Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Các dạng bài tập về tiếp tuyến (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Các dạng bài tập về tiếp tuyến (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

- Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y =  f’(x₀).(x – x₀) + y₀

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y =  f’(x₀).(x – x₀) + f(x₀)

Trong đó:

M₀(x₀; y₀) gọi là tiếp điểm.

k = f'(x₀) là hệ số góc.

Chú ý:

- Nếu cho x₀ thì thế vào y = f(x) tìm y₀.  

- Nếu cho y0 thì thế vào y = f(x) tìm x₀.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³. Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

a) Biết tiếp điểm là M(1; 1).

b) Biết hoành độ tiếp điểm bằng 2.

c) Biết tung độ tiếp điểm bằng 5.

Lời giải

Đặt f(x) = x³

Khi đó: f'(x) = 3x²

a) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, ta có: k = f'(1) = 3.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 3(x – 1) + 1. Hay y = 3x – 2.

b) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm.

Hoành độ tiếp điểm x_M = 2 nên tung độ y_M = (x_M)³ = 8. Vậy M(2; 8).

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M suy ra k = f'(2) = 12

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 12(x – 2) + 8. Hay y = 12x – 16.

c) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm.

Tung độ tiếp điểm $y_M=5\Rightarrow {\left(x_M\right)}^3=5\Rightarrow x_M=\sqrt[3]{5}\Rightarrow M\left(\sqrt[3]{5};5\right)$

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M $\Rightarrow k=f^{\text{'}}\left(\sqrt[3]{5}\right)=3\sqrt[3]{25}.$

Phương trình tiếp tuyến tại M là:$y=3\sqrt[3]{25}\left(x-\sqrt[3]{5}\right)+5$.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết:

a) Tiếp điểm M có tung độ bằng 4.

b) Tiếp điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành.

c) Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Lời giải

Đặt $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x-1}$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(x-2\right)}^{\text{'}}\left(x-1\right)-\left(x-2\right){\left(x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^2}$$=\frac{\left(x-1\right)-\left(x-2\right)}{{\left(x-1\right)}^2}$$=\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$

a) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm.

Tiếp điểm có tung độ: $y_M=4\Rightarrow \frac{x_M-2}{x_M-1}=4\Rightarrow x_M=\frac{2}{3}\Rightarrow M\left(\frac{2}{3};4\right)$

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M$\Rightarrow k=f^{\text{'}}\left(\frac{2}{3}\right)=9.$

Phương trình tiếp tuyến tại M là: $y=9\left(x-\frac{2}{3}\right)+4\Rightarrow y=9x-2.$

b) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $y_M=\frac{x_M-2}{x_M-1}=0\Rightarrow x_M=2\Rightarrow M\left(2;0\right)$

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M $\Rightarrow k=f^{\text{'}}\left(2\right)=1.$

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = x – 2.

c) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục tung: $x_M=0\Rightarrow y_M=\frac{x_M-2}{x_M-1}=\frac{-2}{-1}=2\Rightarrow M\left(0;2\right)$

Gọi k là hệ số của tiếp tuyến tại M. Khi đó k = f'(0) = 1.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = (x – 0) + 2. Hay y = x + 2.

Dạng 2. Tiếp tuyến biết hệ số góc

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi M(x₀; f(x₀)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x₀) = k

Bước 2: Giải phương trình f'(x₀) = k với ẩn là x₀.

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x₀) + f(x₀).

 Chú ý:  

* Cho hai đường thẳng: d₁ : y = a₁x + b₁ và d₂ : y = a₂x + b₂, với a₁, a₂ lần lượt là hệ số góc của d₁ và d₂. Khi đó:

$d_1//d_2\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=a_2\\ b_1\ne b_2\end{array}\right.$

$d_1\perp d_2\iff a_1.a_2=-1$

* Hệ số góc của đường thẳng (d) y = ax + b là: $k_d=a=\tan \alpha$ với $\alpha$ là góc nằm bên trên trục hoành tạo bởi đường thẳng (d) và chiều dương của trục Ox.

Khi a > 0, ta có $k_{{}_d}=\tan \alpha =a$.

Khi a < 0, ta có $k_d=\tan \left({180}^0-\alpha \right)$. 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+1$ có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2.

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $\left(d\right):y=-\frac{1}{6}x+1$.

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d'): y = 2020.

Lời giải

Ta có y' = f'(x) = x² – x.

a) Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$$\in \left(C\right)$ mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2

$\Rightarrow f\text{'}\left(x_0\right)=2\iff x_0^2-x_0=2\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=2\\ x_0=-1\end{array}\right.$

* Với x₀ = 2 ta có $y_0=f\left(0\right)=\frac{1}{3}{\left(2\right)}^3-\frac{1}{2}{\left(2\right)}^2+1=\frac{5}{3}$ $\Rightarrow M_1\left(2;\frac{5}{3}\right)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M_1=\left(2;\frac{5}{3}\right)$ là $y=2(x-2)+\frac{5}{3}$ hay $y=2x-\frac{7}{3}$.

* Với x₀ = – 1 ta có $y_0=f\left(-1\right)=\frac{1}{6}$$\Rightarrow M_2\left(-1;\frac{1}{6}\right)$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M_2\left(-1;\frac{1}{6}\right)$ là $y=2(x+1)+\frac{1}{6}$ hay $y=2x+\frac{13}{6}$.

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến vuông góc với (d) $y=-\frac{1}{6}x+1$ nên $-\frac{1}{6}.k=-1\Rightarrow k=6$

Gọi M(x₀; y₀) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.

$\Rightarrow f\text{'}\left(x_0\right)=6\Rightarrow x_0^2-x_0=6\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=3\\ x_0=-2\end{array}\right.$ 

* Với x₀ = 3 ta có $y_0=f\left(3\right)=\frac{11}{2}$$\Rightarrow M_1\left(3;\frac{11}{2}\right)\in \left(C\right)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M_1\left(3;\frac{11}{2}\right)$ là $y=6\left(x-3\right)+\frac{11}{2}$ hay $y=6x-\frac{25}{2}$

* Với x₀ = - 2 ta có $y_0=f\left(-2\right)=-\frac{11}{3}$$\Rightarrow M_2\left(-2;-\frac{11}{3}\right)\in \left(C\right)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M_2=\left(-2;-\frac{11}{3}\right)$ là: $y=6\left(x+2\right)-\frac{11}{3}$ hay $y=6x+\frac{25}{3}$

c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc

$\Rightarrow k=0$

Gọi M(x₀; y₀) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0

$\Rightarrow f\text{'}\left(x_0\right)=0\iff x_0^2-x_0=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=0\\ x_0=1\end{array}\right.$ 

* Với x₀ = 0 ta có $y_0=f\left(0\right)=1\Rightarrow M_1\left(0;1\right)\in \left(C\right)$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₁(0; 1) là y = 1.

* Với x₀ = 1 ta có $y_0=f\left(1\right)=\frac{5}{6}\Rightarrow M_2\left(1;\frac{5}{6}\right)\in \left(C\right)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M_2\left(1;\frac{5}{6}\right)$ là $y=\frac{5}{6}$.

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{4x-3}{x-1}$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$ của (C) biết:

a) $\left(\Delta \right)$ tạo với Ox một góc bằng 45⁰

b)$\left(\Delta \right)$ song song với đường thẳng (d): 4x + y – 5 = 0.

Lời giải

TXĐ: $D=R\backslash \left\{-1\right\}$.

Ta có: $y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)=\frac{4\left(x-1\right)-\left(4x-3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$.

a) Gọi $M\left(x_0;y_0\right)\in \left(C\right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$.

Tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$ có hệ số góc là $k=f\left(x_0\right)=-\frac{1}{{\left(x_0-1\right)}^2}<0,\forall x_0\ne 1$

Mà $\left(\Delta ;\text{Ox}\right)={45}^0\Rightarrow k=\tan \left({180}^0-{45}^0\right)=\tan \left({135}^0\right)=-1$

$\iff -\frac{1}{{\left(x_0-1\right)}^2}=-1$$\iff {\left(x_0-1\right)}^2=1$

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0-1=1\\ x_0-1=-1\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=2\\ x_0=0\end{array}\right.\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(TM)}$

* Với x₀ = 2 $\Rightarrow y_0=f\left(2\right)=\frac{4.2-3}{2-1}=5\Rightarrow M_1\left(2;5\right)$

Phương trình tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$tại điểm M₁(2; 5) là: $\left(\Delta \right):y=-1.\left(x-2\right)+5\iff y=-x+7$ 

* Với x₀ = 0 $\Rightarrow y_0=f\left(0\right)=\frac{4.0-3}{0-1}=3\Rightarrow M_2\left(0;3\right)$

Phương trình tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$ tại điểm M₂(0; 2) là: $\left(\Delta \right):y=-1.\left(x-0\right)+3\iff y=-x+3$.

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$.

$\left(d\right):4x+y-5=0\Rightarrow y=-4x+5$

Do tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$song song với đt $\left(d\right)$ $\Rightarrow k=-4$

$\Rightarrow -\frac{1}{{\left(x_0-1\right)}^2}=-4$$\iff {\left(x_0-1\right)}^2=4$$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0-1=2\\ x_0-1=-2\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=3\\ x_0=-1\end{array}\right.$

* Với x₀ = 3 ta có $y_0=f\left(3\right)=\frac{4.3-3}{4-1}=3\Rightarrow M_1\left(3;3\right)$.

Phương trình tiếp tuyến $\left(\Delta \right):y=-4.\left(x-3\right)+3\iff y=-4x+15$

* Với x₀ = – 1 ta có $y_0=f\left(-1\right)=\frac{4.\left(-1\right)-3}{\left(-1\right)-1}=\frac{7}{2}\Rightarrow M_2\left(-1;\frac{7}{2}\right)$

Phương trình tiếp tuyến $\left(\Delta \right)$$y=-4\left(x+1\right)+\frac{7}{2}\iff y=-4x-\frac{1}{2}$. 

Dạng 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là M(x₀; f(x₀). Tính y' = f'(x).

Hệ số góc của tiếp tuyến d là k = f'(x₀).

Phương trình đường thẳng d: y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

Bước 2: Do đường thẳng d đi qua điểm A(x_A; y_A)

Nên y_A = f'(x₀)(x_A – x₀) + f(x₀). Phương trình đưa về ẩn x₀ . Giải phương trình tìm x₀.

Bước 3: Với x₀ tìm được, quay lại dạng 2 .Từ đó viết phương trình d

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = 4x³ – 6x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M(– 1; – 9).

Lời giải

Gọi $A\left(x_0;4x_0^3-6x_0^2+1\right)$ là tiếp điểm của của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

f'(x) = 12x² – 12x.

Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là $d:y=\left(12x_0^2-12x_0\right)\left(x-x_0\right)+4x_0^3-6x_0^2+1.$

Vì $M\in d$ nên: $-9=\left(12x_0^2-12x_0\right)\left(-1-x_0\right)+4x_0^3-6x_0^2+1.$

$\iff -8x_0^3-6x_0^2+12x_0+10=0$ $\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=\frac{5}{4}\\ x_0=-1\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left[\begin{array}{l}A\left(\frac{5}{4};\frac{-9}{16}\right)\\ A\left(-1;-9\right)\end{array}\right..$

Với $A\left(\frac{5}{4};\frac{-9}{16}\right)$, ta có phương trình tiếp tuyến là:$y=\frac{15}{4}x-\frac{21}{16}.$

Với $A\left(-1;-9\right)$, ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 24x + 15.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x+2}{2x+3}$ có đồ thị (C). Giả sử đường thẳng (d): y = kx + m là tiếp tuyến của (C), biết rằng (d) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B và tam giác OAB cân tại O. Viết phương trình đường thẳng (d).

Lời giải

$TXĐ:D=R\backslash \left\{-\frac{3}{2}\right\}$ 

Ta có $y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(2x+3\right)-2\left(x+2\right)}{{\left(2x+3\right)}^2}=-\frac{1}{{\left(2x+3\right)}^2}$.

Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) nên (d) có hệ số góc là $k=-\frac{1}{{\left(2x_0+3\right)}^2}$.

Tiếp tiếp (d): y = kx + m cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B nên (d) không đi qua gốc tọa độ $\Rightarrow m\ne 0,k\ne 0.$

Do $A\in \text{Ox}\Rightarrow \text{A}\left(-\frac{m}{k};0\right);B\in Oy\Rightarrow B\left(0;m\right)$

Do tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O nên $OA=OB\iff \left|\frac{m}{k}\right|=\left|m\right|\iff m^2\left(\frac{1}{k^2}-1\right)=0$

Do $m\ne 0\Rightarrow \frac{1}{k^2}-1=0\iff \left[\begin{array}{l}k=-1\\ k=1\end{array}\right.$

Mà do (d) có hệ số góc $k=-\frac{1}{{\left(2x_0+3\right)}^2}<0\Rightarrow k=-1$

$\Rightarrow -\frac{1}{{\left(2x_0+3\right)}^2}=-1$$\iff {\left(2x_0+3\right)}^2=1$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x_0+3=1\\ 2x_0+3=-1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=-1\Rightarrow y_0=1\\ x_0=-2\Rightarrow y_0=0\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{M}_1\left(-1;1\right)\\ M_2\left(-2;0\right)\end{array}\right.$

* Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₁(–1; 1) là $\left(d\right):y=-\left(x+1\right)+1\iff y=-x$ (không thỏa mãn).

* Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₂(– 2; 0) là $\left(d\right):y=-\left(x+2\right)+0\iff y=-x-2$

Vậy phương trình đường thẳng d thỏa mãn là: y = – x – 2.

3. Bài tập vận dụng 

Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{2x-4}{x-3}$ có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y = 2x – 4.                                         

B. y = 3x + 1.           

C. y = – 2x + 4.                                      

D. y = 2x.

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x³ – 2x² + 3x tại điểm có hoành độ x₀ = – 1 là:

A. y = 10x + 4.                                       

B. y = 10x – 5.         

C. y = 2x – 4.                                         

D. y = 2x – 5.

Câu 3. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng

A. – 3.                  

B. 3.                         

C. 4.                         

D. 0.

Câu 4. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tan x tại điểm có hoành độ $x_0=\frac{\pi }{4}$ là

A. $\frac{1}{2}.$                     

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$                     

C. 1.                         

D. 2.

Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x⁴ + 2x² – 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:

A. y = 8x – 6, y = – 8x – 6.                   

B. y = 8x – 6, y = – 8x + 6.

C. y = 8x – 8, y = – 8x + 8.                   

D. y = 40x – 57.

Câu 6. Trên đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{x-1}$ có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:

A. (2;1).                

B. $\left(4;\frac{1}{3}\right).$                  

C. $\left(-\frac{3}{4};-\frac{4}{7}\right).$            

D. $\left(\frac{3}{4};-4\right).$

Câu 7. Tiếp tuyến của paraboly = 4 – x² tại điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là:

A. $\frac{25}{2}$.                  

B. $\frac{5}{4}$.                        

C. $\frac{5}{2}$.                       

D. $\frac{25}{4}$.

Câu 8. Cho hàm số y = x² – 6x + 5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là:

A. x = – 3.            

B. y = – 4.                

C. y = 4.                   

D. x = 3.

Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x^3}{3}+3x^2-2$ có hệ số góc k = – 9, có phương trình là:

A. y – 16 = – 9(x + 3).                           

B. y = – 9(x + 3).  

C. y – 16 = – 9(x – 3).                           

D. y + 16 = – 9(x + 3).

Câu 10. Cho hàm số $y=2-\frac{4}{x}$ có đồ thị (H). Đường thẳng $∆$ vuông góc với đường thẳng d: y = – x + 2 và tiếp xúc với (H) thì phương trình của $∆$là

A. y = x + 4.                                           

B. $\left[\begin{array}{l}y=x-2\\ y=x+4\end{array}\right.$.           

C. $\left[\begin{array}{l}y=x-2\\ y=x+6\end{array}\right.$.                                         

D. Không tồn tại.

Câu 11. Cho hàm số y = -x³ + 3x² – 2 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = – 9x – 7 là:

A. 1.                     

B. 3.                         

C. 4.                         

D. 2.

Câu 12. Cho hàm số y = x³ – 2x² + 2x có đồ thị (C). Gọi x₁, x₂ là hoành độ các điểm M, N trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = – x + 2017. Khi đó x₁ + x₂ bằng:

A. $\frac{4}{3}$.                   

B. $\frac{-4}{3}$.                     

C. $\frac{1}{3}$.                       

D. -1.

Câu 13. Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(– 1; 0) là:

A. $y=\frac{3}{4}x$.             

B. $y=\frac{3}{4}\left(x+1\right)$.         

C. y = 3(x + 1).         

D. y = 3x + 1.

Câu 14. Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x⁴ – 2x² + 2

A. 2.                      

B. 3.                          

C. 0.                          

D. 1.

Câu 15. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{4}-x+1$, có đồ thị (C). Từ điểm M(2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt có phương trình:

A. y = – x + 1 và y = x – 3.                   

B. y = 2x – 5 và y = – 2x + 3.

C. y = – x – 1 và y = – x + 3.                

D. y = x + 1 và y = – x – 3.

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	A	A	D	A	D	D	B	A	C	D	A	B	B	A

4. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho đồ thị (H):  và điểm A ∈ (H) có tung độ y = 4. Hãy lập phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm A.

A. y = x – 2

B. y = -3x – 11

C. y = 3x + 11

D. y = -3x + 10

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn đáp án D.

Tập xác định: D = R\{1}

Đạo hàm: y’ = (-3)/(x-1)²

Tung độ của tiếp điểm là y = 4 nên 4 = [(x+2)/(x-1)] ⇔ x = 2

Tại M(2; 4), phương trình tiếp tuyến là y = -3x + 10

Bài 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có phương trình là:

A. y = x – 1

B. y = x + 1

C. y = x

D. y = -x

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Ta có:

Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x = 0 ⇒ y = -1

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k = y’(0) = 1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y = x – 1

Bài 3: Cho đường cong (C):  và điểm A ∈ (C) có hoành độ x = 3. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A.

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Ta có:

Tại điểm A ∈ (C) có hoành độ: x = 3 ⇒ y = 7/2

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = y’(3) = 3/4

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y = (3/4)x + 5/4

Bài 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/√(2x) tại điểm A(1/2; 1) có phương trình là:

A. 2x + 2y = -3

B. 2x – 2y = -1

C. 2x + 2y = 3

D. 2x – 2y = 1

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C

Ta có:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = y'(1/2) = -1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : 2x + 2y = 3

Bài 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x³-2x²-2 tại điểm có hoành độ x = -2 có phương trình là:

A. y = 4x – 8.

B. y = 20x + 22.

C. y = 20x – 22.

D. y = 20x – 16.

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B.

Ta có: f'(x) = 3x² - 4x. Tại điểm A có hoành độ

x₀ = -2 ⇒ y₀ = f(x₀) = -18

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = f'(-2) = 20

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là :

y = k(x-x₀) + y₀ ⇔ y = 20x + 22

Bài 6: Cho hàm số y = x³-3x+1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với trục Oy.

A. y = 2, y = -1

B. y = 3, y = -1

C. y = 3, y = -2

D. x = 3, x = -1

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B.

Ta có: y’= 3x² - 3. Gọi M(x₀; y₀) là tiếp điểm

Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: y’(x₀) = 0

Hay x₀ = ±1. Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 3, y = -1

Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2x⁴-4x²+1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 48x – 1

A. y = 48x – 9

B. y = 48x – 7

C. y = 48x – 10

D. y = 48x – 79

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D.

Ta có: y’ = 8x³ – 8x

Gọi M(x₀; y₀) là tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 48x - 1

Nên ta có: y'(x₀) = 48 ⇔ x₀³ - x₀ - 6 = 0 ⇔ x₀ = 2

Suy ra y₀ = 17. Phương trình tiếp tuyến là:

y = 48(x – 2) + 17 = 48x - 79

Bài 8: Cho hàm số y = x⁴+x²+1    (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thng y = 6x – 1

A. y = 6x – 2

B. y = 6x – 7

C. y = 6x – 8

D. y = 6x – 3

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D.

Ta có: y’ = 4x³ + 2x. Gọi M(x₀; y₀) là tiếp điểm

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x - 1 nên ta có: y'(x₀) = 6 ⇔ 4x₀³ + 2x₀ - 6 = 0 ⇔ x₀ = 1 ⇒ y₀ = 3

Phương trình tiếp tuyến: y = 6x - 3

Bài 9: Cho hàm số  Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -4x + 1.

 

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Hàm số xác định với mọi x ≠ 1. Ta có

Gọi M(x₀; y₀) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d = - 4x + 1 nên ta có:

+ x₀ = 0 ⇒ y₀ = 2 ⇒ Δ: y = -4x + 2

+ x₀ = 2 ⇒ y₀ = 6 ⇒ Δ: y = -4x + 14

Bài 10: Cho hàm số  Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Hàm số xác định với mọi x ≠ 1. Ta có:

Gọi M(x₀; y₀) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác y = ±x, do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng ±1 hay y' = ±1. Mà y' < 0, ∀x ≠ 1 nên ta có:

Bài 11: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C):  biết d cách đều 2 điểm A(2;4) và B(-4; -2)

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Gọi M(x₀; y₀(x₀)), x₀ ≠ 1, là tọa độ tiếp điểm của d và (C)

Khi đó d có hệ số góc y’(x₀) = 1/(x₀+1)² và có phương trình là :

Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm I(-1;1) của AB hoặc cùng phương với AB.

TH1: d đi qua trung điểm I(-1;1), thì ta luôn có:

phương trình này có nghiệm x_o = 1

Với x₀ = 1 ta có phương trình tiếp tuyến d: y = (1/4)x + 5/4

TH2: d cùng phương với AB, tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó

Với x₀ = -2 ta có phương trình tiếp tuyến d: y = x + 5

Với x₀ = 0 ta có phương trình tiếp tuyến d: y = x + 1

Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = (1/4)x + 5/4, y = x + 5, y = x + 1

Bài 12: Tìm m ∈ R để từ điểm M(1; 2) kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (Cm): y = x³-2x²+(m-1)x+2m.

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Gọi N(x₀; y₀) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến (d) của A tại N là:

y = (3x₀²-4x₀+m-1)(x-x₀)+x₀³-2x₀²+(m-1)x₀+2m

M ∈ (d)⇔ 2x₀³ + 5x₀² - 4x₀ = 3-3m    (*)

Dễ thấy (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y = 3 – 3m và f(x₀) = 2x₀³ + 5x₀² - 4x₀

Xét hàm số f(x₀) = 2x₀³ + 5x₀²-4x₀ có f’(x₀) = 6x₀² + 10x₀-4

f’(x₀) = 0 ⇔ x₀ = -2 hoặc x₀ = 1/3

Lập bảng biến thiên, suy ra m = 100/81, m = -3

Bài 13: Cho hàm số y = 2x⁴-4x²-1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; -3).

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Ta có y’ = 8x³ – 8x

Gọi M(x₀; y₀). Tiếp tuyến Δ tại M có phương trình:

y = (8x₀³-8x₀)(x-x₀) + 2x₀⁴-4x₀²-1

Vì tiếp tuyến Δ đi qua A(1;-3) nên ta có

-3 = (8x₀³-8x₀)(1-x₀ )+ 2x₀⁴-4x₀²-1

⇔ 3x₀⁴-4x₀³-2x₀²+4x₀-1 = 0 ⇔ (x₀-1)²(x₀+1)(3x₀-1) = 0

x₀ = ±1 ⇒ Δ: y = -3

x₀ = 1/3 ⇒ Δ: y = (-64/27)x - 51/81

Bài 14: Cho hàm số y = 2x⁴-4x²-1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt.

A. Δ: y = -3            B. Δ: y = 4            C. Δ: y = 3            D. Δ: y = -4

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Ta có y’ = 8x³ – 8x

Gọi M(x₀; y₀). Tiếp tuyến Δ tại M có phương trình:

y = (8x₀³ - 8x₀)(x-x₀)+ 2x₀⁴-4x₀²-1. Giả sử Δ tiếp xúc với (C) tại điểm thứ hai N(n; 2n⁴-4n²-1)

Suy ra Δ: y = (8n³ – 8n)(x-n) + 2n⁴ – 4n² - 1

Nên ta có:

Vậy Δ: y = -3

Bài 15: Cho (C) là đồ thị của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ).

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B

Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên nó chỉ có thể vuông cân tại O, khi đó góc giữa tiếp tuyến (D) và trục Ox là 45°,suy ra hệ số góc của (D) là k_D = ±1

Trường hợp k_D = 1,khi đó phương trình (D) : y = x + a. (a ≠ 0)

(D) tiếp xúc (C) ⇔  có nghiệm.

(4)⇔ x²-2x+1 = 0 ⇒ x = 1

Thay x = 1 vaò phương trình (3) ta được a = 4/3

Vậy trong trường hợp này,phương trình (D): y = x + 4/3

Trường hợp k_D = -1, khi đó phương trình (D): y = - x + a

(D) tiếp xúc với (C) ⇔  có nghiệm.

(6)⇔ x²-2x+3 = 0. Phương trình này vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm,suy ra (D) : y = - x + a không tiếp xúc với (C)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x + 4/3.

Bài 16: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C) và điểm Mo(x_o; f(x_o)) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M_o là:

A. y = f '(x)(x-x_o)+y_o

B. y = f ' (x_o)(x-x_o)

C. y - y_o = f ' (x_o)(x-x_o)

D. y - y_o = f ' (x_o)x

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C

Bài 17: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng :

A. 9            B. 1/9            C. -9            D. -1/9

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Tập xác định:D = R\{1}

Đạo hàm: 

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A(2/3; 0)

Hệ số góc của tiếp tuyến là y’(2/3) = 9

Bài 18: Cho hàm số  tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm (-6; 5) là

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B.

Ta có: y' = (-4)/(x-2)². Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1

Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6)+2 = (-1/4)x + 7/2

Bài 19: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x + 1)²(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là

A. y = - 8x + 4

B. y = 9x + 18

C. y = -4x + 4

D. y = 9x – 18

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D.

Gọi M(x_o; y_o) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có x_o = 2 ⇒ y_o = 0

y = (x + 1)²(x – 2) = x³ – 3x – 3 nên y’ = 3x² – 3

Từ đó suy ra y’(2) = 9.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9(x – 2) = 9x – 18

Bài 20: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung bằng :

A. -2            B. 2            C. 1            D. -1

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B

Tập xác định: D = R\{-1}

Đạo hàm: 

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có x_o = 0 ⇒ y’(0) = 2

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Phép tịnh tiến và cách giải các dạng bài tập

Phép đối xứng tâm và cách giải các dạng bài tập

Phép đối xứng trục và cách giải các dạng bài tập

Phép quay và cách giải các dạng bài tập

Phép vị tự và cách giải các dạng bài tập