Phương pháp giải Các phép toán về phân thức đại số (50 bài tập minh họa)

Ngọc Nguyễn Ngày: 13-07-2023 Lớp 8

375

Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Các phép toán về phân thức đại số (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Các phép toán về phân thức đại số (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức

Bước 1: Quy đồng mẫu thức

Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

c) Tính chất của phép cộng

Cho ba phân thức $\frac{A}{B}; \frac{C}{D}; \frac{E}{F}$ với $(B; D; F \neq 0)$

+ Tính giao hoán: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}$

+ Tính kết hợp: $(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F})$

+ Cộng với 0: $\frac{A}{B} + 0 = 0 + \frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .

2. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Phân thức $\frac{- A}{B}$ là phân thức đối của $\frac{A}{B}$ với $(B \neq 0)$ và ngược lại phân thức $\frac{A}{B}$ là phân thức đối của phân thức $\frac{- A}{B}$ . Ta có: $\frac{- A}{B} + \frac{A}{B} = 0$ .

Như vậy: $- \frac{A}{B} = \frac{- A}{B}$ và $- \frac{- A}{B} = \frac{A}{B}$ .

b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ ta lấy phân thức $\frac{A}{B}$ cộng với phân thức đối của $\frac{C}{D}$ :

$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (\frac{- C}{D})$ với $(B; D \neq 0)$ .

3. Phép nhân các phân thức đại số

a) Quy tắc nhân phân thức

Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức

$\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{A C}{B D}$ với $(B; D \neq 0)$ .

b) Tính chất của phép nhân:

Cho ba phân thức $\frac{A}{B}; \frac{C}{D}; \frac{E}{F}$ với $(B; D; F \neq 0)$

- Tính giao hoán: $\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{C}{D} . \frac{A}{B}$

- Tính kết hợp: $(\frac{A}{B} . \frac{C}{D}) . \frac{E}{F} = \frac{A}{B} . (\frac{C}{D} . \frac{E}{F})$

- Tính phân phối: $(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) . \frac{E}{F} = \frac{A}{B} . \frac{E}{F} + \frac{C}{D} . \frac{E}{F}$

4. Phép chia các phân thức đại số

a) Hai phân thức nghịch đảo

- Hai phân thức nghịch đảo là hai phân thức mà tích của chúng bằng 1.

- Nếu $\frac{A}{B}$ là một phân thức khác 0 thì $\frac{A}{B} . \frac{B}{A} = 1$ , do đó:

+ Phân thức nghịch đảo của $\frac{A}{B}$ là $\frac{B}{A}$ .

+ Phân thức nghịch đảo của $\frac{B}{A}$ là $\frac{A}{B}$ .

b) Quy tắc chia hai phân thức.

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ $(\frac{C}{D} \neq 0)$ , ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với nghịch đảo của phân thức $\frac{C}{D}$

Tức là $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} . \frac{D}{C} = \frac{A D}{B C}$ $(\frac{C}{D} \neq 0)$ .

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Cộng các phân thức đại số

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số cùng với các tính chất của phân thức đại số để giải toán

Ví dụ 1: Cộng các phân thức đại số sau:

a) $\frac{10 + x}{x - 2} + \frac{x - 18}{x - 2} + \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$ với $x \neq \pm 2$

b) $\frac{2}{x y^{2}} + \frac{2 x - 3 y}{x^{2} y^{2}} + \frac{3}{x^{2} y}$ với $x \neq 0; y \neq 0$

c) $\frac{3 - 3 x}{2 x} + \frac{3 x - 1}{2 x - 1} + \frac{11 x - 5}{2 x - 4 x^{2}}$ với $x \neq 0; x \neq \frac{1}{2}$ .

Lời giải:

a) $\frac{10 + x}{x - 2} + \frac{x - 18}{x - 2} + \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$

$= \frac{10 + x}{x - 2} + \frac{x - 18}{x - 2} + \frac{x + 2}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{10 + x}{x - 2} + \frac{x - 18}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

$= \frac{10 + x + x - 18 + 1}{x - 2}$

$= \frac{2 x - 7}{x - 2}$ với $x \neq \pm 2$ .

b) $\frac{2}{x y^{2}} + \frac{2 x - 3 y}{x^{2} y^{2}} + \frac{3}{x^{2} y}$

$= \frac{2 x}{x^{2} y^{2}} + \frac{2 x - 3 y}{x^{2} y^{2}} + \frac{3 y}{x^{2} y^{2}}$

$= \frac{2 x + 2 x - 3 y + 3 y}{x^{2} y^{2}}$

$= \frac{4 x}{x^{2} y^{2}} = \frac{4}{x y^{2}}$ với $x \neq 0; y \neq 0$ .

c) $\frac{3 - 3 x}{2 x} + \frac{3 x - 1}{2 x - 1} + \frac{11 x - 5}{2 x - 4 x^{2}}$

$= \frac{3 - 3 x}{2 x} + \frac{3 x - 1}{2 x - 1} + \frac{- (11 x - 5)}{4 x^{2} - 2 x}$

$= \frac{3 - 3 x}{2 x} + \frac{3 x - 1}{2 x - 1} + \frac{- 11 x + 5}{2 x (2 x - 1)}$

$= \frac{(3 - 3 x) (2 x - 1)}{2 x (2 x - 1)} + \frac{(3 x - 1) .2 x}{2 x (2 x - 1)} + \frac{- 11 x + 5}{2 x (2 x - 1)}$

$= \frac{6 x - 6 x^{2} - 3 + 3 x}{2 x (2 x - 1)} + \frac{6 x^{2} - 2 x}{2 x (2 x - 1)} + \frac{- 11 x + 5}{2 x (2 x - 1)}$

$= \frac{(6 x - 6 x^{2} - 3 + 3 x) + (6 x^{2} - 2 x) + (- 11 x + 5)}{2 x (2 x - 1)}$

$= \frac{6 x - 6 x^{2} - 3 + 3 x + 6 x^{2} - 2 x - 11 x + 5}{2 x (2 x - 1)}$

$= \frac{(6 x^{2} - 6 x^{2}) + (6 x + 3 x - 2 x - 11 x) + (- 3 + 5)}{2 x (2 x - 1)}$

$= \frac{- 4 x + 2}{2 x (2 x - 1)}$

$= \frac{- 2 (2 x - 1)}{2 x (2 x - 1)}$

$= \frac{- 1}{x}$ với $x \neq 0; x \neq \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 2: Cho A = $\frac{x}{x - 2 y} + \frac{x}{x + 2 y} + \frac{- 4 x y}{4 y^{2} - x^{2}}$ với $y \neq \pm 2 x$

a) Rút gọn A.

b) Tính A khi x = 1; y = 3.

Lời giải:

a) $A = \frac{x}{x - 2 y} + \frac{x}{x + 2 y} + \frac{- 4 x y}{4 y^{2} - x^{2}}$

$A = \frac{x}{x - 2 y} + \frac{x}{x + 2 y} + \frac{4 x y}{x^{2} - 4 y^{2}}$

$A = \frac{x}{x - 2 y} + \frac{x}{x + 2 y} + \frac{4 x y}{(x - 2 y) (x + 2 y)}$

$A = \frac{x (x + 2 y)}{(x - 2 y) (x + 2 y)} + \frac{x (x - 2 y)}{(x - 2 y) (x + 2 y)} + \frac{4 x y}{(x - 2 y) (x + 2 y)}$

$A = \frac{x^{2} + 2 x y}{(x - 2 y) (x + 2 y)} + \frac{x^{2} - 2 x y}{(x - 2 y) (x + 2 y)} + \frac{4 x y}{(x - 2 y) (x + 2 y)}$

$A = \frac{(x^{2} + 2 x y) + (x^{2} - 2 x y) + 4 x y}{(x - 2 y) (x + 2 y)}$

$A = \frac{x^{2} + 2 x y + x^{2} - 2 x y + 4 x y}{(x - 2 y) (x + 2 y)}$

$A = \frac{(x^{2} + x^{2}) + (2 x y - 2 x y + 4 x y)}{(x - 2 y) (x + 2 y)}$

$A = \frac{2 x^{2} + 4 x y}{(x - 2 y) (x + 2 y)}$

$A = \frac{2 x (x + 2 y)}{(x - 2 y) (x + 2 y)}$

$A = \frac{2 x}{x - 2 y}$

b) Với x = 1; y = 3 (thỏa mãn điều kiện) thay vào A ta được:

$A = \frac{2.1}{1 - 2.3} = \frac{2}{1 - 6} = \frac{- 2}{5}$

Vậy $A = \frac{- 2}{5}$ khi x = 1; y = 3.

Dạng 2: Trừ các phân thức đại số

Phương pháp giải: Thực hiện theo 2 bước

Bước 1: Áp dụng quy tắc cộng với phân thức đối

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng cùng mẫu thức và khác mẫu thức

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a) $\frac{4 x y - 1}{5 x^{2} y} - \frac{2 x y - 1}{5 x^{2} y}$ với $x \neq 0; y \neq 0$

b) $\frac{x + 1}{x - 5} - \frac{1 - x}{x + 5} - \frac{2 x (1 - x)}{25 - x^{2}}$ với $x \neq \pm 5$ .

Lời giải:

a) $\frac{4 x y - 1}{5 x^{2} y} - \frac{2 x y - 1}{5 x^{2} y}$

$= \frac{4 x y - 1}{5 x^{2} y} + \frac{- (2 x y - 1)}{5 x^{2} y}$

$= \frac{(4 x y - 1) - (2 x y - 1)}{5 x^{2} y}$

$= \frac{4 x y - 1 - 2 x y + 1}{5 x^{2} y}$

$= \frac{(4 x y - 2 x y) + (- 1 + 1)}{5 x^{2} y}$

$= \frac{2 x y}{5 x^{2} y} = \frac{2}{5 x}$ với $x \neq 0; y \neq 0$

b) $\frac{x + 1}{x - 5} - \frac{1 - x}{x + 5} - \frac{2 x (1 - x)}{25 - x^{2}}$

$= \frac{x + 1}{x - 5} - \frac{1 - x}{x + 5} + \frac{2 x - 2 x^{2}}{x^{2} - 25}$

$= \frac{x + 1}{x - 5} - \frac{1 - x}{x + 5} + \frac{2 x - 2 x^{2}}{(x - 5) (x + 5)}$

$= \frac{(x + 1) (x + 5)}{(x - 5) (x + 5)} - \frac{(1 - x) (x - 5)}{(x - 5) (x + 5)} + \frac{2 x - 2 x^{2}}{(x - 5) (x + 5)}$

$= \frac{x^{2} + x + 5 x + 5}{(x - 5) (x + 5)} - \frac{x - x^{2} + 5 x - 5}{(x - 5) (x + 5)} + \frac{2 x - 2 x^{2}}{(x - 5) (x + 5)}$

$= \frac{(x^{2} + x + 5 x + 5) - (x - x^{2} + 5 x - 5) + (2 x - 2 x^{2})}{(x - 5) (x + 5)}$

$= \frac{x^{2} + x + 5 x + 5 - x + x^{2} - 5 x + 5 + 2 x - 2 x^{2}}{(x - 5) (x + 5)}$

$= \frac{(x^{2} + x^{2} - 2 x^{2}) + (x + 5 x - x - 5 x + 2 x) + (5 + 5)}{(x - 5) (x + 5)}$

$= \frac{2 x + 10}{(x - 5) (x + 5)}$

$= \frac{2 (x + 5)}{(x - 5) (x + 5)}$

$= \frac{2}{x - 5}$ với $x \neq \pm 5$

Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{x (x + 3)}$ . Từ đó, hãy tính biểu thức

$M = \frac{1}{x (x + 3)} + \frac{1}{(x + 3) (x + 6)} + ... + \frac{1}{(x + 12) (x + 15)}$ với x thỏa mãn tất cả các mẫu khác 0.

Lời giải:

* Chứng minh biểu thức:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{x + 3}{x (x + 3)} - \frac{x}{x (x + 3)}$ $= \frac{x + 3 - x}{x (x + 3)} = \frac{3}{x (x + 3)}$ (điểu phải chứng minh)

* Tính giá trị M:

Ta có:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{x + 3}{x (x + 3)} - \frac{x}{x (x + 3)}$ $= \frac{x + 3 - x}{x (x + 3)} = \frac{3}{x (x + 3)}$

$\Rightarrow \frac{1}{x (x + 3)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3})$

$\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 6} = \frac{x + 6}{(x + 3) (x + 6)} - \frac{x + 3}{(x + 3) (x + 6)}$ $= \frac{x + 6 - x - 3}{(x + 3) (x + 6)} = \frac{3}{(x + 3) (x + 6)}$

$\Rightarrow \frac{1}{(x + 3) (x + 6)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 6})$

Chứng minh tương tự:

….

$\Rightarrow \frac{1}{(x + 12) (x + 15)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{x + 12} - \frac{1}{x + 15})$

Do đó:

$M = \frac{1}{3} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 6}) + ... + \frac{1}{3} (\frac{1}{x + 12} - \frac{1}{x + 15})$

$M = \frac{1}{3} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 6} + ... + \frac{1}{x + 12} - \frac{1}{x + 15})$

$M = \frac{1}{3} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 15})$

$M = \frac{1}{3} (\frac{x + 15}{x (x + 15)} - \frac{x}{x (x + 15)})$

$M = \frac{1}{3} . \frac{x + 15 - x}{x (x + 15)}$

$M = \frac{1}{3} . \frac{15}{x (x + 15)} = \frac{5}{x (x + 15)}$

Vậy $M = \frac{5}{x (x + 15)} .$

Dạng 3: Nhân các phân thức đại số

Phương pháp giải: Vận dụng các quy tắc nhân phân thức đại số

Chú ý: Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau. Nếu có dấu ngoặc ta ưu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a) $A = \frac{x^{2}}{x + 3} . \frac{x^{2} - 9}{x^{3}}$ với $x \neq 0; x \neq - 3$

b) $B = \frac{x + 3}{x^{2} - 4} . \frac{8 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}}{x + 3}$ với $x \neq - 3; x \neq \pm 2$

c) $C = \frac{x - 1}{2 x} . (\frac{x^{3}}{x - 1} - x^{2} - x - 1)$ với $x \neq 0; x \neq 1$ .

Lời giải:

a) $A = \frac{x^{2}}{x + 3} . \frac{x^{2} - 9}{x^{3}}$

$A = \frac{x^{2} . (x^{2} - 9)}{(x + 3) . x^{3}}$

$A = \frac{x^{2} (x - 3) (x + 3)}{(x + 3) . x^{3}}$

$A = \frac{x - 3}{x}$ với $x \neq 0; x \neq - 3$ .

b) $B = \frac{x + 3}{x^{2} - 4} . \frac{8 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}}{x + 3}$

$B = \frac{x + 3}{(x + 2) (x - 2)} . \frac{{(2 - x)}^{3}}{x + 3}$

$B = \frac{(x + 3) {(2 - x)}^{3}}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)}$

$B = \frac{- {(x - 2)}^{3}}{(x + 2) (x - 2)}$

$B = \frac{- {(x - 2)}^{2}}{x + 2}$ với $x \neq - 3; x \neq \pm 2$ .

c) $C = \frac{x - 1}{2 x} . (\frac{x^{3}}{x - 1} - x^{2} - x - 1)$

$C = \frac{x - 1}{2 x} . (\frac{x^{3}}{x - 1} - (x^{2} + x + 1))$

$C = \frac{x - 1}{2 x} . (\frac{x^{3}}{x - 1} - \frac{(x^{2} + x + 1) (x - 1)}{x - 1})$

$C = \frac{x - 1}{2 x} . (\frac{x^{3}}{x - 1} - \frac{x^{3} - 1}{x - 1})$

$C = \frac{x - 1}{2 x} (\frac{x^{3} - x^{3} + 1}{x - 1})$

$C = \frac{x - 1}{2 x} . \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{2 x}$ với $x \neq 0; x \neq 1$ .

Ví dụ 2: Tính hợp lí biểu thức sau

$M = \frac{1}{1 - x} . \frac{1}{1 + x} . \frac{1}{1 + x^{2}} . \frac{1}{1 + x^{4}} . \frac{1}{1 + x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{16}}$ với $x \neq \pm 1$ .

Lời giải:

$M = \frac{1}{1 - x} . \frac{1}{1 + x} . \frac{1}{1 + x^{2}} . \frac{1}{1 + x^{4}} . \frac{1}{1 + x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = (\frac{1}{1 - x} . \frac{1}{1 + x}) . \frac{1}{1 + x^{2}} . \frac{1}{1 + x^{4}} . \frac{1}{1 + x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = (\frac{1}{(1 - x) (1 + x)}) . \frac{1}{1 + x^{2}} . \frac{1}{1 + x^{4}} . \frac{1}{1 + x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = \frac{1}{1 - x^{2}} . \frac{1}{1 + x^{2}} . \frac{1}{1 + x^{4}} . \frac{1}{1 + x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = (\frac{1}{1 - x^{2}} . \frac{1}{1 + x^{2}}) . \frac{1}{1 + x^{4}} . \frac{1}{1 + x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = (\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + x^{2})}) . \frac{1}{1 + x^{4}} . \frac{1}{1 + x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = \frac{1}{1 - x^{4}} . \frac{1}{1 + x^{4}} . \frac{1}{1 + x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = (\frac{1}{1 - x^{4}} . \frac{1}{1 + x^{4}}) . \frac{1}{1 + x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = (\frac{1}{(1 - x^{4}) (1 + x^{4})}) . \frac{1}{1 + x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = \frac{1}{1 - x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = (\frac{1}{1 - x^{8}} . \frac{1}{1 + x^{8}}) . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = (\frac{1}{(1 - x^{8}) (1 + x^{8})}) . \frac{1}{1 + x^{16}}$

$M = \frac{1}{1 - x^{16}} . \frac{1}{1 + x^{16}} = \frac{1}{(1 - x^{16}) . (1 + x^{16})}$

$M = \frac{1}{1 - x^{32}}$ với $x \neq \pm 1$ .

Dạng 4: Chia các phân thức đại số

Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc chia phân thức.

Chú ý: Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải. Ưu tiên tính toán biểu thức trong ngoặc trước.

Ví dụ 1: Làm tính chia

a) $\frac{x^{3} - 1}{5 x + 10} : \frac{x - 1}{x + 2}$ với $x \neq - 2$ ; $x \neq 1$

b) $\frac{x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}} : \frac{4 x - 8 y}{2 x^{3} + 2 y^{3}}$ với $x \neq - y; x \neq 2 y$

c) $\frac{x + 4}{x + 5} : \frac{x + 5}{x + 6} : \frac{x + 6}{x + 4}$ với $x \neq - 4; x \neq - 5; x \neq - 6$ .

Lời giải:

a) $\frac{x^{3} - 1}{5 x + 10} : \frac{x - 1}{x + 2}$

$= \frac{x^{3} - 1}{5 x + 10} \cdot \frac{x + 2}{x - 1}$

$= \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{5 (x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)}{(x - 1)}$

$= \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 2)}{5 (x + 2) (x - 1)}$

$= \frac{x^{2} + x + 1}{5}$ với $x \neq - 2$ ; $x \neq 1$

b) $\frac{x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}} : \frac{4 x - 8 y}{2 x^{3} + 2 y^{3}}$

$= \frac{x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}} \cdot \frac{2 x^{3} + 2 y^{3}}{4 x - 8 y}$

$= \frac{{(x - 2 y)}^{2}}{(x^{2} - x y + y^{2})} \cdot \frac{2 (x^{3} + y^{3})}{4 (x - 2 y)}$

$= \frac{{(x - 2 y)}^{2}}{(x^{2} - x y + y^{2})} \cdot \frac{2 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{4 (x - 2 y)}$

$= \frac{{(x - 2 y)}^{2} .2 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{(x^{2} - x y + y^{2}) .4 (x - 2 y)}$

$= \frac{(x - 2 y) (x + y)}{2}$ với $x \neq - y; x \neq 2 y$

c) $\frac{x + 4}{x + 5} : \frac{x + 5}{x + 6} : \frac{x + 6}{x + 4}$

$= \frac{x + 4}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 5} \cdot \frac{x + 4}{x + 6}$

$= \frac{(x + 4) (x + 6) (x + 4)}{(x + 5) (x + 5) (x + 6)}$

$= \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$ với $x \neq - 4; x \neq - 5; x \neq - 6$ .

Ví dụ 2: Tìm đa thức A biết:

$\frac{2 x + 3 y}{x^{3} - y^{3}} . A = \frac{4 x^{2} + 6 x y}{3 x^{2} + 3 x y + 3 y^{2}}$ với $x \neq y$ ; $x \neq \frac{- 3}{2} y$ .

Lời giải:

$\frac{2 x + 3 y}{x^{3} - y^{3}} . A = \frac{4 x^{2} + 6 x y}{3 x^{2} + 3 x y + 3 y^{2}}$

$\Rightarrow A = \frac{4 x^{2} + 6 x y}{3 x^{2} + 3 x y + 3 y^{2}} : \frac{2 x + 3 y}{x^{3} - y^{3}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{4 x^{2} + 6 x y}{3 x^{2} + 3 x y + 3 y^{2}} . \frac{x^{3} - y^{3}}{2 x + 3 y}$

$\Leftrightarrow A = \frac{2 x (2 x + 3 y)}{3 (x^{2} + x y + y^{2})} . \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{(2 x + 3 y)}$

$\Leftrightarrow A = \frac{2 x (x - y)}{3}$ với $x \neq y$ .

Dạng 5: Sử dụng kết hợp các phép toán về phân thức đại số

Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia của phân thức cùng với quy tắc dấu ngoặc.

Thứ tự thực hiện phép tính:

- Nếu phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải.

- Nếu phép tính có cả cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép tính nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân, chia cuối cùng là đến, cộng trừ.

Lũy thừa $\to$ nhân và chia $\to$ cộng và trừ.

- Nếu biểu thức có dấu ngoặc: ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện theo thứ tự

( ) $\to$ [ ] $\to$ { }

Ví dụ: Thực hiện phép tính

a) $A = \frac{x + 2}{x - 1} . (\frac{x^{2}}{x + 1} + 2) - \frac{8 x + 7}{x^{2} - 1}$ với $x \neq \pm 1$

b) $B = (\frac{3 x}{1 - 4 x} + \frac{2 x}{4 x + 1}) : \frac{16 x^{2} + 20 x}{16 x^{2} - 8 x + 1}$ với $x \neq \pm \frac{1}{4}$

Lời giải:

a) $A = \frac{x + 2}{x - 1} . (\frac{x^{2}}{x + 1} + 2) - \frac{8 x + 7}{x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{x + 2}{x - 1} . (\frac{x^{2}}{x + 1} + \frac{2 (x + 1)}{x + 1}) - \frac{8 x + 7}{x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{x + 2}{x - 1} . (\frac{x^{2}}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{x + 1}) - \frac{8 x + 7}{x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{x + 2}{x - 1} . \frac{x^{2} + 2 x + 2}{x + 1} - \frac{8 x + 7}{x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{(x + 2) (x^{2} + 2 x + 2)}{x^{2} - 1} - \frac{8 x + 7}{x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - 1} - \frac{8 x + 7}{x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{(x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 4 x + 4) - (8 x + 7)}{x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{x^{3} + (2 x^{2} + 2 x^{2}) + (2 x + 4 x - 8 x) + (4 - 7)}{x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{x^{3} - 1 + 4 x^{2} - 2 x - 2}{(x - 1) (x + 1)}$

$\Leftrightarrow A = \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 2 (2 x^{2} - x - 1)}{(x - 1) (x + 1)}$

$\Leftrightarrow A = \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 2 (2 x^{2} - 2 x + x - 1)}{(x - 1) (x + 1)}$

$\Leftrightarrow A = \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 4 x + 2)}{(x - 1) (x + 1)}$

$\Leftrightarrow A = \frac{x^{2} + 5 x + 3}{x + 1}$ với $x \neq \pm 1$ .

b) $B = (\frac{3 x}{1 - 4 x} + \frac{2 x}{4 x + 1}) : \frac{16 x^{2} + 20 x}{16 x^{2} - 8 x + 1}$

$\Leftrightarrow B = (\frac{3 x . (4 x + 1)}{(1 - 4 x) (4 x + 1)} + \frac{2 x (1 - 4 x)}{(1 - 4 x) (4 x + 1)}) : \frac{16 x^{2} + 20 x}{16 x^{2} - 8 x + 1}$

$\Leftrightarrow B = (\frac{12 x^{2} + 3 x}{(1 - 4 x) (4 x + 1)} + \frac{2 x - 8 x^{2}}{(1 - 4 x) (4 x + 1)}) . \frac{16 x^{2} - 8 x + 1}{16 x^{2} + 20 x}$

$\Leftrightarrow B = (\frac{12 x^{2} + 3 x + 2 x - 8 x^{2}}{(1 - 4 x) (4 x + 1)}) . \frac{{(1 - 4 x)}^{2}}{4 x (4 x + 5)}$

$\Leftrightarrow B = \frac{4 x^{2} + 5 x}{(1 - 4 x) (4 x + 1)} . \frac{{(1 - 4 x)}^{2}}{4 x (4 x + 5)}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x (4 x + 5)}{(1 - 4 x) (4 x + 1)} . \frac{{(1 - 4 x)}^{2}}{4 x (4 x + 5)}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x (4 x + 5) {(1 - 4 x)}^{2}}{(1 - 4 x) (4 x + 1) 4 x (4 x + 5)}$

$\Leftrightarrow B = \frac{1 - 4 x}{4 (1 + 4 x)}$ với $x \neq \pm \frac{1}{4}$ .

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Thực hiện phép tính

a) $\frac{2 - x^{2}}{x - 3} + \frac{x - 2 x^{2}}{3 - x} + \frac{7 - 5 x}{x - 3}$ với $x \neq 3$

b) $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 4 x + 3} + \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6}$ với $x \neq 1; x \neq 2; x \neq 3$

c) $\frac{x}{x^{2} + x y} + \frac{x - 3 y}{y^{2} - x^{2}} + \frac{x}{x y - x^{2}}$ với $x \neq 0; x \neq \pm y$ .

Bài 2: Thực hiện phép tính

a) $\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} - 9}$ với $x \neq \pm 3$

b) $\frac{1}{x^{2} - x + 1} + 1 - \frac{x^{2} + 2}{x^{3} + 1}$ với $x \neq - 1$

c) $\frac{5}{x} + \frac{x}{x + 6} - \frac{30}{x^{2} + 6 x}$ với $x \neq - 6; x \neq 0$ .

Bài 3: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{x^{2} - 49}{2 x + 1} . \frac{3}{7 - x}$ với $x \neq \frac{- 1}{2}; x \neq 7$

b) $\frac{x - 3}{x + 1} . \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{2} - 5 x + 6}$ với $x \neq - 1; x \neq 2; x \neq 3$

c) $\frac{x^{3} - 1}{2 x + 4} . (\frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^{2} + x + 1})$ với $x \neq - 2; x \neq 1$

d) $\frac{x^{3}}{x - 2017} . \frac{2001 - 2 x}{x + 2} + \frac{x^{3}}{x - 2017} . \frac{x + 16}{x + 2}$ với $x \neq - 2; x \neq 2017$ .

Bài 4: Thực hiện phép tính

a) $(x^{2} - 25) : \frac{4 x + 20}{3 x - 1}$ với $x \neq - 5; x \neq \frac{1}{3}$

b) $\frac{x^{2} + 2 x}{3 x^{2} - 6 x + 3} : \frac{2 x + 4}{5 x - 5}$ với $x \neq - 2; x \neq 1$

c) $\frac{x + 7}{x + 8} : (\frac{x + 8}{x + 9} . \frac{x + 9}{x + 7})$ với $x \neq - 7; x \neq - 8; x \neq - 9$

d) $\frac{4 x + 6 y}{x - 2} : \frac{4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}}{8 - x^{3}}$ với $x \neq 2; x \neq - \frac{3}{2} y$ .

Bài 5: Tìm các phân thức Q và P trong các trường hợp sau:

a) $\frac{4}{x^{2} + x + 1} - P = \frac{2}{1 - x} + \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{3} - 1}$ với $x \neq 0; x \neq - 1$

b) $\frac{2}{x^{2} - 1} + Q = \frac{6}{x - 3} - \frac{2 x^{2}}{1 - x^{2}}$ với $x \neq \pm 1; x \neq 3$ .

Bài 6: Tìm phân thức P, Q biết

a) $P . \frac{x^{2} + 3 x}{x - 4} = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4 x}$ với $x \neq - 3; x \neq 0; x \neq 4$

b) $Q : \frac{4 x^{2} - 4}{2 x + 3} = \frac{4 x^{2} + 12 x + 9}{x - 1}$ với $x \neq - \frac{3}{2}; x \neq 1$ .

Bài 7: Thực hiện phép tính

$A = \frac{x^{2}}{x - 8} . (\frac{x^{2} + 64}{x} - 16) + 19$ với $x \neq 0; x \neq 8$ .

Bài 8: Thực hiện phép tính

$B = (\frac{x^{2} + 1}{8} + \frac{x}{4}) . (\frac{2}{x - 1} - \frac{2}{x + 1})$ với $x \neq \pm 1$ .

Bài 9: Tìm phân thức T biết

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 6} \cdot ... \cdot \frac{x + 14}{x + 16} \cdot \frac{x + 16}{x + 18} \cdot \frac{x + 18}{x + 20} \cdot T = \frac{1}{2}$ .