Toptailieu biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Công thức diện tích hình thoi (50 bài tập minh họa) gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm các dạng toán.

Phương pháp giải Công thức diện tích hình thoi (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.

$S=\frac{1}{2}{d}_1.d_2$ trong đó $d_1,d_2$ là độ dài hai đường chéo.

Cho ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC và BD có độ dài là $d_1,d_2$ . Khi đó diện tích hình thoi ABCD là:

$S=\frac{1}{2}AC.BD$$=\frac{1}{2}{d}_1.d_2$.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 17cm, tổng hai đường chéo bằng 46cm.

Lời giải:

Giả sử hình thoi cần tính diện tích là ABCD.

Vì tổng độ dài hai đường chéo là 46cm nên ta có:

AC + BD = 46   (1). Giả sử AC < BD.

Vì ABCD là hình thoi nên $AC\perp BD$ (tính chất hai đường chéo cắt nhau của hình thoi).

Gọi O là giao điểm của AC và BD$\Rightarrow \widehat{AOD}=90°$

Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AO=\frac{AC}{2}\\ DO=\frac{BD}{2}\end{array}\right.$ (tính chất hai đường chéo cắt nhau của hình thoi).

Xét tam giác AOD vuông tại O ta có:

$A{D}^2=A{O}^2+O{D}^2$

$\iff {17}^2={\left(\frac{AC}{2}\right)}^2+{\left(\frac{BD}{2}\right)}^2$

 $\iff 289=\frac{A{C}^2}{4}+\frac{B{D}^2}{4}$  (2)

Từ (1) ta có: AC = 46 – BD  thay vào (2) ta có:

$289=\frac{{\left(46-BD\right)}^2}{4}+\frac{B{D}^2}{4}$

$\iff 289=\frac{2116-92BD+B{D}^2}{4}+\frac{B{D}^2}{4}$

$\iff 289=\frac{2116-92BD+2B{D}^2}{4}$

$\iff 289=\frac{2\left(1058-46BD+B{D}^2\right)}{4}$

$\iff 289=\frac{1058-46BD+B{D}^2}{2}$

$\iff 1058-46BD+B{D}^2=289.2$

$\iff 1058-46BD+B{D}^2-578=0$

$\iff B{D}^2-46BD+480=0$

$\iff B{D}^2-30BD-16BD+480=0$

$\iff BD\left(BD-30\right)-16\left(BD-30\right)=0$

$\iff \left(BD-30\right)\left(BD-16\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}BD-30=0\\ BD-16=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}BD=30cm\\ BD=16cm\end{array}\right.$

Trường hợp 1: Với BD = 30cm $\Rightarrow$ AC = 16cm

Diện tích hình thoi ABCD cần tính là:

S = $\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}\mathrm{.16.30}=240c{m}^2$

Trường hợp 2: Với BD = 16cm AC = 30cm (trái với giải thuyết AC < BD)

Vậy diện tích hình thoi cần tính là $240c{m}^2$.

Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có BD = 10cm, AC = 6cm. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

b) Tính diện tích hình thoi ABCD.

Lời giải:

a) Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}E\text{}F//AC\\ E\text{}F\text{}=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.$(Tính chất đường trung bình trong tam giác)   (1)

Vì H là trung điểm của AD, G là trung điểm của CD nên HG là đường trung bình của tam giác ADC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}HG//AC\\ HG=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.$  (tính chất đường trung bình trong tam giác)   (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}HG//E\text{}F\\ HG=E\text{}F\end{array}\right.$

Xét tứ giác EFGH có:

$\left\{\begin{array}{l}HG//E\text{}F\\ HG=E\text{}F\end{array}\right.$(chứng minh trên)

$\Rightarrow$Tứ giác EFGH là hình bình hành

Lại có H là trung điểm của AD; E là trung điểm của AB nên HE là đường trung bình của tam giác ABD

$\Rightarrow HE//BD$(tính chất đường trung bình trong tam giác)

Mà $BD\perp AC$  (tính chất hai đường chéo của hình thoi)

Do đó $HE\perp AC$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Mà AC // EF (theo (1))

Nên $HE\perp E\text{}F$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

$\Rightarrow \widehat{HE\text{}F}=90°$

Xét hình bình hành EFGH có $\widehat{HE\text{}F}=90°$ nên hình bình hành EFGH là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Diện tích hình thoi ABCD là:

S =$\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}\mathrm{.6.10}=30c{m}^2$