${\displaystyle \frac{a^2}{a+b}}+{\displaystyle \frac{b^2}{b+c}}+{\displaystyle \frac{c^2}{c+a}}={\displaystyle \frac{b^2}{a+b}}$$+{\displaystyle \frac{c^2}{b+c}}+{\displaystyle \frac{a^2}{c+a}}$

Phương pháp giải:

Ta chứng minh hiệu hai vế bằng $0$. 

Sử dụng hằng đẳng thức số 3: $A^2-B^2=\left(A+B\right)\left(A-B\right)$

Lời giải:

Xét hiệu hai vế:  

$\Rightarrow$ ${\displaystyle \frac{a^2}{a+b}}+{\displaystyle \frac{b^2}{b+c}}+{\displaystyle \frac{c^2}{c+a}}={\displaystyle \frac{b^2}{a+b}}$$+{\displaystyle \frac{c^2}{b+c}}+{\displaystyle \frac{a^2}{c+a}}$ 

Lưu ý:

Có thể giải bằng cách biến đổi từ vế trái sang vế phải như sau:

${\displaystyle \frac{a^2}{a+b}}+{\displaystyle \frac{b^2}{b+c}}+{\displaystyle \frac{c^2}{c+a}}$

$={\displaystyle \frac{a^2-b^2+b^2}{a+b}}+{\displaystyle \frac{b^2-c^2+c^2}{b+c}}$$+{\displaystyle \frac{c^2-a^2+a^2}{c+a}}$

$={\displaystyle \frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)+b^2}{a+b}}+{\displaystyle \frac{\left(b+c\right)\left(b-c\right)+c^2}{b+c}}$$+{\displaystyle \frac{\left(c+a\right)\left(c-a\right)+a^2}{c+a}}$

$=a-b+{\displaystyle \frac{b^2}{a+b}}+b-c$$+{\displaystyle \frac{c^2}{b+c}}+c-a+{\displaystyle \frac{a^2}{c+a}}$

= $\frac{b^2}{a + b} + \frac{c^2}{b + c} + \frac{a^2}{c + a}$

$M={\displaystyle \frac{10x^2-7x-5}{2x-3}}$ 

Thực hiện phép chia đa thức ta có: $M=5\mathrm{x}+4$$+{\displaystyle \frac{7}{2\mathrm{x}-3}}$

$x$ nguyên thì $5x+4$ nguyên. Do đó, để M có giá trị nguyên thì $2x-3$ phải là ước của $7$ 

$Ư(7)=\left\{\pm 1;\pm 7\right\}$ 

+) $2x-3=1\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn đk)

+) $2x-3=-1\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1$ (thỏa mãn đk)

+) $2x-3=7\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5$ (thỏa mãn đk)

+) $2x-3=-7\Rightarrow 2x=-4\Rightarrow x=-2$ (thỏa mãn đk)

Vậy các giá trị nguyên cần tìm là: $x\in \left\{-2;1;2;5\right\}$

Áp dụng bài toán: |A(x)| = B(x)

$A(x)=B(x)$ với $A(x)\ge 0$ 

hoặc $-A(x)=B(x)$ với $A(x)<0$

Áp dụng bài toán: |A(x)| = B(x)

$A(x)=B(x)$ với $A(x)\ge 0$

hoặc $-A(x)=B(x)$ với $A(x)<0$ 

$\begin{array}{l}\left|2x-3\right|=4\iff [\begin{array}{l}2x-3=4\\ 2x-3=-4\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}2x=7\\ 2x=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{7}{2}}\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left\{{\displaystyle \frac{7}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}$

$\begin{array}{l}\left|3x-1\right|-x=2\iff \left|3x-1\right|=x+2\\ \iff \{\begin{array}{l}x+2\ge 0\\ 3x-1=x+2hoặc3x-1=-\left(x+2\right)\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ge -2\\ 3x-x=1+2hoặc3x+x=1-2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x={\displaystyle \frac{3}{2}}hoặcx=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left\{{\displaystyle \frac{3}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right\}$

${\displaystyle \frac{x+2}{98}}+{\displaystyle \frac{x+4}{96}}={\displaystyle \frac{x+6}{94}}+{\displaystyle \frac{x+8}{92}}$

Vì: ${\displaystyle \frac{1}{98}+\frac{1}{96}-\frac{1}{94}-\frac{1}{92}\ne 0}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=-100.$ 

- Tìm điều kiện xác định.

- Qui đồng khử mẫu.

- Rút gọn rồi tìm nghiệm $x$.

- Đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận nghiệm.

b,

- Tìm điều kiện xác định.

- Qui đồng khử mẫu.

- Rút gọn rồi tìm nghiệm $x$.

- Đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận nghiệm.

Lời giải:

${\displaystyle \frac{1}{x+1}}-{\displaystyle \frac{5}{x-2}}={\displaystyle \frac{15}{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}x\ne -1,x\ne 2\\ x-2-5\left(x+1\right)=-15\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne -1,x\ne 2\\ x-2-5x-5=-15\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne -1,x\ne 2\\ -4x=-8\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne -1,x\ne 2\\ x=2\end{array}\\ \iff x\in \mathrm{\varnothing }\end{array}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm hay $S=\mathrm{\varnothing }$

${\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}-{\displaystyle \frac{x}{x-2}}={\displaystyle \frac{5x-2}{4-x^2}}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}x\ne \pm 2\\ \left(x-1\right)\left(x-2\right)-x\left(x+2\right)=2-5x\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne \pm 2\\ x^2-3x+2-x^2-2x-2+5x=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne \pm 2\\ 0=0\end{array}\\ \iff x\ne \pm 2\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là bất cứ số nào khác $\pm 2$ hay $S=\left\{x\in R|x\ne \pm 2\right\}$

- Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích.

- Tìm $x$

- Kết luận

- Tìm điều kiện xác định. 

- Qui đồng khử mẫu.

- Rút gọn rồi tìm nghiệm $x$.

- Đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận nghiệm.

$\begin{array}{l}3x^2+2x-1=0\\ \iff 2x^2+2x+x^2-1=0\\ \iff 2x\left(x+1\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\\ \iff \left(x+1\right)\left(3x-1\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}x+1=0\\ 3x-1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left\{-1;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right\}$

${\displaystyle \frac{x-3}{x-2}}+{\displaystyle \frac{x-2}{x-4}}=3{\displaystyle \frac{1}{5}}$ 

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ \left(x-3\right)\left(x-4\right)+{\left(x-2\right)}^2={\displaystyle \frac{16}{5}}\left(x-2\right)\left(x-4\right)\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 5\left(x-3\right)\left(x-4\right)+5{\left(x-2\right)}^2=16\left(x-2\right)\left(x-4\right)\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 5x^2-35x+60+5x^2-20x+20=16x^2-96x+128\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 6x^2-41x+48=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 6x^2-9x-32x+48=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 3x\left(2x-3\right)-16\left(2x-3\right)=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ \left(3x-16\right)\left(2x-3\right)=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 3x-16=0hoặc2x-3=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ x={\displaystyle \frac{16}{3}}hoặcx={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{16}{3}}\\ x={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ \left(x-3\right)\left(x-4\right)+{\left(x-2\right)}^2={\displaystyle \frac{16}{5}}\left(x-2\right)\left(x-4\right)\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 5\left(x-3\right)\left(x-4\right)+5{\left(x-2\right)}^2=16\left(x-2\right)\left(x-4\right)\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 5x^2-35x+60+5x^2-20x+20=16x^2-96x+128\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 6x^2-41x+48=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 6x^2-9x-32x+48=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 3x\left(2x-3\right)-16\left(2x-3\right)=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ \left(3x-16\right)\left(2x-3\right)=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ 3x-16=0hoặc2x-3=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2,x\ne 4\\ x={\displaystyle \frac{16}{3}}hoặcx={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{16}{3}}\\ x={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left\{{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{16}{3}}\right\}$ 

- Bước 1: Đặt số ngày rút bớt làm ẩn, biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn.

- Bước 2: Từ điều kiện của để bài lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

- Bước 3: Tìm ẩn.

- Bước 4: Kết luận.

Gọi $x$ (ngày) là thời gian thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được ($0<x<30$)

Số ngày sản xuất thực tế của xí nghiệp là $30-x$ (ngày)

Số sản phẩn đã sản xuất được là: $1500+255=1755$ (sản phẩm)

Số sản phẩm dự định sản xuất mỗi ngày là ${\displaystyle \frac{1500}{30}}=50$ (sản phẩm).

Số sản phẩm  thực tế sản xuất được mỗi ngày là:

${\displaystyle \frac{1755}{30-x}}$ (sản phẩm) 

Vì mỗi ngày vượt 15 sản phẩm so với dự định nên ta có phương trình :

${\displaystyle \frac{1755}{30-x}}-50=15$

Giải phương trình trên ta được: 

${\displaystyle \frac{1755}{30-x}}=65$

$\iff 65(30-x)=1755$

$\iff 30-x={\displaystyle \frac{1755}{65}}$ 

$\iff 30-x=27$

$\iff x=30-27$

$\iff x=3$

$x=3$ thỏa mãn điều kiện $0<x<30$

Vậy thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được $3$ ngày.

Đáp số: 3 ngày

$A=\left({\displaystyle \frac{x}{x^2-4}}+{\displaystyle \frac{2}{2-x}}+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}\right):$$\left(\left(x-2\right)+{\displaystyle \frac{10-x^2}{x+2}}\right)$

a) Rút gọn biểu thức $A$.

b) Tính giá trị của $A$ tại $x$, biết $\left|x\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}$ .

c) Tìm giá trị của $x$ để $A<0$. 

a) Tìm ĐKXĐ, tìm mẫu thức chung sau đó qui đồng và rút gọn biểu thức. 

b) $|x|={\displaystyle \frac{1}{2}}\iff [\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Thay giá trị tương ứng của x vào biểu thức đã được rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức đó.

c) Giải bất phương trình với vế trái là biểu thức $A$ vế phải là $0$

ĐKXĐ: $x\ne \pm 2$

a) $A=\left({\displaystyle \frac{x}{x^2-4}}+{\displaystyle \frac{2}{2-x}}+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}\right):$$\left(\left(x-2\right)+{\displaystyle \frac{10-x^2}{x+2}}\right)$

$\begin{array}{l}=\left[{\displaystyle \frac{x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}}-{\displaystyle \frac{2}{x-2}}+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}\right]:\left[\left(x-2\right)+{\displaystyle \frac{10-x^2}{x+2}}\right]\\ ={\displaystyle \frac{x-2\left(x+2\right)+x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}:{\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)+10-x^2}{x+2}}\\ ={\displaystyle \frac{x-2x-4+x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}:{\displaystyle \frac{x^2-4+10-x^2}{x+2}}\\ ={\displaystyle \frac{-6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}.{\displaystyle \frac{x+2}{6}}\\ ={\displaystyle \frac{-6.\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right).6}}\\ ={\displaystyle \frac{1}{2-x}}\end{array}$  

b) 

$|x|={\displaystyle \frac{1}{2}}\iff [\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

+) Tại $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (tmđk) thì $A={\displaystyle \frac{1}{2-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{4}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

+) Tại $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ (tmđk) thì $A={\displaystyle \frac{1}{2-\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}}={\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$$={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{4}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$$={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$

c) $A={\displaystyle \frac{1}{2-x}}<0$ $\iff 2-x<0$ $\iff x>2$ (tmđk)

Vậy $x>2$ thì $A<0$