Phương pháp giải Dãy số (HAY NHẤT 2024)

307

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Dãy số (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Dãy số (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa dãy số

- Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu: u  :  *  

n      u(n).

Dạng khai triển: u1; u2; u3 ;... ; un ;...

Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;... ;m} với m* được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là u1; u2; u3 ;... ; um , trong đó u1 là số hạng đầu và um là số hạng cuối. 

- Ba cách cho một dãy số:

+ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.

+ Cho dãy số bằng phương pháp mô tả.

+ Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.

b) Dãy số tăng, dãy số giảm 

- Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un+1>un với mọi n*.

- Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un+1<un với mọi n*.

c) Dãy số bị chặn

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho unM,n*.

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho unm,n*.

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho munM,n*.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số

Phương pháp giải:

Bài toán 1: Cho dãy số (un): un = f(n) (trong đó f(n) là một biểu thức của n). Hãy tìm số hạng uk.

→ Thay trực tiếp n = k vào uk để tìm.

Bài toán 2: Cho dãy số (un) cho bởi u1=aun+1=f(un) (với f(un) là một biểu thức của un). Hãy tìm số hạng uk.

→ Tính lần lượt u2 ; u3 ;... ; uk bằng cách thế u1 vào u2, thế u2 vào u3, …, thế uk-1 vào uk.

Bài toán 3: Cho dãy số (un) cho bởi u1=a,u2=bun+2=c.un+1+d.un+e. Hãy tìm số hạng uk.

→ Tính lần lượt u3 ; u4;... ; uk bằng cách thế u1; uvào u3; thế u2;uvào u4; … ; thế uk -2; uk-1 vào uk.

Bài toán 4: Cho dãy số (un) cho bởi u1=aun+1=fn,un. Trong đó f({n; un)}) là kí hiệu của biểu thức un + 1 tính theo un và n. Hãy tìm số hạng uk.

→ Tính lần lượt u2 ; u3 ;... ; uk bằng cách thế {1;u1} vào u2; thế {2;u2} vào u3; … ; thế {k-1;uk-1} vào uk.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi un=n2+3n+7n+1. Viết năm số hạng đầu của dãy.

Lời giải

Ta có năm số hạng đầu của dãy

u1=12+3.1+71+1=112u2=22+3.2+72+1=173u3=32+3.3+73+1=254u4=42+3.4+74+1=7u5=52+3.5+75+1=476

Vậy năm số hạng đầu của dãy là: 112;173;254;7;476.

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1=0un+1=nn+1un+1. Tìm số hạng u11.

A. u11=112.

B. u11 = 4.

C. u11=92.

D. u11 = 5.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

 u2=12(u1+1)=12u3=23(u2+1)=1u4=34(u3+1)=32u5=45(u4+1)=2u6=56(u5+1)=52u7=67(u6+1)=3u8=78(u7+1)=72u9=89(u8+1)=4u10=910(u9+1)=92u11=1011(u10+1)=5

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1=1;u2=2un+2=2un+1+3un+5. Tìm số hạng u8.

A. u8 = 3050.

B. u8 = 5003.

C. u8 = 3500.

D. u8 = 3005.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

u3 = 2u+ 3u+ 5 = 12           

u= 2u+ 3u+ 5 = 35            

u5 = 2u4 + 3u3 + 5 = 111

u6 = 2u+ 3u+ 5 = 332         

u= 2u6 + 3u5 + 5 = 1002       

u8 = 2u7 + 3u6 + 5 = 3005

Dạng 2: Xét tính tăng giảm của dãy số

Phương pháp giải   

Cách 1: Xét hiệu un+1 – un

- Nếu un+1un>0n* thì (un) là dãy số tăng.

- Nếu un+1un<0n* thì (un) là dãy số giảm.

Cách 2: Khi un>0n*, ta xét tỉ số un+1un

- Nếu un+1un>1 thì (un) là dãy số tăng.

- Nếu un+1un<1 thì (un) là dãy số giảm.

Cách 3: Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh un+1>unn* (hoặc un+1<unn*)

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

- Dãy số (un) có un = an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0

- Dãy số (un) có un = qn

+ Không tăng, không giảm khi q < 0

+ Giảm khi 0 < q < 1

+ Tăng khi q > 1

- Dãy số (un) có un=an+bcn+d với điều kiện  

+ Tăng khi ad – bc > 0

+ Giảm khi ad – bc < 0

- Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

- Nếu dãy số (un) tăng hoặc giảm thì dãy số (qn. un) (với q < 0) không tăng, không giảm.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau n*:

a) un = 3n + 6

b) un=n+5n+2

c) un=nn21

Lời giải

a) Ta có un=3n+6un+1=3n+1+6=3n+9

Xét hiệu 

un+1un=3n+93n+6=3>0n*

Vậy (un) là dãy số tăng.

b) Ta có un=n+5n+2un+1=n+1+5n+1+2=n+6n+3

Xét hiệu

un+1un=n+6n+3n+5n+2=n+6n+2n+5n+3n+2n+3

=3n+2n+3<0 (do n là số tự nhiên)

Vậy (un) là dãy số giảm.

c) Ta có un=nn21un+1=n+1n+121

un+1un=n+1n+121nn21=1n+1+n+1211n+n21<0

Vậy (un) là dãy số giảm.

Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau n*:

a) un=5nn2

b) un=2nn!

c) un=n2+n+1

Lời giải

a) Ta có un=5nn2>0n*un+1=5n+1n+12

Xét tỉ số un+1un=5n+1n+12.n25n=5n2n2+2n+1

=n2+2n+1+4n22n1n2+2n+1=1+2nn1+2n21n2+2n+1>1,n*

Vậy (un) là dãy số tăng.

b) un=2nn!>0n*un+1=2n+1n+1!

Ta có: 

un+1un=2n+1(n+1)!:2nn!=2n+1(n+1)!.n!2n=2n+1<1  n*

Vậy (un) là dãy số giảm.

c) un=n2+n+1

Ta có: un=n2+n+1>0  n*

un+1=n+12+n+1+1

un+1un=(n+1)2+(n+1)+1n2+n+1=n2+3n+3n2+n+1>1 n*

Vậy (un) là dãy số tăng.

Dạng 3: Xét tính bị chặn của hàm số

Phương pháp giải:

Cách 1: Dãy số (un) có un = f(n) là hàm số đơn giản.

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un=f(n)M,n* hoặc un=f(n)m,n*

Cách 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số (un) giảm thì bị chặn trên, dãy số (un) tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số (un) có un=qn   q1 bị chặn

Dãy số (un) có un=qn  q<1 không bị chặn

Dãy số (un) có un = qn với q > 1 bị chặn dưới

Dãy số (un) có un = an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a <0

Dãy số (un) có un = an2 + bn 8+ c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (un có un = amnm + am-1nm-1 +... + a1n + a0 bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn trên nếu am < 0

Dãy số (un) có un=PnQn trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P(n) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q(n)

Dãy số (un) có un=PnQn trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P(n) lớn hơn bậc của Q(n).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của dãy số sau (với n*):

a) un=4n+5n+1

b) un = 3n – 1

c) un=n3n2+1

Lời giải

a) un=4n+5n+1

Ta có un=4n+5n+1>0,n*

Mặt khác

un=4n+5n+1=4(n+1)+1n+1=4+1n+14+12=92un92,n*

Suy ra 0<un92,n*

Vậy dãy số (un) bị chặn

b) un = 3n - 1

Ta có: 

n13n33n12un2  n*

Vậy (un) bị chặn dưới; không bị chặn trên.

c) un=n3n2+1

Ta có un=n3n2+1>0,  n*

Vậy (un) bị chặn dưới, không bị chặn trên do bậc của tử cao hơn bậc mẫu.

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của dãy số sau:

a) u1=1un+1=12un1

b) un=12+122+132+...+1n2

Lời giải

a) u1=1un+1=12un1

Ta dự đoán dãy số này bị chặn (dùng máy Casio để tính một vài số hạng). Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp: 2un1,n*

Với n = 1 ta có 2u1=11 (đúng)    

Giả sử mệnh đề trên đúng với n=k1: 2uk1

Ta cần chứng minh mệnh đề trên đúng với n = k + 1

Ta có:

2uk1112uk12212uk1122uk+11

Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được 2un1,n*

Vậy (un) bị chặn.

b) un=12+122+132+...+1n2

Xét 1k2<1k1k=1k11k,k2

Suy ra

un<12+112+1213+1314+1516+...+1n11n

=321n<32

0<un<32,n*

Vậy (un) bị chặn

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho dãy số (un) biết un=1n+1. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. 12;13;14.

B. 1;12;13.

C. 12;14;16.

D. 1;13;15.

Câu 2. Cho dãy số (un) biết un=2n+1n+2. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

A. u1=1,u2=34,u3=75,u4=32,u5=117

B. u1=1,u2=54,u3=75,u4=32,u5=117

C. u1=1,u2=54,u3=85,u4=32,u5=117

D. u1=1,u2=54,u3=75,u4=72,u5=113

Câu 3. Cho dãy số (un) xác định bởi u1=7un+1=2un+3 khi đó u5 bằng:

A. 317

B. 157

C. 77

D. 112

Câu 4. Cho dãy số (un) xác định bởi u1=2un=2un1+n2(n2). Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng

A. 0

B. 93 

C. 9

D. 34

Câu 5. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=2,u2=3un+1=5un6un1;  n2.. Tìm số hạng u8.

A. u8 = - 1803

B. u8 = - 5793

C. u8 = - 18147

D. u8 = - 537

Câu 6. Cho dãy số (un) biết un=5n+2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Cả A, B, C đều sai

Câu 7. Cho dãy số (un) biết un=103n. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. un1=103n1

Câu 8. Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào giảm?

A. un=43n.

B. un = (- 1)n(5n - 1).

C. un = - 3n.

D. un=n+4.

Câu 9. Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào không tăng, không giảm?

A. un=n+1n.

B. un = 5n + 3n.         

C. un = - 3n.

D. un=3n.n2+1.

Câu 10. Cho dãy số (un) biết u1=3un+1=3un3+un. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm.

C. Dãy số không tăng, không giảm.

D. Có u10 = 2.

Câu 11. Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn?

A. un=n+1n.

B. un = n + 1.

C. un=n2n2+1.

D. un = n2 + n + 1.

Câu 12. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: un=11+n+n2

A. Tăng, bị chặn trên.

B. Tăng, bị chặn dưới.

C. Giảm, bị chặn.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 13. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: un=2nn!

A. Tăng, bị chặn trên.

B. Tăng, bị chặn dưới.

C. Giảm, bị chặn.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 14. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un=11.3+12.4+...+1n.(n+2)

A. Bị chặn.

B. Không bị chặn.

C. Bị chặn trên.

D. Bị chặn dưới.

Câu 15. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: un=1+122+132+...+1n2.

A. Dãy số tăng, bị chặn.

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới.

C. Dãy số giảm, bị chặn trên.

D. Cả A, B, C đều sai.   

Đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

A

B

B

D

A

A

B

C

D

B

C

C

C

A

A

 

4. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho dãy số (un). Khi đó số hạng thứ 5 của dãy un 

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

A. 10        B. 48        C. 16        D. 6

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có u2=u1, u3=2u2, u4=3u3, u5=4u4=48. Chọn B

Bài 2: Cho dãy số un. Khi đó số hạng u3n của dãy (un) là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: D

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 3: Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: A

Các dãy số n2; n; 3n dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn

nên các dãy Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn. Chọn A.

Bài 4: Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn trên?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: C

Các dãy số n2; 2n; n+1 là các dãy tăng đến vô hạn khi n tăng lên vô hạn nên chúng không bị chặn trên (có thể dùng chức năng TABLE của MTCT để kiểm tra). Chọn C.

Bài 5: Cho dãy số (un). Dãy số (un) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

A. 1/3        B. 1        C.1/2        D. 0

Lời giải:

Đáp án: B

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Mặt khác: un=5/7 > 1/2 > 0 nên suy ra dãy (un) bị chặn trên bởi số 1. Chọn B.

Bài 6: Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: D

Vì 2n; n là các dãy dương và tăng nên 1/2n ; 1/n là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và B.

Xét đáp án C:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chọn D.

Bài 7: Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: C

un=sin⁡n có thể dương hoặc âm phụ thuộc n nên đáp án A sai. Hoặc dễ thấy sin⁡n có dấu thay đổi trên ¥ nên dãy sin⁡n không tăng, không giảm.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

nên dãy đã cho tăng nên B sai.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

là dãy tăng nên suy ra un giảm.

Chọn C.

Bài 8: Cho dãy số zn = 1 + (4n – 3).2n

A. Dãy zn là dãy tăng

B. Dãy zn bị chặn dưới

C. Cả A và B đề sai

D. Cả A và B đều đúng

Lời giải:

Đáp án: B

Hướng dẫn giải. un = n2 – 4n + 7 = (n -2)2 + 3 ≥ 3

⇒ (un) bị chặn dưới bởi 3

(un) không bị chặn trên bởi vì n càng lớn thì un càng lớn

Đáp án là B

Bài 9: Cho dãy số un = n2 – 4n + 7. Kết luận nào đúng?

A. Dãy (un) bị chặn trên

B. Dãy (un) bị chặn dưới

C. Dãy (un) bị chặn

D. Các mệnh đề A,B,C đều sai

Lời giải:

Đáp án: D

Hướng dẫn giải. zn+1 = 1 + (4n+1).2n+1; zn = 1 + (4n-3).2n

⇒ zn+1-zn=2n (4n+5) > 0 ∀n ∈ N*

⇒ (zn) tăng ⇒ zn ≥ z1=3 ∀n ∈ N*

Đáp án là D

Bài 10: Cho các dãy số sau:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. (1) dãy đơn điệu tăng; (2) là dãy đơn điệu giảm; (3) là dãy đơn điệu tăng;(4) là dãy đơn điệu tăng

B. (1) dãy đơn điệu tăng; (2) là dãy đơn điệu giảm; (3) là dãy đơn điệu tăng;(4) là dãy không đơn điệu

C. (1) dãy đơn điệu tăng; (2) là dãy đơn điệu tăng; (3) là dãy không đơn điệu ;(4) là dãy không đơn điệu

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: C

Dễ dàng có được đáp án.chọn C

Bài 11: Cho dãy số (un). Khi đó khẳng định nào dưới đây đúng?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

A. un là dãy đơn điệu tăng

B. un là dãy đơn điệu giảm

C. un là dãy không đổi

D. đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: C

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 12: Cho dãy số (un). Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

A. un là dãy đơn điệu tăng

B. un là dãy đơn điệu giảm

C. un là dãy không đổi

D. đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: B

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 13: Xét dãy (un). Khi đó số α dương lớn nhất thoả mãn un ≥ α ∀n ≥ 1 là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

A. α =1

B. α =2

C. α =1/2

D. α =√2

Lời giải:

Đáp án: B

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 14: Xét dãy un với n là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 100, số α dương nhỏ nhất thoả mãn un ≤ α là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

A. α =10

B. α =10√2

C. α =11

D. α =20

Lời giải:

Đáp án: D

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 15: Cho các dãy số (un), (vn), (xn), (yn) lần lượt xác định bởi:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Trong các dãy số trên có bao nhiêu dãy bị chặn dưới

A. 1        B. 2        C. 3        D. 4

Lời giải:

Đáp án: D

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập

Cấp số nhân và cách giải các dạng bài tập

Công thức cấp số cộng

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

 

Giáo viên có nhu cu s hu file word vui lòliên h. Face: Trn Đình Cư. SĐT: 0834332133
Đánh giá

0

0 đánh giá