right]⋮d$     (áp dụng tính chất chia hết của một hiệu).

$\iff \left(4n^2-2n-4n^2+2\right)⋮d$

$\iff \left(-2n+2\right)⋮d$

$\Rightarrow \left[\left(-2n+2\right)+\left(2n-1\right)\right]⋮d$    (áp dụng tính chất chia hết của một tổng)

$\iff \left(-2n+2+2n-1\right)⋮d$

$\iff 1⋮d$$\Rightarrow d=1$ hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với $\forall n\in \mathbb{N}$

Ví dụ 2: Trong các phân thức sau, phân thức nào tối giản

a) $\frac{2n^2+1}{n^2+1}$

b) $\frac{2n+1}{2n+3}$

Lời giải:

a) $\frac{2n^2+1}{n^2+1}$

Gọi d là ước chung lớn nhất của $2n^2+1$và $n^2+1$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(2n^2+1\right)⋮d\\ \left(n^2+1\right)⋮d\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(2n^2+1\right)⋮d\\ 2\left(n^2+1\right)⋮d\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(2n^2+1\right)⋮d\\ \left(2n^2+2\right)⋮d\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\left(2n^2+1\right)-\left(2n^2+2\right)\right]⋮d$

$\iff \left(2n^2+1-2n^2-2\right)⋮d$

$\iff -1⋮d$

$\Rightarrow d=1$ hoặc d = -1

Vậy phân thức $\frac{2n^2+1}{n^2+1}$tối giản.

b) $\frac{2n+1}{2n+3}$

Gọi ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 2n + 3 là d

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(2n+1\right)⋮d\\ \left(2n+3\right)⋮d\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\left(2n+1\right)-\left(2n+3\right)\right]⋮d$

$\iff \left(2n+1-2n-3\right)⋮d$

$\iff -2⋮d$

=>  Ngoài hai ước là 1 và  – 1 thì tử thức và mẫu thức đã cho còn có thêm ít nhất một ước nữa là 2.

Vậy phân thức $\frac{2n+1}{2n+3}$không là phân thức tối giản.

Dạng 4: Tìm giá trị nguyên của biến x để phân thức đạt giá trị nguyên

Phương pháp giải: Phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$

Bước 1: Chia A(x) cho B(x). Khi đó ta được $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=C\left(x\right)+\frac{m}{B\left(x\right)}$

Với C(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên, m là số nguyên

Bước 2: Để $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ nguyên  thì $\frac{m}{B\left(x\right)}$ nguyên hay B(x) $\in$Ư(m)

Bước 3: Tìm các giá trị x thỏa mãn và kết luận.

Ví dụ: Tìm x nguyên để các phân thức sau nhận giá trị nguyên

a) $\frac{3}{x+1}$

b) $\frac{6x+4}{2x-1}$

Lời giải:

a) Để phân thức $\frac{3}{x+1}$ nguyên thì $\left(x+1\right)\in$Ư(3) với điều kiện x-1

Ư(3) = $\left\{-3;-1;1;3\right\}$

Vậy để phân thức $\frac{3}{x+1}$ nguyên thì $x\in \left\{-4;-2;0;2\right\}$

b) $\frac{6x+4}{2x-1}=\frac{6x-3+7}{2x-1}=\frac{3\left(2x-1\right)}{2x-1}+\frac{7}{2x-1}=3+\frac{7}{2x-1}$ với x $\ne \frac{1}{2}$

Để $\frac{6x+4}{2x-1}$ nguyên thì $3+\frac{7}{2x-1}$ nguyên hay $\frac{7}{2x-1}$

$\Rightarrow \left(2x-1\right)\in$Ư(7)

Ư(7) = $\left\{-7;-1;1;7\right\}$

Vậy để phân thức $\frac{6x+4}{2x-1}$ nguyên thì $x\in \left\{-3;0;1;4\right\}$

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tối giản các phân thức sau

a) $\frac{x^3+y^3}{x^4-y^4}$

b) $\frac{2x^4{y}^2+x^2}{4x^3{y}^4+2x{y}^2}$

Bài 2: Rút gọn phân thức sau:

$B=\frac{-x^4+x^3+x-1}{x^4+x^3+3x^2+2x+2}$

Bài 3: Chứng minh đẳng thức sau:

a) $\frac{x^{2}y-2x{y}^2+y^3}{2x^2-xy-y^2}=\frac{xy-y^2}{2x+y}$với $x\ne y;y\ne -2x$

b) $\frac{x-xy+y-y^2}{y^3-3y^2+3y-1}=\frac{x+y}{-y^2+2y-1}$ với $y\ne 1$

Bài 4: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n

a) $\frac{8n+15}{12n+22}$

b) $\frac{3n+8}{2n+5}$

Bài 5: Tìm x nguyên để phân thức sau đạt giá trị nguyên

a) $A=\frac{6}{x-2}$

b) $B=\frac{2x-5}{2x+1}$

c) $C=\frac{x^2+3x-1}{x-2}$

d) $D=\frac{x^3-3x^2}{x-5}$

Bài 6: Các phân thức sau đây phân thức nào tối giản?

a) $\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$

b) $\frac{4n+1}{n-3}$

c) $\frac{7n-5}{3n-2}$

Bài 7: Cho hai phân thức sau

$A=\frac{4x^2-4xy+y^2}{y^3-6y^{2}x+12y{x}^2-8x^3}$ và $B=\frac{-1}{2x-y}$ với $y\ne 2x$

Hai phân thức trên có bằng nhau không?

Bài 8: Rút gọn phân thức $A=\frac{x^7-x^4+x^3-1}{x^6+x^5+x^4+x^2+x+1}$.

Bài 9: Rút gọn phân thức $B=\frac{1-x^4}{x^{10}-x^8+4x^6-4x^4+4x^2-4}$với $x\ne \pm 1$.

Bài 10: Chứng tỏ hai phân thức $\frac{ab+cx+ax+bc}{ay+2cx+2ax+cy}$và $\frac{x+b}{2x+y}$ bằng nhau.

Với $y\ne 2x;a\ne c$.