Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán lớp 7 trang 77, 78 Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác

1. Mục 1

Hoạt động 1 trang 77 Toán lớp 7: Em hãy dựng tam giác ABC trên giấy, sau đó dùng êke vẽ đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh B đến cạnh AC của tam giác.

Phương pháp giải:

- Ta dùng êke với cạnh góc vuông đi qua đỉnh B

- Cạnh góc vuông còn lại của êke nằm trùng với AC

Lời giải 

- Ta dùng êke với cạnh góc vuông đi qua đỉnh B

- Cạnh góc vuông còn lại của êke nằm trùng với AC

Thực hành 1 trang 77 Toán lớp 7: Vẽ ba đường cao AH, BK, CE của tam giác nhọn ABC

Phương pháp giải:

- Ta sử dụng thước êke để vẽ đường cao từ các đỉnh

- Ta đặt 1 cạnh góc vuông của êke đi qua 1 đỉnh của tam giác và cạnh góc vuông còn lại của êke trùng với cạnh đối diện với đỉnh đang vẽ .

- Sau đó ta vẽ đường cao của tam giác bằng cạnh góc vuông đi qua đỉnh cần vẽ

Lời giải

Vận dụng 1 trang 77 Toán lớp 7: Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác vuông ABC (Hình 2a)

Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh F của tam giác tù DEF (Hình 2b

Phương pháp giải:

- Ta sử dụng thước êke để vẽ đường cao từ các đỉnh

- Ta đặt 1 cạnh góc vuông của êke đi qua 1 đỉnh của tam giác và cạnh góc vuông còn lại của êke trùng với cạnh đối diện với đỉnh đang vẽ .

- Sau đó ta vẽ đường cao của tam giác bằng cạnh góc vuông đi qua đỉnh cần vẽ

Lời giải 

a) Ta thấy ở tam giác ABC vuông tại A thì BA chính là đường cao từ đỉnh B của tam giác vuông ABC

b) Ta thấy đường cao tam giác tù DEF xuất phát từ đỉnh F sẽ nằm ngoài tam giác DEF và chân đường cao nằm trên đoạn kéo dài của đoạn ED.

2. Mục 2

Hoạt động 2 trang 77, 78 Toán lớp 7: Vẽ một tam giác rồi dùng êke vẽ ba đường cao của tam giác ấy (Hình 3). Em hãy quan sát và cho biết các đường cao vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không.

Phương pháp giải:

- Ta sử dụng êke vẽ 3 đường cao của tam giác

- Sau đó nhận xét về các giao điểm của những đường cao ấy

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: Các đường cao cùng đi qua 1 điểm

Thực hành 2 trang 77, 78 Toán lớp 7: Cho tam giác LMN có hai đường cao LP và MQ cắt nhau tại S (Hình 6). Chứng minh rằng NS vuông góc với ML.

Phương pháp giải:

- Ta sử dụng định lí 3 đường cao của một tam giác cùng đi qua 1 điểm

Lời giải

Theo giả thiết ta có : LP và MQ là 2 đường cao của tam giác

Chúng cắt nhau tại S

Theo định lí 3 đường cao trong 1 tam giác cùng đi qua 1 điểm

$\Rightarrow$Đường cao từ đỉnh N cũng đi qua S

$\Rightarrow$NS là đường cao của tam giác MNL

$\Rightarrow$ NS vuông góc với ML tại G (là chân đường cao)

Vận dụng 2 trang 77, 78 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng qui tại trực tâm H. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HAB, HAC.

Phương pháp giải:

- Từ các đỉnh ta vẽ các đường cao của tam giác chúng giao nhau ở đâu thì đó là trực tâm

Lời giải

+) Xét tam giác HBC ta có :

HD vuông góc với BC $\Rightarrow$ HD là đường cao tam giác HBC

BF vuông góc với HC tại F ( kéo dài HC ) $\Rightarrow$BF là đường cao của tam giác HBC

CE vuông góc với HB tại E ( kéo dài HB ) $\Rightarrow$CE là đường cao của tam giác HBC

Ta kéo dài HD, BF, CE sẽ cắt nhau tại A

$\Rightarrow$ A là trực tâm tam giác HBC

+) Xét tam giác HAB ta có :

HF vuông góc với AB $\Rightarrow$ HF là đường cao tam giác HAB

BH vuông góc với AE tại E ( kéo dài HB ) $\Rightarrow$AE là đường cao của tam giác HAB

BD vuông góc với AH tại D ( kéo dài AH ) $\Rightarrow$BD là đường cao của tam giác HAB

Ta kéo dài HF, BD, AE sẽ cắt nhau tại C

$\Rightarrow$ C là trực tâm tam giác HAB

+) Xét tam giác HAC ta có :

HE vuông góc với AC $\Rightarrow$ HE là đường cao tam giác HAC

AF vuông góc với HC tại F ( kéo dài HC ) $\Rightarrow$AF là đường cao của tam giác HAC

CD vuông góc với AH tại D ( kéo dài AH ) $\Rightarrow$CD là đường cao của tam giác HAC

Ta kéo dài CD, HE, AF sẽ cắt nhau tại B

$\Rightarrow$ B là trực tâm tam giác HAC.

3. Bài tập

Bài 1 trang 78 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AB. Vẽ HM vuông góc với BC tại M. Tia MH cắt tia CA tại N. Chứng minh rằng CH vuông góc với NB.

Phương pháp giải 

Ta chứng minh H là trực tâm của tam giác NBC

Lời giải 

Vì tam giác ABC vuông tại A theo giả thiết nên BA vuông góc với AC

Vì HM cắt AC tại N mà HM vuông góc với BC (giả thiết)

$\Rightarrow$ NM vuông góc với BC tại M

Xét tam giác NBC có NM và BA là 2 đường cao

Mà MN cắt AB tại H nên H là trực tâm của tam giác NBC

$\Rightarrow$ CH đường cao của tam giác NBC (3 đường cao của tam giác đi qua 1 điểm)

$\Rightarrow$ CH vuông góc với NB

Bài 2 trang 78 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Phương pháp giải 

- Ta chứng minh H là trực tâm của tam giác AMC

- Từ đó ta chứng minh MH vuông góc với BC

Lời giải 

Bài 3 trang 78 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC                                b) BE vuông góc với DC

Lời giải 

a) Vì tam giác ABC vuông cân tại A

⇒$\stackrel{⏜}{B}=\stackrel{⏜}{C}=45°$(2 góc ở đáy bằng nhau)

Xét tam giác AED có :

AE = AD

AC vuông góc với AB

⇒Tam giác AED vuông cân tại A

$\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{AED}={45}^o$

Mà $\widehat{AED};\widehat{CEF}$là 2 góc đối đỉnh $\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{CEF}={45}^o$

Xét tam giác CEF áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có :

$\Rightarrow \hat{F}+\hat{C}+\hat{E}={180}^o$

$\Rightarrow \hat{F}={180}^o-{45}^o-{45}^o={90}^o\Rightarrow EF\mathrm{\perp }BC\Rightarrow DE\mathrm{\perp }BC$

b) Vì DE vuông góc với BC $\Rightarrow$ DE là đường cao của tam giác BCD

Vì AC cắt DE tại E nên E là trực tâm tam giác BCD (Do AC cũng là đường cao của tam giác BCD)

$\Rightarrow$BE cùng là đường cao của tam giác BCD (định lí 3 đường cao trong tam giác đi qua trực tâm)

$\Rightarrow$BE vuông góc với DC

Bài 4 trang 78 Toán lớp 7: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AB, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Lời giải

Xét tam giác BFC và tam giác BEC có :

BC chung

FC = BE

$\stackrel{⏜}{BFC}=\stackrel{⏜}{BEC}=90°$

( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒$\stackrel{⏜}{C}=\stackrel{⏜}{B}$
( 2 góc tương ứng ) (1)

Xét tam giác CFA và tam giác ADC ta có :

CF = AD

AC chung

$\widehat{ADC}=\widehat{AFC}={90}^o$

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \hat{C}=\hat{A}$(2 góc tương ứng ) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \hat{C}=\hat{A}=\hat{B}$ $\Rightarrow$Tam giác ABC là tam giác đều do có 3 góc bằng nhau