Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

Cho biểu thức f(x, y,..)

- M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y,..) nếu M thỏa mãn hai điều kiện sau

+ Với mọi x, y,... thỏa mãn điều kiện xác định thì f(x,y,…) $\le$M

+ Tồn tại $x_0;y_0\mathrm{...}$sao cho $f\left(x_0;y_0\mathrm{,..}\right)=M$

- m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x, y,..) nếu m thỏa mãn hai điều kiện sau

+ Với mọi x, y,... thỏa mãn điều kiện xác định thì f(x,y,…) $\ge$m

+ Tồn tại $x_0;y_0\mathrm{...}$sao cho $f\left(x_0;y_0\mathrm{,..}\right)=m$

Chú ý:

Với hai số a, b cùng dấu a > b $\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

$a^2+m\ge m$ với mọi m

$a^2+b^2\ge 2ab$ với mọi a, b.

II. Bài tập vận dụng

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức

Phương pháp giải: Cho phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ với $B\left(x\right)\ne 0$

Bước 1: Đánh giá tử thức và mẫu thức để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất ở cả tử và mẫu.

Bước 2: Đánh giá phân thức sao cho $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\le M$

Bước 3: Dùng giá trị M vừa tìm được để giải ra x thỏa mãn.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

a) $A=\frac{3}{x^2+6x+13}$

b) $B=\frac{3x^2-2x+3}{x^2+1}$

Lời giải:

a) Điều kiện xác định:

$x^2+6x+13=x^2+6x+9+4={\left(x+3\right)}^2+4$

Vì ${\left(x+3\right)}^2\ge 0$ nên ${\left(x+3\right)}^2+4\ge 4$

A xác định với mọi x

 $A=\frac{3}{x^2+6x+13}$

$\iff A=\frac{3}{x^2+6x+9+4}$

$\iff A=\frac{3}{{\left(x+3\right)}^2+4}$

Ta có:

${\left(x+3\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow {\left(x+3\right)}^2+4\ge 0+4=4$

$\Rightarrow \frac{3}{{\left(x+3\right)}^2+4}\le \frac{3}{4}$

$\Rightarrow A\le \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff x+3=0\Rightarrow x=-3$

Vậy Amax = $\frac{3}{4}$khi x = -3

b) Điều kiện xác định:

Vì $x^2\ge 0$ nên $x^2+1\ge 1$

B xác định với mọi x

$B=\frac{3x^2-2x+3}{x^2+1}$

$\iff B=\frac{4x^2+4-x^2-2x-1}{x^2+1}$

$\iff B=\frac{4\left(x^2+1\right)-\left(x^2+2x+1\right)}{x^2+1}$

$\iff B=\frac{4\left(x^2+1\right)}{x^2+1}-\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}$

$\iff B=4-\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+1}$

Ta có:

$x^2\ge 0\Rightarrow x^2+1\ge 1>0$và ${\left(x+1\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow \frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+1}\ge 0$

$B=4-\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+1}\le 4-0=4$

Dấu “=” xảy ra khi $x+1=0\Rightarrow x=-1$

Vậy Bmax = 4 khi x = -1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của $C=\frac{x}{x^2+20x+100}$với $x\ne -10$

Lời giải:

$C=\frac{x}{x^2+20x+100}$

$\iff C=\frac{x}{{\left(x+10\right)}^2}$

Đặt $y=\frac{1}{x+10}\Rightarrow x=\frac{1}{y}-10$ thay vào C ta được

$\Rightarrow C=\frac{\frac{1}{y}-10}{{\left(\frac{1}{y}-10+10\right)}^2}$

$\iff C=\frac{\frac{1-10y}{y}}{\frac{1}{y^2}}$

$\iff C=\frac{1-10y}{y}:\frac{1}{y^2}$

$\iff C=\frac{1-10y}{y}.y^2$

$\iff C=\left(1-10y\right)y=-10y^2+y$

$\iff C=-10\left(y^2-\frac{1}{10}y\right)$

$\iff C=-10\left[y^2-2.y.\frac{1}{20}+{\left(\frac{1}{20}\right)}^2-{\left(\frac{1}{20}\right)}^2\right]$

$\iff C=-10\left[{\left(y-\frac{1}{20}\right)}^2-\frac{1}{400}\right]$

$\iff C=-10{\left(y-\frac{1}{20}\right)}^2+\frac{1}{40}$

Ta có:

${\left(y-\frac{1}{20}\right)}^2\ge 0$ với mọi y thỏa mãn điều kiện

$\Rightarrow -10{\left(y-\frac{1}{20}\right)}^2\le 0$

$\Rightarrow -10{\left(y-\frac{1}{20}\right)}^2+\frac{1}{40}\le 0+\frac{1}{40}=\frac{1}{40}$

$\Rightarrow C\le \frac{1}{40}$

Dấu “=” xảy ra khi $y-\frac{1}{20}$= 0

$\Rightarrow y=\frac{1}{20}\Rightarrow x=\frac{1}{y}-10=\frac{1}{\frac{1}{20}}-10=10$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Cmax = $\frac{1}{40}$khi x = 10

Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

Phương pháp giải: Cho phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$  với$B\left(x\right)\ne 0$

Bước 1: Đánh giá tử thức và mẫu thức để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất ở cả tử và mẫu.

Bước 2: Đánh giá phân thức sao cho $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\ge m$

Bước 3: Dùng giá trị m vừa tìm được để giải ra x thỏa mãn

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau: $\text{A=}\frac{4x^2+4x+4}{4{\left(x+1\right)}^2}$

Lời giải:

Điều kiện: $x\ne -1$

$\text{A=}\frac{4x^2+4x+4}{4{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{3x^2+6x+3+x^2-2x+1}{4{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{3\left(x^2+2x+1\right)+\left(x^2-2x+1\right)}{4{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{3{\left(x+1\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2}{4{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{4{\left(x+1\right)}^2}+\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{3}{4}+{\left(\frac{x-1}{2\left(x+1\right)}\right)}^2$

$\iff A=\frac{3}{4}+{\left(\frac{x-1}{2x+2}\right)}^2$

Ta có: ${\left(\frac{x-1}{2x+2}\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow A=\frac{3}{4}+{\left(\frac{x-1}{2x+2}\right)}^2\ge \frac{3}{4}$

$\Rightarrow A\ge \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff {\left(\frac{x-1}{2x+2}\right)}^2=0$

$\Rightarrow \frac{x-1}{2x+2}$ $\iff x-1=0$ $\iff x=1$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Amin = $\frac{3}{4}$khi x = 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

$B=\frac{x^2+y^2}{x^2+2xy+y^2}$ với $x\ne -y;x\ne 0;y\ne 0$.

Lời giải:

$B=\frac{x^2+y^2}{x^2+2xy+y^2}$

$\iff B=\frac{2\left(x^2+y^2\right)}{2\left(x^2+2xy+y^2\right)}$

$\iff B=\frac{2x^2+2y^2}{2{\left(x+y\right)}^2}$

$\iff B=\frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{2{\left(x+y\right)}^2}$

$\iff B=\frac{{\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2}{2{\left(x+y\right)}^2}$

$\iff B=\frac{{\left(x+y\right)}^2}{2{\left(x+y\right)}^2}+\frac{{\left(x-y\right)}^2}{2{\left(x+y\right)}^2}$

$\iff B=\frac{1}{2}+{\left[\frac{x-y}{\sqrt{2}\left(x+y\right)}\right]}^2$

$\iff B=\frac{1}{2}+{\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\right)}^2$

Ta có:

${\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow B=\frac{1}{2}+{\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\right)}^2\ge \frac{1}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\iff {\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\right)}^2=0$

$\Rightarrow \frac{x-y}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}=0$

$\iff x-y=0$ $\iff x=y$

Vậy Bmin = $\frac{1}{2}$ khi x = y và x; y thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

$C=\frac{-6}{x^2+2x+9}$.

Lời giải:

Điều kiện:

$x^2+2x+9=x^2+2x+1+8={\left(x+1\right)}^2+8$

Vì ${\left(x+1\right)}^2\ge 0$ nên ${\left(x+1\right)}^2+8\ge 8$

C xác định với mọi x

$C=\frac{-6}{x^2+2x+9}$

$\iff C=\frac{-6}{x^2+2x+1+8}$

$\iff C=\frac{-6}{{\left(x+1\right)}^2+8}$

Ta có:

${\left(x+1\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow {\left(x+1\right)}^2+8\ge 8$

$\Rightarrow \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+8}\le \frac{1}{8}$

$\Rightarrow \frac{-6}{{\left(x+1\right)}^2+8}\ge \frac{-6}{8}$

$\iff \frac{-6}{{\left(x+1\right)}^2+8}\ge \frac{-3}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff {\left(x+1\right)}^2=0$

$\Rightarrow x+1=0$ $\iff x=-1$

Vậy Cmin = $\frac{-3}{4}$khi x = -1.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau: $A=\frac{5}{2x^2+3x+10}$.

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: $B=\frac{-3}{x^2+5x+10}$.

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau: $A=\frac{3x^2-8x+6}{x^2-2x+1}$ với $x\ne 1$.

Bài 4: Tìm gá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức: $M=\frac{3-4x}{x^2+1}$.

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N=\frac{5x^2-4x+4}{x^2}$với $x\ne 0$.

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $E=\frac{3x^2+4x}{x^2+1}$.

 Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất $P=\frac{2017}{x^2-6x+20}$.

Bài 8: Cho biểu thức $Q=\frac{x^2}{x-8}\left(\frac{x^2+64}{x}-16\right)+19$ với $x\ne 0;x\ne 8$

Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

Bài 9: Cho biểu thức $B=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

a) Tìm điều kiện xác định của B.

b) Rút gọn B.

c) Tìm x để B đạt giá trị lớn nhất.

Bài 10: Cho biểu thức $D=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+10x+4}{x}$  với $x\ne -2;x\ne 0$

Tìm giá tri lớn nhất của Q.