Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Tam giác cân, Tam giác đều (50 bài tập minh họa) hay, chi tiết nhất, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hỗn số, từ đó học tốt môn Toán 7.

Phương pháp giải Tam giác cân, Tam giác đều (50 bài tập minh họa)

I. LÝ THUYẾT:

1. Tam giác cân:

a. Định nghĩa:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Trên hình, tam giác ABC cân ở A (AB = AC), AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy, $\widehat{B},\widehat{C}$ là các góc ở đáy, $\widehat{A}$ là góc ở đỉnh.

b. Tính chất:

- Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.

Tam giác ABC vuông cân tại A thì $\widehat{B}=\widehat{C}={45}^o$

2. Tam giác đều.

Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Tam giác ABC đều thì AB = AC = BC và $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}={60}^o$

Hệ quả:

- Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60°.

- Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

- Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60° thì tam giác đó là tam giác đều.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 3.1: Cách vẽ tam giác cân, vuông cân, tam giác đều.

1. Phương pháp giải:

Dựa vào các cách vẽ tam giác đã học và định nghĩa các tam giác cân, vuông cân, đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC cân tại C có AB = 6 cm, AC = BC = 5cm.

Giải: (Vẽ tương tự như cách vẽ tam giác thường biết độ dài ba cạnh)

Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm.

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính 5cm.

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại C.

- Nối CA, CB ta được tam giác ABC cần vẽ.

Ví dụ 2: Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A.

Giải:

- Vẽ góc vuông xAy

- Trên tia Ax lấy điểm B, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AB = AC

- Nối B với C

- Khi đó ta được tam giác ABC vuông cân tại A.

Ví dụ 3: Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 4 cm.

Giải:

- Vẽ đoạn thẳng BC = 4 cm

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 4 cm.

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 4 cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại A.

- Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ.

Dạng 3.2: Nhận biết một tam giác là tam giác cân, vuông cân, đều.

1. Phương pháp giải:

Những dấu hiệu nhận biết các tam giác cân, vuông cân, đều:

*Tam giác cân:

- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

*Tam giác vuông cân:

- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45o là tam giác vuông cân.

*Tam giác đều:

- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.

- Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Tìm các tam giác cân, vuông cân, đều trên hình vẽ sau:

Giải:

(a) Áp dụng định lý góc ngoài trong tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$ $\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-{50}^o-{65}^o={65}^o$

$\Delta ABC$ có $\widehat{B}=\widehat{C}={65}^o$

Do đó $\Delta ABC$ cân tại A.

(b) Ta có, $\Delta HKF$ vuông tại H có $\widehat{K}={45}^o$

Nên $\Delta HKF$ là tam giác vuông cân tại H  (1)

Vì $\widehat{DEF}=\widehat{HKF}={45}^o$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HK // DE

Vì $HK\perp HF$, HK // DE 

$\Rightarrow DE\perp DF$ (Tính chất từ vuông góc đến song song)

Ta có, $\Delta DEF$ vuông tại D có $\widehat{E}={45}^o$

Nên $\Delta DEF$ là tam giác vuông cân tại D (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta HKF$, $\Delta DEF$ là tam giác vuông cân.

(c) Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác MNP có:

$\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={180}^o$$\Rightarrow \widehat{M}={180}^o-\widehat{N}-\widehat{P}$

$\Rightarrow \widehat{M}={180}^o-{60}^o-{60}^o={60}^o$

Ta có, $\Delta MNP$ có $\widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{P}(={60}^o)$

Do đó $\Delta MNP$ là tam giác đều.

Dạng 3.3: Sử dụng định nghĩa, tính chất tam giác cân, vuông cân, đều để suy ra các đoạn thẳng, các góc bằng nhau.

1. Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa và tính chất của tam giác cân, vuông cân, đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A (BC < AB). Trên cạnh AB lấy D sao cho CD = CB.

a) Chứng minh: $\widehat{ACB}=\widehat{CDB}$.

b) Trên tia đối của tia CA lấy E sao cho CE = AD. Chứng minh BE = BA.

Giải:

a) $\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(1\right)$

Vì $\Delta BCD$ cân tại C (do CD = CB)  nên $\widehat{CDB}=\widehat{DBC}=\widehat{ABC}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{CDB}$

b) Ta có: $\widehat{ACB}+\widehat{BCE}={180}^o$

$\widehat{CDB}+\widehat{ADC}={180}^o$

Mà $\widehat{ACB}=\widehat{CDB}$ (câu a)

Do đó: $\widehat{ADC}=\widehat{BCE}$

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta ECB$ có:

CE = AD (gt)

$\widehat{ADC}=\widehat{BCE}$ (cmt)

CD = CB (gt)

Do đó: $\Delta ADC=\Delta ECB(c.g.c)$

$\Rightarrow BE=AC$ (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = AB (do tam giác ABC cân tại A)

Vậy BE = AB (đpcm).

Dạng 3.4: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc.

1. Phương pháp giải:

Dựa vào định lý tổng ba góc của một tam giác và mối quan hệ giữa các cạnh, các góc trong tam giác đó.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cân tại A và tam giác đều BCD (D và A nằm khác phía đối với BC). Tính số đo góc BDA.

Giải:

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân)

BD = CD ($\Delta BCD$ đều)

Cạnh AD chung

Do đó: $\Delta ABD=\Delta ACD(c.c.c)$

$\Rightarrow {\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$  (hai góc tương ứng)

Mặt khác, $\Delta BCD$ đều nên $\widehat{BDC}={60}^o={\widehat{D}}_1+{\widehat{D}}_2$

$\Rightarrow {\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2={30}^o$

Vậy $\widehat{BDA}={30}^o$.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Câu nào đúng, câu nào sai? ( Đánh dấu x vào câu lựa chọn)

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, có $\widehat{A}={50}^o$. Tính các góc còn lại của tam giác đó.

Bài 3: Số tam giác cân ở hình sau là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Bài 4: Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm E và F lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho BE = CF. Chứng minh $\Delta$AEF là tam giác cân.

Bài 5: Vẽ tam giác đều ABC có AB = AC = BC = 6cm

Bài 6: Tìm các tam giác cân trên hình vẽ sau:

Bài 7: Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại O. Biết OC = AB.

a) Chứng minh $\Delta AEB=\Delta OEC$.

b) Tính góc ACB.

Bài 8: Tìm số đo x trên mỗi hình sau:

Bài 9: Cho $\Delta ABC$ cân tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AC, điểm K thuộc cạnh AB sao cho AH = AK. Gọi O là giao điểm của BH và CK. Chứng minh $\Delta OBC$ và $\Delta OHK$ là các tam giác cân.

Bài 10: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC và BMD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, CB. Chứng minh: $△$MEF là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Bài 1:

Bài 2: $\widehat{B}=\widehat{C}={65}^o$

Bài 3: Đáp án: C

Tam giác ABC cân tại A do AB = AC

Tam giác DEF cân tại D do $\widehat{E}=\widehat{F}={64}^o$ (tính toán được)

Tam giác GIH không cân do $\widehat{G}={58}^o,\widehat{I}={60}^o,\widehat{H}={72}^o$

Bài 4: Dễ dàng chứng minh được AE = AF

$\Rightarrow \Delta AEF$ cân tại A.

Bài 5:

Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng BC = 6 cm.

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 6 cm.

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 6 cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại A.

- Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ.

Bài 6:

a) $\Delta ABD$ cân

b) $\Delta ABE,\Delta ACD$ cân

c) $\Delta ABC,\Delta ABD,\Delta BCD$ cân

Bài 7:

a) Xét $\Delta AEB$ và $\Delta OEC:$

$\widehat{AEB}=\widehat{BEC}={90}^o$

$AB=OC\left(gt\right)$

$\widehat{ABE}=\widehat{ECO}$ (vì cùng phụ với góc A)

Do đó: $\Delta AEB=\Delta OEC(g.c.g)$

b) Tam giác EBC vuông cân tại E: $\widehat{ACB}={45}^o$

Bài 8:

a) x = 22,5^o

b) x = 25^o

Bài 9:

*Tam giác ABC cân tại A $\Rightarrow$ AB =AC

Mà AH = AK $\Rightarrow$ BK = HC

Ta chứng minh được $\Delta BKC$= $\Delta CHB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{KCB}=\widehat{HBC}$

$\Rightarrow \Delta OBC$ cân tại O.

* Ta có: BH = CK, OB = OC

$\Rightarrow$ OH = OK.

$\Rightarrow \Delta OHK$cân tại O.

Bài 10:

$∆$AMD =$∆$DCMB (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{DAM}=\widehat{BAM}$, AD = CB, AE = CF

Có: $∆$MAE =$∆$MCF (c.g.c)

$\Rightarrow$ ME = MF, $\widehat{AME}=\widehat{CMF}$

$\Rightarrow \widehat{EMF}={60}^o$

Mà $\Delta MEF$ cân (do ME = MF)

$\Rightarrow \Delta MEF$ đều.

Xem thêm các dạng Toán 7 hay, chọn lọc khác:

Tổng ba góc của một tam giác và cách giải các dạng bài tập

Hai tam giác bằng nhau và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác – Toán lớp 7

Định lí Pi-ta-go và cách giải các dạng bài tập

Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông và cách giải

Công thức Tổng ba góc trong một tam giác chi tiết