Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức ban đầu thành những phân thức mới với mẫu thức giống nhau.

2. Các bước quy đồng mẫu thức

a) Các bước tìm mẫu thức chung

Bước 1: Phân tích từng mẫu thức thành nhân tử

Bước 2: Chọn ra các nhân tử chung và nhân tử riêng của từng mẫu thức

Bước 3: Nhân các nhân tử chung và các nhân tử riêng có số mũ lớn nhất lại với nhau ta được mẫu thức chung.

b) Các bước quy đồng mẫu thức

Để quy đồng mẫu thức ta làm các bước sau đây

Bước 1: Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

II. Dạng bài tập

Dạng: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Phương pháp giải: Làm theo các bước đã được liệt kê ở lí thuyết

Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân thức sau.

a) $\frac{3}{x^2-3x}$và $\frac{5}{2x-6}$với $x\ne 3$; x$\ne$0

b) $\frac{11}{9x^{4}y}$và $\frac{5}{3x{y}^3}$với $x\ne 0;y\ne 0$

c) $\frac{1}{2x^2-4x+2}$và $\frac{3}{5x^2-5x}$với $x\ne 0;x\ne 1$

d) $\frac{x-3y}{x^2-2xy-8y^2}$và $\frac{x-2y}{x^2-xy-12y^2}$với $x\ne -3y;x\ne -2y;x\ne 4y$.

Lời giải:

a) Ta có:

$x^2-3x=x\left(x-3\right)$

$2x-6=2\left(x-3\right)$

Chọn mẫu thức chung là $2x\left(x-3\right)$

Khi đó:

$\frac{3}{x^2-3x}=\frac{3.2}{x\left(x-3\right).2}=\frac{6}{2x^2-6x}$

và $\frac{5}{2x-6}=\frac{5x}{\left(2x-6\right)x}=\frac{5x}{2x^2-6x}$.

b) Ta chọn mẫu thức chung là $9x^4{y}^3$

Khi đó:

$\frac{11}{9x^{4}y}=\frac{11.y^2}{9x^{4}y.y^2}=\frac{11y^2}{9x^4{y}^3}$

và $\frac{5}{3x{y}^3}=\frac{5.3x^3}{3x{y}^{3}3x^3}=\frac{15x^3}{9x^4{y}^3}$.

c) Ta có:

$2x^2-4x+2=2.\left(x^2-2x+1\right)=2{\left(x-1\right)}^2$

$5x^2-5x=5x\left(x-1\right)$

Chọn mẫu thức chung: $10x{\left(x-1\right)}^2$

Khi đó:

$\frac{1}{2x^2-4x+2}=\frac{1}{2{\left(x-1\right)}^2}=\frac{1.5x}{2{\left(x-1\right)}^2.5x}=\frac{5x}{10x{\left(x-1\right)}^2}$

và $\frac{3}{5x^2-5x}=\frac{3}{5x\left(x-1\right)}=\frac{3.2\left(x-1\right)}{5x\left(x-1\right).2\left(x-1\right)}=\frac{6x-6}{10x{\left(x-1\right)}^2}$.

d) Ta có:

$x^2-2xy-8y^2=\left(x^2-2xy+y^2\right)-9y^2$

$={\left(x-y\right)}^2-{\left(3y\right)}^2=\left(x-y-3y\right)\left(x-y+3y\right)$

$=\left(x-4y\right)\left(x+2y\right)$

$x^2-xy-12y^2=\left(x^2-9y^2\right)-\left(xy+3y^2\right)$$=\left(x-3y\right)\left(x+3y\right)-y\left(x+3y\right)$

$=\left(x-3y-y\right)\left(x+3y\right)$$=\left(x-4y\right)\left(x+3y\right)$

Chọn mẫu thức chung là $\left(x-4y\right)\left(x+3y\right)\left(x+2y\right)$

Khi đó:

$\frac{x-3y}{x^2-2xy-8y^2}=\frac{x-3y}{\left(x-4y\right)\left(x+2y\right)}$

$=\frac{\left(x-3y\right).\left(x+3y\right)}{\left(x-4y\right)\left(x+3y\right)\left(x+2y\right)}$

$=\frac{x^2-9y^2}{\left(x-4y\right)\left(x+3y\right)\left(x+2y\right)}$

và $\frac{x-2y}{x^2-xy-12y^2}=\frac{x-2y}{\left(x-4y\right)\left(x+3y\right)}$

$=\frac{\left(x-2y\right).\left(x+2y\right)}{\left(x-4y\right)\left(x+3y\right)\left(x+2y\right)}$

$=\frac{x^2-4y^2}{\left(x-4y\right)\left(x+3y\right)\left(x+2y\right)}$.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{x+2}{2x-x^2}$và $\frac{x+3}{8-8x+2x^2}$với $x\ne 0;x\ne 2$

b) $\frac{7x}{x^2-4x+4}$và $\frac{x}{3x^2-6x}$với $x\ne 0;x\ne 2$

c) $\frac{x^3}{x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3}$và $\frac{x}{y^2-xy}$với $x\ne y;y\ne 0$

d) $\frac{1}{x+1}$và $\frac{6}{x-x^2}$với $x\ne 0;x\ne \pm 1$

e) $\frac{x+5}{x^2+8x+16}$và $\frac{x}{3x+12}$với $x\ne -4$

f) $\frac{6x^2}{x^3-5x^2}$và $\frac{3x^2+15x}{x^2-25}$với $x\ne 0;x\ne \pm 5$

g) $\frac{4x}{x^3+12x^2+48x+64}$và $\frac{x-4}{4x^3+32x^2+64x}$với $x\ne -4;x\ne 0$

h) $\frac{x}{2x^2+5x-3}$và $\frac{x}{2x^2+5x-3}$với $x\ne -3;x\ne \frac{1}{2};x\ne 2$.

Bài 2: Tìm các phân thức mới bằng các phân thức đã cho và chúng có chung mẫu thức:

a) $\frac{10}{x+3};\frac{5}{2x-6};\frac{1}{9-3x}$với $x\ne \pm 3$

b) $\frac{2}{x-2};\frac{3}{x+2};\frac{-1}{3x-6}$với $x\ne \pm 2$

c) $\frac{7x^2-2x+5}{x^3-1};\frac{1-3x}{x^2+x+1};5$ với $x\ne 1$

d) $\frac{6x^2-5x+11}{x^2-5x+6};\frac{x-2}{x-3};\frac{1}{x-2}$với $x\ne 2;x\ne 3$.

Bài 3: Quy đồng mẫu thức mỗi phân thức sau

a) $\frac{2x^2}{x^3+6x^2+12x+8};$$\frac{3x}{x^2+4x+4};$$\frac{5}{2x+4}$với $x\ne -2$

b) $\frac{x}{x^2-2xy+y^2-z^2};$$\frac{y}{y^2-2yz+z^2-x^2};$$\frac{z}{x^2-2xz+z^2-y^2}$

với $\left\{\begin{array}{l}y+z\ne x\\ x+z\ne y\\ y+x\ne z\end{array}\right.$