Lý thuyết Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (Kết nối tri thức) Toán 7

304

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Lý thuyết Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (Kết nối tri thức) Toán 7 hay, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững nội dung kiến thức từ đó dễ dàng làm các bài tập Toán 7.

Lý thuyết Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (Kết nối tri thức) Toán 7

Lý thuyết 

1. Tam giác cân và tính chất

• Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ΔABCcó cạnh AB = AC được gọi là tam giác cân tại đỉnh A, hai cạnh AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy, B^và C^là hai góc ở đáy, A^ là góc ở đỉnh.

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 1)

• Tính chất:

+ Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+ Tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví dụ: Tam giác ABC cân tại A thì B^=C^. Ngược lại, tam giác ABC có B^=C^thì tam giác ABC cân tại A.

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 2)

Chú ý:

• Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Khi đó ba góc cũng bằng nhau và bằng 60°.

Ví dụ: Tam giác ABC có AB = AC = BC thì tam giác ABC được gọi là tam giác đều. Tam giác ABC đều có A^B^=C^= 60°.

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 3)

• Một tam giác có ba cạnh hoặc ba góc bằng nhau thì tam giác ấy là tam giác đều.

• Tam giác cân có 1 góc bằng 60° thì tam giác ấy là tam giác đều.

2. Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Định nghĩa: Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: Đường thẳng d vuông góc với đoạn AB tại M và M là trung điểm của AB. Khi đó d được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 4)

• Đường trung trực của đoạn thẳng cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.

• Tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB và D ∈ d.

Khi đó DA = DB.

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 5)

• Đường trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Chú ý:

• Cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng bằng compa và thước thẳng.

Chẳng hạn: Vẽ đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB như sau:

+ Vẽ đoạn thẳng AB;

+ Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn (bán kính lớn hơn AB2). Sau đó lấy B làm tâm, vẽ cung tròn cùng bán kính sao cho hai cung này cắt nhau tại hai điểm M và N;

+ Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng đi qua M và N. Đường thẳng đó là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 6)

Bài tập Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH và CK lần lượt vuông góc với AC và AB (H ∈ AC; K ∈ AB). Chứng minh rằng BH = CK.

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 7)

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 8)

Xét tam giác BHA (vuông tại H) và tam giác CKA (vuông tại K) có:

AB = AC (ΔABC cân tại A)

A^ là góc chung

⇒ ΔBHA=ΔCKA (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Vậy BH = CK (đpcm).

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AI vuông góc với BC và AI là tia phân giác của góc BAC.

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 10)

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 10)

Xét tam giác AIB và tam giác AIC có:

AB = AC (ΔABC cân tại A)

BI = CI (theo giả thiết)

AI là cạnh chung

⇒ ΔAIB=ΔAIC (c.c.c)

⇒ AIB^=AIC^ (hai góc tương ứng)

Mà AIB^+AIC^=180°

⇒ AIB^=AIC^=90°

⇒ AI ⊥ BC (đpcm)

Vì ΔAIB=ΔAIC (chứng minh trên)

⇒ IAB^=IAC^ (hai góc tương ứng)

⇒ AI là tia phân giác của góc BAC (đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân.

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 11)

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 12)

ΔABC cân tại A ⇒ ABC^=ACB^ (tính chất)

Mà: ABC^+ABD^=180° (hai góc kề bù)

ACB^+ACE^=180° (hai góc kề bù)

Do đó, ABD^=ACE^

Xét tam giác ADB và tam giác AEC có:

AB = AC (ΔABC cân tại A)

ABD^=ACE^ (chứng minh trên)

BD = CE (theo giả thiết)

⇒ ΔADB=ΔAEC (c.g.c)

⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔADE cân tại A (đpcm).

Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A có AH là đường phân giác của góc BAC (H ∈ BC). Chứng minh AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 13)

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (ảnh 14)

Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

AB = AC (ΔABC cân tại A)

BAH^=CAH^ (AH là đường phân giác của BAC^)

AH là cạnh chung

⇒ ΔABH=ΔACH (c.g.c)

⇒ HB = HC (hai cạnh tương ứng) (1)

Và AHB^=AHC^ (hai góc tương ứng)

Mà AHB^+AHC^=180° (hai góc kề bù)

⇒ AHB^=AHC^=90° ⇒ AH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC (đpcm).

B. Trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (Kết nối tri thức 2023) có đáp án

I. Nhận biết

Câu 1. Phát biểu nào sau đây đúng nhất?

A. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau;                   

B. Một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân;                    

C. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau;                    

D. Cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

⦁ Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Suy ra phương án A đúng.

⦁ Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Suy ra phương án B đúng.

⦁ Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Suy ra phương án C đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2. Đường trung trực của một đoạn thẳng là:

A. Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó;                       

B. Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó;               

C. Đường thẳng vừa đi qua trung điểm, vừa vuông góc với đoạn thẳng đó;                    

D. Đường thẳng song song với đoạn thẳng đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 3. Cho ∆ABC có AB = BC = 5 cm và C^=60°C XXXv
. Khi đó ∆ABC là:

A. Tam giác đều;              

B. Tam giác cân tại A;                 

C. Tam giác cân tại B;                 

D. Tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Một tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.

Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

Vì vậy ∆ABC là tam giác đều.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 4. Cho P là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD. Kết luận nào sau đây đúng?

A. P là trung điểm của CD;                   

B. PC = PD;             

C. DP = DC;            

D. CP = CD.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Vì vậy ta có P cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng CD. Tức là, PC = PD.

Điểm P chưa chắc thuộc vào đoạn thẳng CD nên chưa thể kết luận P là trung điểm của đoạn thẳng CD được.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 5. Cho ∆MNP cân tại M và M^=80°. Số đo của N^ bằng:

A. 40°;                      

B. 100°;                   

C. 50°;                      

D. 90°.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng - Toán 7 Kết nối tri thức (ảnh 1)

II. Thông hiểu

Câu 1. Cho đoạn thẳng CD. Gọi A là trung điểm của CD. Kẻ một đường thẳng vuông góc với CD tại A. Trên đường thẳng đó, lấy điểm B sao cho BCD^=60°. Khi đó ∆BCD là tam giác gì?

A. Tam giác tù;                  

B. Tam giác đều;              

C. Tam giác vuông cân;              

D. Tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng - Toán 7 Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có AC = AD (A là trung điểm của CD) và AB ⊥ CD (giả thiết)

Suy ra AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Do đó BD = BC (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Vì vậy ∆BCD cân tại B.

Mà ∆BCD có C^=60° (giả thiết)

Do đó ∆BCD là tam giác đều.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 2. Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm D ∈ AC, E ∈ AB sao cho AD = AE. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Kết luận nào sau đây đúng nhất?

A. AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC;                 

B. ∆IBC cân tại I;              

C. Cả A và B đều đúng;              

D. Cả A và B đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng - Toán 7 Kết nối tri thức (ảnh 1)

Xét ∆ABD và ∆ACE, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A)

AD = AE (giả thiết)

BAC^ là góc chung.

Do đó ∆ABD = ∆ACE (c.g.c)

Suy ra ABD^=ACE^ (cặp góc tương ứng)

Ta có ABC^=ACB^ (∆ABC cân tại A) và ABD^=ACE^ (chứng minh trên)

Suy ra ABC^ABD^=ACB^ACE^.

Khi đó IBC^=ICB^.

Suy ra ∆IBC cân tại I. Do đó phương án B đúng.

Vì ∆IBC cân tại I nên IB = IC, khi đó I thuộc đường trung trực của BC.

Mặt khác ∆ABC cân tại A nên AB = AC, khi đó A thuộc đường trung trực của BC.

Từ đó ta có AI là đường trung trực của BC.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 3. Cho ∆ABC vuông tại A có hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại D. Vị trí của điểm D là:

A. D là trung điểm BC;   

B. D là trung điểm của AB;                   

C. D là trung điểm của AC;                   

D. D là điểm trong tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng - Toán 7 Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi điểm M là giao điểm của đường trung trực của AB với BC.

Vì M thuộc trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.

Suy ra tam giác MAB cân tại M

⇒ B^=MAB^

Ta có: B^+C^=90° và MAB^+MAC^=90°

⇒ C^=MAC^

⇒ Tam giác MAC cân tại M

⇒ MA = MC ⇒ M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC

Vậy M là giao điểm của hai đường trung trực của AB và AC hay ta có M trùng D.

Ta có DA = DB, DA = DC nên DB = DC

Vậy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Câu 4. Cho ∆ABC có B^=2C^. Kẻ đường phân giác BD, từ D kẻ DE //BC (E ∈ AB). Số tam giác cân là:

A. 0;              

B. 1;              

C. 2;              

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng - Toán 7 Kết nối tri thức (ảnh 1)

∆ABC có BD là đường phân giác.

Suy ra ABD^=DBC^=12BAC^=12.2ACB^=ACB^.

Do đó ∆BCD cân tại D.

Ta có BD // BC (giả thiết)

Suy ra EDB^=DBC^ (cặp góc so le trong)

Mà EBD^=DBC^ (chứng minh trên)

Do đó EDB^=EBD^.

Suy ra ∆BED cân tại E.

Do đó có 2 tam giác cân

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 5. Cho xOy^ khác góc bẹt, từ một điểm M trên tia phân giác của xOy^. Từ M kẻ MA vuông góc với Ox và MB vuông góc với Oy. Phát biểu nào dưới đây là sai?

A. M cách đều hai cạnh của góc xOy^;                      

B. ∆OAB đều;                    

C. OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB;               

D. ∆MAB cân tại M.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng - Toán 7 Kết nối tri thức (ảnh 1)

Xét ∆OAM và ∆OBM, có;

OM là cạnh chung.

AOM^=BOM^ (OM là tia phân giác của xOy^)

OAM^=OBM^=90°.

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra OA = OB và MA = MB (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó tam giác OAB cân tại O, tam giác MAB cân tại M và khoảng cách từ M đến hai cạnh của xOy^ là bằng nhau. Vì vậy A và D đúng và B sai.

Khi đó OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Do đó C đúng.

Vậy chọn đáp án B.

Câu 6. Cho ∆ABC đều. Lấy các điểm D, E, F lần lượt trên các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Khi đó ∆DEF là:

A. Tam giác cân;               

B. Tam giác đều;              

C. Tam giác vuông;                      

D. Tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng - Toán 7 Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì ∆ABC đều nên ta có AB = BC = CA và ABC^=ACB^=BAC^=60°.

Ta có AB = BC (chứng minh trên) và AD = BE (giả thiết).

Suy ra AB – AD = BC – BE.

Do đó BD = EC.

Xét ∆BDE và ∆CEF, có:

BD = EC (chứng minh trên)

BE = CF (giả thiết)

DBE^=ECF^=60°.

Do đó ∆BDE = ∆CEF (c.g.c)

Suy ra DE = EF (cặp cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự, ta thu được DE = DF và EF = DF.

Khi đó DE = DF = EF.

Vì vậy ∆DEF là tam giác đều.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 7. Cho ∆ABC vuông tại A, AB < AC. Tia phân giác của  cắt AC tại E. Từ E kẻ ED vuông góc với BC tại D. Kết luận nào sau đây đúng nhất?

A. ∆ABE = ∆DBE;             

B. ∆BAD cân tại B;                       

C. BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD;                

D. Cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng - Toán 7 Kết nối tri thức (ảnh 1)

Xét ∆ABE và ∆DBE, có:

BE là cạnh chung.

ABE^=DBE^ (BE là phân giác của ).

BAE^=BDE^=90°.

Do đó ∆ABE = ∆DBE (cạnh huyền – góc nhọn)

Vì vậy phương án A đúng.

Ta có ∆ABE = ∆DBE (chứng minh trên)

Suy ra BA = BD và AE = DE (các cặp cạnh tương ứng)

Vì vậy BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Do đó phương án C đúng.

Vì BA = BD nên ∆BAD cân tại B.

Vì vậy phương án B đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Đánh giá

0

0 đánh giá