Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán lớp 7 trang 73, 74, 75, 76 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

1. Mục 1

Hoạt động 1 trang 73 Toán lớp 7: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D.

Phương pháp giải:

Vẽ theo yêu cầu đề bài

Lời giải 

Thực hành 1 trang 73 Toán lớp 7: Em hãy viết tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (Hình 1).

Phương pháp giải:

- Xác định các trung điểm của các cạnh tam giác và vẽ các đường trung tuyến

Lời giải

Vận dụng 1 trang 73 Toán lớp 7: 

a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2).

b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác MNP (Hình 3).

c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó.

Phương pháp giải:

- Xác định các trung điểm và vẽ các trung tuyến

Lời giải 

2. Mục 2

Hoạt động 2 trang 74, 75 Toán lớp 7: 

a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện (Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.

Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không.

b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại D.

Em hãy quan sát vào cho biết:

- AD có phải đường trung tuyến của tam giác ABC hay không?

- Các tỉ số ${\displaystyle \frac{BG}{BE}}$, ${\displaystyle \frac{CG}{CF}}$, ${\displaystyle \frac{AG}{AD}}$ bằng bao nhiêu ? 

Lời giải 

a)- Ta xác định trung điểm 1 cạnh bằng cách gấp sao cho 2 đỉnh của tam giác trùng nhau, khi đó giao của nét gấp đi qua 1 cạnh của tam giác sẽ là trung điểm của cạnh đó

- Rồi từ các trung điểm vừa xác định được ta kẻ các đường trung tuyến của tam giác từ các đỉnh

- Nhận xét : Ta thấy 3 đường trung tuyến trong tam giác này đều sẽ đi qua 1 điểm

b)

- Ta nối dài đoạn AG sao cho AG cắt BC tại 1 điểm

- Ta thấy điểm giao nhau giữa AG và BC chính là trung điểm của BC

- Nên AG là trung tuyến của tam giác ABC

- Ta sẽ sử dụng số đo dựa trên các ô để xét tỉ số giữa các đoạn thẳng

${\displaystyle \frac{BG}{BE}}={\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{CG}{CF}}={\displaystyle \frac{4}{6}};{\displaystyle \frac{AG}{AD}}={\displaystyle \frac{4.4}{6.6}}$

- Ta thấy sau khi rút gọn các tỉ số ta có :

${\displaystyle \frac{BG}{BE}}={\displaystyle \frac{CG}{CF}}={\displaystyle \frac{AG}{AD}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Thực hành 2 trang 74, 75 Toán lớp 7: Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM.

Hãy tính các tỉ số:

a) ${\displaystyle \frac{GM}{AM}}$                   

b) ${\displaystyle \frac{GM}{AG}}$              

c) ${\displaystyle \frac{AG}{GM}}$

Phương pháp giải:

- Ta dựa vào định lí ba đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ${\displaystyle \frac{2}{3}}$độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy

Lời giải 

a) Vì G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM nên theo định lí 3 đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm ta có :

${\displaystyle \frac{AG}{AM}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{GM}{AM}}=1-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

b) Vì ${\displaystyle \frac{AG}{AM}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ và ${\displaystyle \frac{GM}{AM}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$(theo câu a)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{GM}{AG}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

c) Vì ${\displaystyle \frac{GM}{AG}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$(chứng minh b)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AG}{GM}}=2$

Vận dụng 2 trang 74, 75 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.

Phương pháp giải:

- Ta dựa vào định lí ba đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ${\displaystyle \frac{2}{3}}$độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy .

- Ta sẽ chứng minh AI = IJ = JD = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$AO = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$OD

Lời giải 

Vì I là trọng tâm tam giác ABC theo giả thiết nên ta có

$AI={\displaystyle \frac{2}{3}}AO=2IO$(định lí về trọng tâm trong tam giác)

Tương tự J là trọng tâm tam giác BCD nên ta có :

$DJ={\displaystyle \frac{2}{3}}OD=2OJ$ (định lí về trọng tâm trong tam giác)

Mà OA = OD (giả thiết)

$\Rightarrow AI=DJ={\displaystyle \frac{2}{3}}OA={\displaystyle \frac{2}{3}}OD=2OI=2OJ$

Mà OI = OJ do cùng $={\displaystyle \frac{1}{3}}OA={\displaystyle \frac{1}{3}}OD$(tính chất trọng tâm trong tam giác)

$\Rightarrow 2OI=2OJ=2{\displaystyle \frac{1}{3}}AO=2{\displaystyle \frac{1}{3}}OD=IJ$

$\Rightarrow AI=DJ=IJ={\displaystyle \frac{2}{3}}OA={\displaystyle \frac{2}{3}}OD$(điều phải chứng minh)

3. Bài tập

Bài 1 trang 75 Toán lớp 7: Quan sát Hình 8.

Tìm số thích hợp để ghi vào chỗ chấm trong các đẳng thức sau:

$\begin{array}{l}EG=...EM;GM=...EM;GM=...EG\\ FG=...GN;FN=...GN;FN=...FG\end{array}$

Lời giải

$\begin{array}{l}EG={\displaystyle \frac{2}{3}}EM;GM={\displaystyle \frac{1}{3}}EM;GM={\displaystyle \frac{1}{2}}EG\\ FG=2GN;FN=3GN;FN={\displaystyle \frac{3}{2}}FG\end{array}$

Bài 2 trang 75 Toán lớp 7: Quan sát Hình 9

a) Biết AM = 15 cm, tính AG

b) Biết GN = 6 cm, tính CN

Lời giải 

a) Theo đề bài ta có AM = 15 cm

Mà CN và AM là 2 trung tuyến của tam giác ABC

AM cắt CN tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow AG={\displaystyle \frac{2}{3}}AM$(định lí về trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow AG={\displaystyle \frac{2}{3}}15cm=10cm$

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow CG={\displaystyle \frac{2}{3}}CN$(theo tính chất của trung tuyến đi qua trọng tâm)

Mà $CG+GN=CN$ nên ta có $GN=CN-CG=CN-{\displaystyle \frac{2}{3}}CN={\displaystyle \frac{1}{3}}CN$

Theo giả thiết GN = 6cm ta có

$\Rightarrow CN=3GN=3.6cm=18cm$ 

Bài 3 trang 75 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh rằng AF = 2FI

Lời giải

a) Xét tam giác BGM và tam giác CEM có :

$\widehat{GMB}=\widehat{EMC}$(2 góc đối đỉnh)

GM = ME (do G đối xứng E qua M)

MB = MC (do M là trung điểm của BC)

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BGM=\mathrm{\Delta }CEM(c-g-c)$

$\Rightarrow \widehat{GBM}=\widehat{MCE}$(2 góc tương ứng bằng nhau)

Mà 2 góc trên ở vị trí so le trong nên BG⫽CE

b) Vì I là trung điểm BE nên AI sẽ là trung tuyến của tam giác ABE

Và BG cũng là trung tuyến của tam giác ABE do G là trung điểm AE

Vì BG cắt AI tại F nên F sẽ là trọng tâm của tam giác ABE

$\Rightarrow AF={\displaystyle \frac{2}{3}}AI$(định lí về trọng tâm tam giác)

Mà AI = AF + FI $\Rightarrow$ FI = AI – AF

$\Rightarrow FI=AI-{\displaystyle \frac{2}{3}}AI={\displaystyle \frac{1}{3}}AI$

$\Rightarrow 2FI=AF={\displaystyle \frac{2}{3}}AI$

$\Rightarrow$ AF = 2 FI

Bài 4 trang 75 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng BM = CN

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC

Lời giải 

a) Vì tam giác ABC cân tại A theo giả thiết. BM và CN là 2 đường trung tuyến nên M, N là 2 trung điểm của AC, AB.

Vì AB = AC (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{2}}={\displaystyle \frac{AC}{2}}=AN=AM$

Xét tam giác AMB và tam giác ANC ta có :

AM = AN (cmt)

AB = AC

Góc A chung

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AMB=\mathrm{\Delta }ANC$

$\Rightarrow BM=CN$ ( 2 cạnh tương ứng )

b) Vì BM và CN là các đường trung tuyến

Mà I là giao điểm của BM và CN

$\Rightarrow$ I là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow$ AI là đường trung tuyến của tam giác ABC hay AH đường là trung tuyến của tam giác ABC

$\Rightarrow$ H là trung điểm của BC

Bài 5 trang 76 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

Lời giải 

Gọi D là giao điểm của CN và BM

$\Rightarrow$ D là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow CD={\displaystyle \frac{2}{3}}CN=BD={\displaystyle \frac{2}{3}}BM$ ( do BM = CN )

$\Rightarrow$ tam giác DBC cân tại D do BD = CD

$\Rightarrow$ $\widehat{DBC}=\widehat{DCB}$(2 góc đáy trong tam giác cân)  (1)

Xét $\mathrm{\Delta }NDB$ và $\mathrm{\Delta }MDC$ có :

BD = CD

$\widehat{NDB}=\widehat{MDC}$ (2 góc đối đỉnh)

ND = DM (do cùng $={\displaystyle \frac{1}{3}}CN={\displaystyle \frac{1}{3}}BM$ (tính chất của trung trực đi qua trọng tâm tam giác ))

 $\Rightarrow \mathrm{\Delta }NDB=\mathrm{\Delta }MDC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{NBD}=\widehat{MCD}$(2 góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ do $\widehat{ABC}=\widehat{NBD}+\widehat{DBC}$ và $\widehat{ACB}=\widehat{MCD}+\widehat{DCB}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC$ cân tại A (do 2 góc bằng nhau)

Bài 6 trang 76 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F (Hình 10). Biết BE = 9 cm, tính độ dài đoạn thẳng DF.

Lời giải

Vì BE, CD là 2 trung tuyến của tam giác ABC

NÊn E, D lần lượt là trung tuyến của AB và AC

⇒AD=AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC

Xét tam giác ADC và tam giác AEB có :

AD = AE

Góc A chung

AB = AC (tam giác ABC cân tại A theo giả thiết)

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ADC=\mathrm{\Delta }AEB(c-g-c)$

$\Rightarrow BE=CD$(cạnh tương ứng)

Vì F là giao 2 trung tuyến nên F là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow CF=BF={\displaystyle \frac{2}{3}}BE={\displaystyle \frac{2}{3}}CD$ ( định lí về trung tuyến đi qua trọng tâm tam giác )

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{3}}BE={\displaystyle \frac{1}{3}}CD\Rightarrow DF=FE={\displaystyle \frac{1}{3}}.9cm=3cm$

$\Rightarrow$ DF = 3 cm