Phương pháp giải Rút gọn biểu thức hữu tỉ (50 bài tập minh họa)

Ngọc Nguyễn Ngày: 13-07-2023 Lớp 8

253

Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Rút gọn biểu thức hữu tỉ (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Rút gọn biểu thức hữu tỉ (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

- Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc nhiều phân thức được nối với nhau bởi các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên phân thức.

- Biến đổi biểu thức hữu tỉ là bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia ta đưa các biểu thức hữu tỉ về phân thức.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Ta tìm điều kiện để tất cả các mẫu thức khác 0

Ví dụ: Tìm x để các biểu thức hữu tỉ sau xác định.

a) $A = \frac{x^{2}}{x - 8} . (\frac{x^{2} + 64}{x} - 16) + 19$

b) $B = (\frac{x^{2} + 1}{8} + \frac{x}{4}) . (\frac{2}{x - 1} - \frac{2}{x + 1})$

c) $C = (\frac{x^{2} + x}{x^{2} - 5 x + 6} + \frac{1}{x - 3}) : \frac{1}{x - 1}$

Lời giải:

a) Biểu thức A xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 8 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 8 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Vậy $x \neq 0$ và $x \neq 8$ thì biểu thức A xác định.

b) Biểu thức B xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 \neq 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq - 1 \end{cases} \Rightarrow x \neq \pm 1$

Vậy $x \neq \pm 1$ thì biểu thức B xác định.

c) Biểu thức C xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 5 x + 6 \neq 0 \\ x - 3 \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (x - 3) (x - 2) \neq 0 \\ x \neq 3 \\ x \neq 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq 3 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Vậy $x \neq 2$ ; $x \neq 1$ ; $x \neq 3$ thì biểu thức C xác định.

Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước

Bước 1: Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đã học để biến đổi

Bước 2: Biến đổi cho tới khi được một phân thức mới có dạng $\frac{A}{B}$

Ví dụ: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:

a) $A = \frac{2 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{1}{x}}$ với $x \neq 0; x \neq \frac{1}{2}$

b) $B = \frac{x - 8 + \frac{12}{x}}{x - 7 + \frac{6}{x}}$ với $x \neq 0; x \neq 1; x \neq 6$ .

Lời giải:

a) $A = \frac{2 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{1}{x}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{2 x}{x} - \frac{1}{x}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{\frac{2 x + 1}{x}}{\frac{2 x - 1}{x}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{2 x + 1}{x} : \frac{2 x - 1}{x}$

$\Leftrightarrow A = \frac{2 x + 1}{x} . \frac{x}{2 x - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{(2 x + 1) x}{x (2 x - 1)} = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$

Vậy $A = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$ với $x \neq 0; x \neq \frac{1}{2}$ .

b) $B = \frac{x - 8 + \frac{12}{x}}{x - 7 + \frac{6}{x}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{\frac{x^{2}}{x} - \frac{8 x}{x} + \frac{12}{x}}{\frac{x^{2}}{x} - \frac{7 x}{x} + \frac{6}{x}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 12}{x}}{\frac{x^{2} - 7 x + 6}{x}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x} : \frac{x^{2} - 7 x + 6}{x}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x} . \frac{x}{x^{2} - 7 x + 6}$

$\Leftrightarrow B = \frac{(x - 2) (x - 6)}{x} . \frac{x}{(x - 6) (x - 1)}$

$\Leftrightarrow B = \frac{(x - 2) (x - 6) x}{x (x - 6) (x - 1)}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x - 2}{x - 1}$ với $x \neq 0; x \neq 1; x \neq 6$ .

Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số đã học để biến đổi.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

$B = (4 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - 1)$ với $x \neq \pm \frac{1}{2}$ .

Lời giải:

$B = (4 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - 1)$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{2 x + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{2 x - 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{(2 x - 1) (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)})$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{(2 x + 1) - (2 x - 1) - (2 x - 1) (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)})$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{2 x + 1 - 2 x + 1 - 4 x^{2} + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)})$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{- 4 x^{2} + 3}{4 x^{2} - 1})$

$\Leftrightarrow B = \frac{(4 x^{2} - 1) (- 4 x^{2} + 3)}{4 x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow B = - 4 x^{2} + 3$ với $x \neq \pm \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 2: Cho biểu thức

$P = \frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 12} + \frac{x - 6}{x} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

a) Tìm điều kiện xác định của P.

b) Rút gọn P.

c) Tìm x để P = $\frac{3}{2}$ .

Lời giải:

a) P có nghĩa $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 12 \neq 0 \\ x \neq 0 \\ 2 x (x + 6) \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x \neq - 12 \\ x \neq 0 \\ x \neq 0; x \neq - 6 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq - 6 \end{cases}$

Vậy để P có nghĩa thì $x \neq 0$ và $x \neq - 6$ .

b) $P = \frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 12} + \frac{x - 6}{x} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{2} + 2 x}{2 (x + 6)} + \frac{x - 6}{x} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x (x^{2} + 2 x)}{2 x (x + 6)} + \frac{(x - 6) .2 (x + 6)}{2 x (x + 6)} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{2 x (x + 6)} + \frac{2 x^{2} - 72}{2 x (x + 6)} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x^{3} + 2 x^{2}) + (2 x^{2} - 72) + (108 - 6 x)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 2 x^{2} - 72 + 108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 6 x + 36}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 216 + 4 x^{2} - 6 x + 36 - 216}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x^{3} + 216) + (4 x^{2} - 6 x - 180)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) (x^{2} - 6 x + 36) + (x + 6) (4 x - 30)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) [(x^{2} - 6 x + 36) + (4 x - 30)]}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) (x^{2} - 6 x + 36 + 4 x - 30)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) (x^{2} - 2 x + 6)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{2} - 2 x + 6}{2 x}$ .

c) Để P = $\frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{x^{2} - 2 x + 6}{2 x} = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} - 2 x + 6) = 2 x .3$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 12 = 6 x$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 12 - 6 x = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 10 x + 12 = 0$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} - 5 x + 6) = 0$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} - 2 x - 3 x + 6) = 0$

$\Leftrightarrow 2 [x (x - 2) - 3 (x - 2)] = 0$

$\Leftrightarrow 2 (x - 2) (x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 2 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 (tm) \\ x = 3 (tm) \end{array}$

Vậy để P = $\frac{3}{2}$ thì $x = 2$ hoặc $x = 3$ .

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau

a) $\frac{x + 1}{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x}$

b) $\frac{x^{2} - 1}{9 x^{2} - 16}$

c) $\frac{x - y}{x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}}$

d) $\frac{x + 1}{x^{2} - 6 x + 9}$

Bài 2: Chứng minh các phân thức sau luôn xác định với mọi x,y

a) $\frac{x - 3}{x^{2} - 2 x + 6}$

b) $\frac{x^{3} + 1}{9 x^{2} + 1}$

c) $\frac{x - y}{x^{2} + 2 y^{2} + 1}$

d) $\frac{x - 3 y}{{(x - 1)}^{2} + y^{2} - 2 y + 3}$

Bài 3: Đưa biểu thức sau thành phân thức

a) $A = \frac{1 + \frac{4}{x - 2}}{1 + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 4}}$ với $x \neq \pm 2$

b) $B = \frac{x}{1 - \frac{x}{x + 3}}$ với $x \neq - 3$

c) $C = \frac{3 x - \frac{1}{9 x^{2}}}{1 + \frac{1}{3 x} + \frac{1}{9 x^{2}}}$ với $x \neq 0$

Bài 4: Thực hiện phép tính

a) $P = [\frac{1}{{(x - 2 y)}^{2}} + \frac{2}{x^{2} - 4 y^{2}} + \frac{1}{{(x + 2 y)}^{2}}] . \frac{{(x + 2 y)}^{2}}{16 x}$

b) $Q = (\frac{1}{x^{2} + 8 x + 16} - \frac{1}{x^{2} - 8 x + 16}) : (\frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x - 4})$

Bài 5: Cho biểu thức $A = \frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 10} + \frac{x - 5}{x} - \frac{5 x - 50}{2 x^{2} + 10 x}$

a) Tìm điều kiện xác định của A.

b) Rút gọn A.

c) Tính giá trị của tại điểm x = 1.

d) Tìm x để A = 0.

Bài 6: Cho biểu thức $B = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (1 - \frac{x^{2}}{x + 2}) - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$

a) Tìm điều kiện xác định của B.

b) Rút gọn B.

c) Tính B khi x = 5.

Bài 7: Đưa biểu thức sau thành phân thức

a) $P = \frac{1 + x^{2} - \frac{7}{x + 1}}{2 - \frac{7}{x + 1}}$ với $x \neq - 1; x \neq \frac{5}{2}$ .

b) $Q = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{x}}}$ với giả xử mẫu số luôn khác 0.

Bài 8: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

$M = \frac{{(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} (\frac{1}{x} + 1)}$ .

Bài 9: Cho $P = \frac{2 x y}{x^{2} - y^{2}}$ và $Q = \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Rút gọn biểu thức $A = \frac{P Q}{P^{2} - Q^{2}}$ .

Bài 10: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

$A = (\frac{x}{x^{2} - 49} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x}) : \frac{2 x - 7}{x^{2} + 7 x} + \frac{x}{7 - x}$ với $x \neq \pm 7; x \neq 0; x \neq \frac{7}{2}$ .