Cho số thực $a$ và hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \le 0\\a\left( {x - {x^2}} \right)\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x > 0\end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q'\left( t \right) = 4{t^3} - 72{t^2} + 288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $\left( {0 \le t \le 13} \right)$, $Q'\left( t \right)$ tính bằng khách/giờ. Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số $Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2}$.

b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1 325 người.

c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1 296 người.

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng từ trái sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian $t\left( {\rm{s}} \right)$ là $a\left( t \right) = 2t - 7{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)$. Biết vận tốc ban đầu bằng ${\rm{6 }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t\left( {\rm{s}} \right)$ xác định bởi $v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10$.

b) Tại thời điểm $t = 7$ (s), vận tốc của chất điểm là $6$ (m/s).

c) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \le t \le 7$ là $18$ m.

d) Trong $8$ giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải tại thời điểm $t = 7$ (s).

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$. $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ thỏa mãn $F\left( 3 \right) = 2$ và $F\left( 0 \right) = 1$.

a) Hiệu số $F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$ gọi là tích phân từ $3$ đến $0$ của hàm số $f\left( x \right)$.

b) $\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_3^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$.

c) $\int\limits_0^3 {f\left( t \right){\rm{dt}}} = 1$.

d) Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 3$ có diện tích bằng 1.

Cho các hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $\int\limits_2^7 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1$ và $\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 4}$. Khi đó, $\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 3\int\limits_7^2 {g\left( x \right)\,} {\rm{d}}x$ bằng bao nhiêu?

Hai người $A$, $B$ đang chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di chuyển tiếp với vận tốc ${v_1}\left( t \right) = 6 - 3t$ $\left( {{\rm{m/s}}} \right)$, người còn lại di chuyển với vận tốc ${v_2}\left( t \right) = 12 - 4t$ $\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

a) Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số${s_1}\left( t \right) = 6t - \frac{{3{t^2}}}{2} + \,\,C\,\,(\;{\rm{m}})$.

b) Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số${s_2}\left( t \right) = 12t - 2{t^2} + \,\,C'\,\,(\;{\rm{m}})$.

c) Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là $18\,\,(\;{\rm{m}})$.

d) Khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn là $12\,\,(\;{\rm{m}})$.

Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}$ và $F\left( 0 \right) = 1$. Tính giá trị $F\left( \pi \right)$.

Cho $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {F_1}\left( x \right)$, $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = {F_2}\left( x \right)$. Tính $I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}$.