Đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{2}\sin 2x + \cos x$ tại ${x_0} = \frac{\pi }{2}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Biết $\widehat {SAD} = \widehat {SCD} = 90^\circ$. Số đo góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ bằng bao nhiêu độ?

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng $AB = AC = a,AD = a\sqrt 3$.

a) $AC \bot \left( {ABD} \right)$.

d) $\left( {CD,\left( {ABD} \right)} \right) = 30^\circ$.

c) Góc nhị diện $\left[ {A,BC,D} \right]$ có số đo bằng $87,79^\circ$.

d) Số đo của góc nhị diện $\left[ {C,AB,D} \right]$ bằng $90^\circ$.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $2a$, khoảng cách từ điểm $A'$ đến mặt phẳng $\left( {AB'C'} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

a) Trong mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$, kẻ $A'H \bot B'C'$ tại $H$. Khi đó $B'C' \bot \left( {AA'H} \right)$.

b) $d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = a$.

c) Diện tích đáy của lăng trụ là ${a^2}\sqrt 5$.

d) Thể tích khối lăng trụ là ${a^3}\sqrt 3$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AB = 1,\widehat {ACB} = 30^\circ$. Biết $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$.

a) $d\left( {A,SB} \right) = AH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

b) $d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

c) $BC = \sqrt 3$.

d) Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AC = a,BC = 2a,\widehat {ACB} = 120^\circ$. Gọi $M$ là trung điểm của $BB'$.

a) $d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

b) $d\left( {CC',AM} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{12}}$.

c) $AA' \bot \left( {ABC} \right),AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)$.

d) Biết khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng $2a$. Khi đó thể tích khối lăng trụ là ${a^3}\sqrt 3$.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,AD = b,AA' = c$.

a) $AB \bot \left( {ADD'A'} \right)$.

b) Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $BD'$ bằng: $\frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$.

c) Gọi $I,J$ theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật $ADD'A',BCC'B'$. Khi đó $IJ$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $AD'$ và $B'C$.

d) Khoảng cách hai đường thẳng $AD'$ và $B'C$ bằng $2a$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 2a$, $AD = a$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm $H$ của $AB$ và $\widehat {SCH} = 45^\circ$.

a) $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) $d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

c) Gọi $K$ là trung điểm $CD$. Khi đó $CD \bot \left( {SHK} \right)$.

d) $d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt bên $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và cạnh $AC = a\sqrt 3$.

a) $SH \bot \left( {ABC} \right)$ với $H$ là trung điểm của $AB$.

b) $d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = a\sqrt 3$.

c) $d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

d) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{{{a^3}}}{6}$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $SA \bot \left( {ABC} \right)$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),AB \bot BC$, $SA = AB = a,AC = a\sqrt 3$.

a) $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ bằng $\widehat {CSA}$.