Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Phương pháp Fre-Nen Vật Lí 12 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 12 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Vật Lí.

Mời các bạn đón xem:

Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Phương pháp Fre-Nen (Lý thuyết + 29 bài tập có lời giải)

I. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Phương pháp Fre-Nen

1. Cách biểu diễn phương trình dao động điều hòa bằng một vecto quay.

     - Vectơ OM→ biểu diễn phương trình dao động điều hòa: x = Acos⁡(ωt + φ) tại thời điểm t có những đặc điểm sau:

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen.

     - Yêu cầu bài toán: tìm li độ của một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số: x₁ = A₁cos⁡(ωt + φ₁ )

     x₂ = A₂cos⁡(ωt + φ₂ )

     Khi đó li độ của vật x = x₁ + x₂ có phương trình như thế nào?

     - Phương pháp giản đồ Fre-nen.

     B1: biểu diễn li độ x₁, x₂ tại thời điểm ban đầu bằng các Vectơ (OM₁→, OM₂→

     B2: li độ x = x₁ + x₂ của dao động tổng hợp tại thời điểm ban đầu được biểu diễn bằng OM→ = OM₁→ + OM₂→

     B3: Sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm các đại lượng đặc trưng.

     Phương dao động: cùng phương với 2 dao động thành phần.

     Tần số: cùng tần số ω với 2 dao động thành phần.

     Biên độ 

     Pha ban đầu φ: 

     - Nhận xét: biên độ A phụ thuộc vào A₁,A₂ và độ lệch pha (φ₁ - φ₂)

         +) A_max = A₁ + A₂ khi 2 dao động cùng pha: (φ₁ - φ₂ ) = 2nπ (n = 0, ±1, ±2,...)

         +) A_min = |A₁ - A₂ | khi 2 dao động ngược pha: (φ₁ - φ₂ ) = (2n + 1)π (n = 0, ±1, ±2,...)

3. Sử dụng máy tính để tổng hợp dao động.

     - VD: để tổng hợp 2 dao động x₁ = 1 cos⁡(ωt + 2π/3) và x₂ = √3cos⁡(ωt + π/6) ta dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm như sau:

     B1: Chọn đơn vị góc là radian 

     B2: Chọn chế độ tính toán với số phức  (khi đó máy tính sẽ hiện CMPLX)

     B3: Nhập số liệu

     (Màn hình máy tính sẽ hiện thị )

     B4: để hiện ra kết quả bấm 

     Màn hình sẽ hiện kết quả: 

     Nghĩa là biên độ A = 2 và pha ban đầu φ = π/3

II. Bài tập Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Phương pháp Fre-Nen

Câu 1: Một vật tham gia đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x₁ = 5cos(4t + φ1) cm, x₂ = 3cos(4t + φ2) cm. Biên độ dao động tổng hợp thoả mãn:

A. 2 cm ≤ A≤ 4 cm.     

B. 5 cm ≤ A≤ 8 cm.

C. 3 cm ≤ A≤ 5 cm.     

D. 2 cm ≤ A≤ 8 cm.

- Ta có:

Chọn đáp án D

Câu 2: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ lần lượt là A₁ = 8 cm; A₂ = 15 cm và lệch pha nhau π/2. Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ bằng:

A. 23 cm.     

B. 7 cm.

C. 11 cm.     

D. 17 cm.

- Ta có:

Chọn đáp án D

Câu 3: Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ đều bằng 6 cm và có pha ban đầu lần lượt là - π/6 và - π/2. Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là:

- Áp dụng công thức tính biên độ của dao động tổng hợp các dao động thành phần :

Chọn đáp án A

Câu 4: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương x₁ = 4√3cos10πt (cm) và i, t đo bằng giây. Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2s là:

A. 20π (cm/s)     

B. 40π (cm/s)

C. 10π (cm/s)     

D. 40π (cm/s)

- Dao động tổng hợp của vật đó là:

- Vận tốc của vật ở thời điểm là:

Chọn đáp án B

Câu 5: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là:

x₁ = A₁cos(ωt + π/2); x₂ = A₂cosωt; x₃ = A₃cos(ωt - π/2).

- Tại thời điểm t₁ các giá trị li độ: x₁ = - 10√3 cm; x₂ = 15 cm; x₃ = 30√3 cm.

- Tại thời điểm t₂ các giá trị li độ: x₁ = -20 cm; x₂ = 0 cm; x₃ = 60 cm.

Tính biên độ dao động tổng hợp?

A. 40 cm       

B. 50 cm

C. 40√3 cm     

D. 60 cm

- Nhận thấy x₁ và x₃ ngược pha nhau và cùng vuông pha với x₂ nên khi x₂ (min) là x₁, x₃ (max) tại thời điểm t₂ thì x₂ = 0 nên:

- Mặt khác x₁ vuông pha x₂ nên tại thời điểm t₁ ta có:

- Biên độ dao đổng tổng hợp:

Chọn đáp án B

Câu 6: Chuyển động của một vật là hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x₁ = 4cos(10t - π/6) (cm) và x₂ = A₂cos(10t - π/6) (cm). Độ lớn của vận tốc ở vị trí cân bằng là 60 cm/s. Giá trị của A₂ bằng:

A. 4 cm.

B. 6 cm.

C. 2 cm.

D. 8 cm.

- Tại vị trí cân bằng vật đạt vận tốc có giá trị cực đại nên:

- Hai dao động cùng pha thì biên độ của dao động tổng hợp là:

Chọn đáp án C

Câu 7: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là x₁ = 3cos(2πt/3 - π/2) (cm) và x₂ = 3√3cos(2πt/3) (cm) (x₁ và x₂ tính bằng cm, t tính bằng s). Tại các thời điểm x₁ = x₂ li độ dao động tổng hợp là:

A. ± 7,59 cm.     

B. ± 5,19 cm.

C. ± 6 cm.       

D. ± 3 cm.

- Phương trình dao động tổng hợp:

- Tại thời điểm x₁ = x₂:

- Ta có:

Chọn đáp án B

Câu 8: Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là x₁ = 4cos(√3t/2 + π/3) (cm) và x₂ = 5cos(√3t/2 + 2π/3) (cm) (x₁; x₂ tính bằng , t tính bằng ). Gia tốc của vật có độ lớn cực đại là:

- Dao động tổng hợp của vật có phương trình là:

- Vậy gia tốc cực đại của vật có độ lớn là:

Chọn đáp án C

Câu 9: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, li độ x₁ và x₂ phụ thuộc thời gian như hình vẽ. Phương trình dao động tổng hợp là:

A. x = 2cos(ωt – π/3) cm.

B. x = 2cos(ωt + 2π/3) cm.

C. x = 2cos(ωt + 5π/6) cm.

D. x = 2cos(ωt – π/6) cm.

- Từ đồ thị ta viết được phương trình của x₁ và x₂ là:

* Phương trình của x₁: biên độ A₁ = √3 cm, tại thời điểm t = 0 thì x₁ = 0 và đang xuống phía âm nên:

* Phương trình của x₂: biên độ A₂ = 1 cm, tại t = 0 thì:

- Sử dụng máy tính để tổng hợp 2 dao động trên:

Chọn đáp án B

Câu 10: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là x₁ = 10cos(2πt + φ) cm; x₂ = A₂cos(2πt − π/2) cm thì dao động tổng hợp là x = Acos(2πt − π/3) cm. Khi biên độ dao động của vật bằng nửa giá trị cực đại thì biên độ dao động A₂ có giá trị là:

- Từ hình vẽ, áp dụng định lý hàm cos trong tam giác ta có:

- Phương trình trên luôn có nghiệm nên:

- Với: 

thay vào phương trình trên ta được: 

Chọn đáp án A

Câu 11: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có phương trình: x₁ = 2√3sinωt cm, x₂ = A₂cos(ωt + φ2) cm. Phương trình dao động tổng hợp x = 2cos(ωt + φ) cm. Biết φ2 – φ = π/3. Cặp giá trị nào của A₂ và φ2 sau đây là đúng?

- Ta có:

- Dựa vào các dữ kiện ta vẽ được giản đồ vecto như hình sau:

- Áp dụng định lý hàm sin ta được:

- Sử dụng máy tính để thử các đáp án thì đáp án A là thỏa mãn phương trình trên.

Chọn đáp án A

Câu 12: Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ a là một dao động có biên độ cũng bằng a thì 2 dao động thành phần có độ lệch pha là:

A. π/2     

B. π/4

C. π/3     

D. 2π/3

- Ta có:

Chọn đáp án D

Câu 13: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng chu kì T mà đồ thị x₁ và x₂ phụ thuộc thời gian biểu diễn trên hình vẽ.

Biết x₂ = v₁T, tốc độ cực đại của chất điểm là 53,4 cm/s. Giá trị T gần giá trị nào nhất sau đây?

A. 2,56 s.     

B. 2,99 s.

C. 2,75 s.     

D. 2,64 s.

- Ta có:

- Từ phương trình x₁ và x₂ ta thấy 2 dao động vuông pha với nhau nên:

Chọn đáp án B

Câu 14: Hai dao động điều hoà: x₁ = A₁cos(ωt + φ1) và x₂ = A₂cos(ωt + φ2). Biên độ dao động tổng hợp của chúng đạt cực đại khi:

A. φ2 – φ1 = (2k + 1)π.

B. φ2 – φ1 = 2kπ.

C. φ2 – φ1 = (2k + 1)π/2.

D. φ2 – φ1 = π/4.

Dao động tổng hợp đạt cực đại khi:

Chọn đáp án B

Câu 15: Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ a là một dao động có biên độ a√2 thì 2 dao động thành phần có độ lệch pha là:

A. π/2     

B. π/4

C. 0.       

D. π

- Ta có:

Chọn đáp án A

Câu 16: Hai dao động điều hoà: x₁ = A₁cos(ωt + φ₁) và x₂ = A₂cos(ωt + φ₂). Biên độ dao động tổng hợp của chúng đạt cực tiểu khi:

A. φ₂ – φ₁ = (2k + 1)π.

B. φ₂ – φ₁ = 2kπ.

C. φ₂ – φ₁ = (2k + 1)π/2.

D. φ₂ – φ₁ = π/4.

- Ta có:

Chọn đáp án A

Câu 17: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có đồ thị li độ phụ thuộc vào thời gian như hình vẽ. Tốc độ cực đại của vật là:

A. 10,96 cm/s.     

B. 8,47 cm/s.

C. 11,08 cm/s.     

D. 9,61 cm/s.

- Dựa vào đồ thị ta có thể thấy được chu kì của 2 dao động là: T1 = T2 = 12 s

- Xét với x₁ ta thấy:

   + Khi t = 0 thì x₁ = 4 cm, khi t = 3 s = T/4 thì :

   + Vì tại t = 0 thì x₁ = 4 cm và đang giảm nên :

- Xét với x₂ thì ta có:

   + Từ t = 0:

- Từ x = 0 đến x = -4√3 cm vật đi mất t = 1s :

- Tổng hợp (1) và (2) ta được:

Chọn đáp án C

Câu 18: Cho ba dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là x₁ = 2acosωt (cm); x₂ = A₂cos(ωt + φ₂) (cm) và x₃ = acos(ωt + π) (cm). Gọi x₁2 = x₁ + x₂ và x₂3 = x₂ + x₃. Biết đồ thị sự phụ thuộc x₁2 và x₂3 theo thời gian như hình vẽ. Tính φ₂.

A. φ₂ = 2π/3.     

B. φ₂ = 5π/6.

C. φ₂ = π/3.       

D. φ₂ = π/6.

- Từ đồ thị ta thấy:

- Tại t = 0,5 s thì :

Chọn đáp án C

Câu 19: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ x = 3cos(πt - 5π/6) (cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x₁ = 5cos(πt + π/6) (cm). Dao động thứ hai có phương trình li độ là:

A. x₂ = 8cos(πt + π/6) (cm)

B. x₂ = 2cos(πt - 5π/6) (cm)

C. x₂ = 8cos(πt - 5π/6) (cm)

D. x₂ = 2cos(πt + π/6) (cm)

- Có thể bấm nhanh bằng máy tính:

- Vậy dao động thứ 2 có phương trình li độ:

Chọn đáp án C

Câu 20: Dao động của một vật có khối lượng 200 g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương D1 và D2. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ của D1 và D2 theo thời gian. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng của vật. Biết cơ năng của vật là 22,2 mJ. Biên độ dao động của D2 có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 5,1 cm.     

B. 5,4 cm.

C. 4,8 cm.     

D. 5,7 cm.

- Ta có: 

- Từ đồ thị ta thấy: A₁ = 3 cm.

- Cũng theo đồ thị thì ta thấy cứ một ô ngang theo trục thời gian là 0,1s.

- Quan sát đồ thị ta thấy thời gian dao động D2 đi từ VTCB ra biên mất thời gian là 2 ô nên:

- Gọi Δ1 là thời gian kể từ lúc D1 bắt đầu dao động đến khi lần đầu tiên qua VTCB:

- Gọi Δ2 là thời gian kể từ lúc D2 bắt đầu dao động đến khi lần đầu tiên đến biên âm:

Chọn đáp án A

Câu 21: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương có phương trình lần lượt là x₁ = 5cos(5πt + φ₁) (cm); x₂ = 5cos(5πt + φ₂) (cm) với 0 ≤ φ₁ – φ₂ ≤ π. Biết phương trình dao động tổng hợp x = 5cos(5πt + π/6) (cm). Hãy xác định φ₁.

A. π/6.     

B. –π/6.

C. π/2.     

D. 0.

- Ta có :

- Đối chiếu với :

Chọn đáp án C

Câu 22: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có phương trình: x₁ = 4cos(ωt + π/3) cm, x₂ = A₂cos(ωt + φ₂) cm. Phương trình dao động tổng hợp x = 2cos(ωt + φ) cm. Biết φ – φ₂ = π/2. Cặp giá trị nào của A₂ và φ sau đây là đúng?

A. 3√3 cm và 0.       

B. 2√3 cm và π/4.

C. 3√3 cm và π/2.     

D. 2√3 cm và 0.

Chọn đáp án D

Câu 23: Cho hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình x₁ = 3cos10πt (cm) và x₂ = 4cos(10πt + 0,5π) (cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là:

A. 1 cm.     

B. 3 cm.

C. 5 cm.     

D. 7 cm.

- Phương trình dao động tổng hợp: x = x₁ + x₂

- Chuyển sang chế độ số phức rồi bấm máy tổng hợp dao động ta được:

=> Biên độ dao động tổng hợp là A = 5 cm

Chọn đáp án C

Câu 24: Một tham gia đồng thời vào hai dao động điều hòa có phương trình x₁ = 4√3cos(10πt) cm và x₂ = 4sin(10πt) cm. Vận tốc của vật khi t = 2 s là:

A. 123 cm/s.      

B. 120,5 cm/s.

C. – 123 cm/s.     

D. 125,7 cm/s.

- Phương trình dao động tổng hợp:

- Vận tốc của vật khi t = 2s là:

Chọn đáp án D

Câu 25: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số. Dao động thứ nhất có phương trình li độ x₁ = A₁cos(ωt + φ₁) (cm), dao động thứ hai có phương trình li độ x₂ = A₂cos(ωt + φ₂) (cm). Biết 3x₁2 + 2x₂2 = 11. Khi dao động thứ nhất có li độ 1 cm và tốc độ 12 cm/s thì dao động hai có tốc độ bằng:

A. 3 cm/s.     

B. 4 cm/s.

C. 9 cm/s.     

D. 12 cm/s.

- Đạo hàm 2 vế ta được:

- Thay vào phương trình (*) ta giải ra được: 

Chọn đáp án C

Câu 26: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động cùng phương:

x₁ = A₁cos(ωt + π/2) (cm), x₂ = A₂cosωt (cm), x₃ = A₃cos(ωt – π/2) (cm).

- Tại thời điểm t₁ các giá trị li độ lần lượt là: -10√3cm; 15 cm; 30√3 cm.

- Tại thời điểm t₂ các giá trị li độ là x₁(t₂) = –20 cm, x₂ (t₂) = 0.

- Biên độ dao động tổng hợp là:

A. 40 cm.       

B. 15 cm.

C. 40√3 cm.     

D. 50 cm.

- Ta nhận thấy x₁ và x₃ ngược pha nhau và cùng vuông pha với x₂ nên khi x₂ cực tiểu thì x₁; x₃ cực đại:

- Mặt khác:

- Biên độ dao động tổng hợp:

Chọn đáp án D

Câu 27: Một chất điểm tham gia đổng thời hai dao động điều hòa trên cùng một trục Ox với các phương trình x₁ = 2√3sinωt (cm) và x₂ = A₂cos(ωt + φ₂) (cm). Phương trình dao động tổng hợp là x = 2cos(ωt + φ) (cm). Biết. Cặp giá trị nào của A₂ và φ₂ là đúng?

- Đổi:

- Tìm thành phần A₁, ta có:

- Thay số vào ta có:

- Giải phương trình trên ta được: 

- Để tìm φ₂ ta đi xác định biên độ tổng hợp A:

- Suy ra:

Chọn đáp án A

Câu 28: Hai dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt là x₁ = 5cos(2πt + π/6) (cm) và x₂ = 5√3cos(2πt + 2π/3) (cm). Biên độ và pha của dao động tổng hợp là:

- Dùng máy tính bấm nhanh:

- Vậy: A = 10 cm và φ = π/2

Chọn đáp án A

Câu 29: Vật tham gia đồng thời vào 2 dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x₁ = A₁cosωt và x₂ = A₂cos(ωt - π/2). Với v_max là vận tốc cực đại của vật. Khi hai dao động thành phần x₁ = x₂ = x₀ thì x₀ bằng:

- Biên độ của dao động tổng hợp:

- Hai dao động vuông pha nên:

- Gọi v_max là vận tốc cực đại của vật trong quá trình dao động:

Chọn đáp án B