Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Công thức cộng, trừ hai phân thức (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Công thức cộng, trừ hai phân thức (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

Với A, B, C là các đa thức,$B\ne 0$  ta có:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{B}=\frac{A+C}{B}$

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức

Bước 1: Quy đồng mẫu thức

Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

Với A, B, C, D là các đa thức, $B,D\ne 0$  ta có:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A.D}{B.D}+\frac{C.B}{D.B}=\frac{A.D+C.B}{B.D}$

c) Tính chất của phép cộng

Cho ba phân thức $\frac{A}{B};\frac{C}{D};\frac{E}{F}$ với $\left(B;D;F\ne 0\right)$

+ Tính giao hoán: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}$

+ Tính kết hợp: $\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right)$

+ Cộng với 0: $\frac{A}{B}+0=0+\frac{A}{B}=\frac{A}{B}$ .

2. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Phân thức $\frac{-A}{B}$ là phân thức đối của $\frac{A}{B}$ với $\left(B\ne 0\right)$ và ngược lại phân thức $\frac{A}{B}$ là phân thức đối của phân thức $\frac{-A}{B}$ .

 Ta có: $\frac{-A}{B}+\frac{A}{B}=0$ .

Như vậy: $-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}$ và $-\frac{-A}{B}=\frac{A}{B}$.

b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ ta lấy phân thức $\frac{A}{B}$ cộng với phân thức đối của $\frac{C}{D}$ :

$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left(\frac{-C}{D}\right)$ với $\left(B;D\ne 0\right)$ .

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Thực hiện các phép tính:

a)$A=\frac{x^2}{x+2}+\frac{4x+4}{x+2}$ với $x\ne -2$;

b)$B=\frac{1}{x{y}^2}+\frac{x-y}{x^2{y}^2}+\frac{1}{x^{2}y}$ với $x\ne 0;y\ne 0$ .

Lời giải:

a)$A=\frac{x^2}{x+2}+\frac{4x+4}{x+2}$

$\iff A=\frac{x^2+4x+4}{x+2}$

$\iff A=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x+2}$

$\iff A=x+2$

Vậy A = x + 2 với $x\ne -2$ .

b)$B=\frac{1}{x{y}^2}+\frac{x-y}{x^2{y}^2}+\frac{1}{x^{2}y}$

$\iff B=\frac{x}{x^2{y}^2}+\frac{x-y}{x^2{y}^2}+\frac{y}{x^2{y}^2}$

$\iff B=\frac{x+x-y+y}{x^2{y}^2}$

$\iff B=\frac{2x}{x^2{y}^2}$

$\iff B=\frac{2}{x{y}^2}$

Vậy $B=\frac{2}{x{y}^2}$ với $x\ne 0;y\ne 0$ .

Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính:

a)$A=\frac{4xy-1}{5x^{2}y}-\frac{2xy-1}{5x^{2}y}$ với $x\ne 0;y\ne 0$.

b)$B=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}-\frac{2x}{x^2-9}$ với $x\ne \pm 3$ .

Lời giải:

a)$A=\frac{4xy-1}{5x^{2}y}-\frac{2xy-1}{5x^{2}y}$

$\iff A=\frac{\left(4xy-1\right)-\left(2xy-1\right)}{5x^{2}y}$

$\iff A=\frac{4xy-1-2xy+1}{5x^{2}y}$

$\iff A=\frac{\left(4xy-2xy\right)+\left(1-1\right)}{5x^{2}y}$

$\iff A=\frac{2xy}{5x^{2}y}$

$\iff A=\frac{2}{5x}$

Vậy $A=\frac{2}{5x}$ với $x\ne 0;y\ne 0$.

b)$B=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}-\frac{2x}{x^2-9}$

$\iff B=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}-\frac{2x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$\iff B=\frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{2x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$\iff B=\frac{\left(x-3\right)-\left(x+3\right)-2x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$\iff B=\frac{x-3-x-3-2x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$\iff B=\frac{\left(x-x-2x\right)+\left(-3-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$\iff B=\frac{-2x-6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$\iff B=\frac{-2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$\iff B=\frac{-2}{x-3}$

Vậy $B=\frac{-2}{x-3}$  với $x\ne \pm 3$ .

Ví dụ 3: Thực hiện phép tính:

$A=\frac{1}{x^2-x+1}+1-\frac{x^2+2}{x^3+1}$với $x\ne -1$ .

Lời giải:

$A=\frac{1}{x^2-x+1}+1-\frac{x^2+2}{x^3+1}$

$\iff A=\frac{1}{x^2-x+1}+1-\frac{x^2+2}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}$

$\iff A=\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}+\frac{x^3+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\frac{x^2+2}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}$

$\iff A=\frac{\left(x+1\right)+\left(x^3+1\right)-\left(x^2+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}$

$\iff A=\frac{x+1+x^3+1-x^2-2}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}$

$\iff A=\frac{x^3-x^2+x+\left(1+1-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}$

$\iff A=\frac{x^3-x^2+x}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}$

$\iff A=\frac{x\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}$

$\iff A=\frac{x}{x+1}$

Vậy $A=\frac{x}{x+1}$  với $x\ne -1$ .