Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Tính giá trị của phân thức (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Tính giá trị của phân thức (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

- Giá trị của phân thức là giá trị mà phân thức đó đạt được tại một giá trị biến cho trước.

- Giá trị của phân thức chỉ được xác định với điều kiện mẫu của phân thức đó khác 0.

 Chú ý: Với biểu thức hữu tỉ có hai biến x, y thì giá trị biểu thức hữu tỉ chỉ xác định bởi các cặp số x, y làm cho mẫu khác 0.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Tính giá trị của phân thức tại giá trị cho trước của một biến

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của biến để giá trị phân thức xác định (nếu đề bài chưa cho điều kiện).

Bước 2: Ta kiểm tra xem giá trị của biến đó có thỏa mãn điều kiện hay không

Bước 3:

+ Nếu biến đó không thỏa mãn điều kiện, ta kết luận không xác định giá trị của phân thức với giá trị của biến đó.

- Nếu biến đó thỏa mãn điều kiện, ta thay biến đó vào phân thức rồi thực hiện phép tính.

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ: Tính giá trị phân thức sau

a) $A=\frac{3x^2+x-2}{x-3}$tại x = 2

b) $B=\frac{2x+1}{4x^2+2x}$tại $x=\frac{1}{2}$.

Lời giải:

a) Điều kiện: $x\ne 3$

Thay x = 2 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta có:

$A=\frac{{3.2}^2+2-2}{2-3}=\frac{12+2-2}{-1}=-12$

Vậy với x = 2 thì A = -12.

b) Điều kiện: $4x^2+2x\ne 0$

$\iff 2x\left(2x+1\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne \frac{-1}{2}\end{array}\right.$

Thay $x=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện) vào B ta được

$B=\frac{2.\frac{1}{2}+1}{4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2.\frac{1}{2}}$$=\frac{1+1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$

Vậy B = 1 khi $x=\frac{1}{2}$.

Dạng 2: Tính giá trị của phân thức tại giá trị của biến thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức (nếu đề bài chưa cho điều kiện).

Bước 2: Giải điều kiện của biến để tìm ra giá trị của biến.

Bước 3: Kiểm tra biến vừa giải được với điều kiện

+ Nếu biến đó không thỏa mãn điều kiện, ta kết luận không xác định giá trị của phân thức với giá trị của biến đó.

- Nếu biến đó thỏa mãn điều kiện, ta thay biến đó vào phân thức rồi thực hiện phép tính.

Bước 4: Kết luận

Ví dụ 1: Tính giá trị của các phân thức sau

a) $A=\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x+1}$ với $x\ne -1$ tại $3x-1=0$

b) $B=\frac{x^2-1}{2x^2-3x+1}$ với $x\ne 1;x\ne \frac{1}{2}$ tại $\left|2x+1\right|=3$

c) $C=\frac{x-2}{x^2-5x+6}$ với $x\ne 2;x\ne 3$ tại $x^2-4=0$.

Lời giải:

a) $A=\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x+1}$

Với $3x-1=0$$\iff 3x=1$$\iff x=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn điều kiện)

Thay $x=\frac{1}{3}$ vào A ta có:

$A=\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2.\frac{1}{3}-3}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+2.\frac{1}{3}+1}$

$A=\frac{\frac{1}{9}-\frac{2}{3}-3}{\frac{1}{9}+\frac{2}{3}+1}=\frac{-\frac{32}{9}}{\frac{16}{9}}=-2$

Vậy khi 3x – 1 = 0 thì A = -2.

b) Ta có:

$\left|2x+1\right|=3$

$TH1:2x+1=3$

$\iff 2x=3-1$

$\iff 2x=2$

$\iff x=1$ (không thỏa mãn)

$TH2:2x+1=-3$

$\iff 2x=-3-1$

$\iff 2x=-4$

$\iff x=-2$ (thỏa mãn)

 Thay x = -2 vào B ta được

$B=\frac{{\left(-2\right)}^2-1}{2.{\left(-2\right)}^2-3.\left(-2\right)+1}=\frac{1}{5}$

Vậy với $\left|2x+1\right|=3$thì  B = $\frac{1}{5}$.

c) Ta có:

$x^2-4=0$$\iff x^2=4$$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\text{ (ktm)}\\ x=-2\text{ (tm)}\end{array}\right.$

Với x = -2 thay vào C ta có

$C=\frac{-2-2}{{\left(-2\right)}^2-5.\left(-2\right)+6}=\frac{-1}{5}$

Vậy với $x^2-4=0$ thì C = $\frac{-1}{5}$.

Ví dụ 2: Cho 3x – y = 6. Tính giá trị biểu thức $A=\frac{y}{x-2}+\frac{2y-3x}{y-6}$.

Lời giải:

Điều kiện: $x\ne 2;y\ne 6$

Ta có: 3x – y = 6$\Rightarrow$y = 3x – 6  thay vào A ta được:

$A=\frac{3x-6}{x-2}+\frac{2\left(3x-6\right)-3x}{3x-6-6}$

$A=\frac{3\left(x-2\right)}{x-2}+\frac{6x-12-3x}{3x-12}$

$A=3+\frac{3x-12}{3x-12}$

$A=3+1=4$

Vậy với 3x – y = 6 thì A = 4.

III.Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính giá trị phân thức:

a) $\frac{4x^2+3x-1}{x^2-8x+7}$tại $x=\frac{1}{3}$

b) $\frac{2x^3+x-2}{x-4}$tại $x=3$

c) $\frac{4x^2+y^2-3xy}{x^2-y^2}$tại $x=3;y=\frac{-1}{3}$

d) $\frac{3x^2-2x}{x^2-1}$tại $x=\frac{1}{4}$

e) $\frac{3x^2-4x+2}{x^3-3x^2+3x-1}$tại $x=\frac{-5}{2}$

f) $\frac{2x+3y+y^2}{4x^2-y^2}$tại$x=1;y=3$

Bài 2:  Tính giá trị phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{2x-3}{x^2+1}$ tại 3x – 2 =5

b) $\frac{4x^2-3x+1}{x^2-2x+1}$ với $x\ne 1$tại $\left|2x+3\right|=5$

c) $\frac{4x+1-x^2}{2x+3}$với $x\ne \frac{-3}{2}$tại $\left|3x-7\right|=4$

Bài 3: Tính giá trị phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{2x+1-x^3}{2x-4x^2}$ với $x\ne 0;x\ne \frac{1}{2}$tại $x^2-3x+2=0$

b) $\frac{x+6}{4x^2-1}$với $x\ne \pm \frac{1}{2}$tại $2x^2-9x+10=0$

Bài 4: Với giá trị x thỏa mãn $2x^2-7x+3=0$, tính giá trị biểu thức:

a) $\frac{x^2-2x+1}{2x^2-x-1}$

b) $\frac{x^3-27}{x^2-2x-3}$

Bài 5: Cho biểu thức:

$Q=\frac{x^2+10x+25}{x+5}$

a) Tìm điều kiện xác định của Q.

b) Rút gọn Q.

c) Tính Q khi x = 13.

Bài 6: Cho biểu thức:

$C=\left(\frac{2x-x^2}{2x^2+8}-\frac{2x^2}{x^3-2x^2+4x-8}\right).\left(\frac{2}{x^2}-\frac{x-1}{x}\right)$

a) Tìm điều kiện của biểu thức C.

b) Rút gọn C.

c) Tính C khi x = 2017.

Bài 7: Tính giá trị phân thức $\frac{x^2-9y^2}{15x+45y}$biết 3x – 9y = 1.

Bài 8: Tính giá trị phân thức $A=\frac{x-y}{x+y}$biết  $3x^2+3y^2=10xy$ và $y>x>0$.

Bài 9: Cho hai số x, y thỏa mãn $4x^2-4xy+y^2=0$với $x\ne y$. Tính $P=\frac{x+y}{x-y}$.