Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Phương trình mặt phẳng trung trực (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần ý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách giải các dạng bài tập Phương trình mặt phẳng trung trực từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.
Nội dung bài viết
Phương trình giải Phương trình mặt phẳng trung trực (HAY NHẤT 2024)
1. Mặt phẳng trung trực là gì?
Trước tiên chúng ta cùng ôn lại khái niệm mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng (đã học từ lớp 11).
Trong không gian cho đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của AB. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với đoạn thẳng AB. Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Nếu phát biểu dưới dạng quỹ tích thì mặt phẳng trung trực là quỹ tích các điểm cách đều hai điểm cho trước.
Như vậy chúng ta có thể thấy khái niệm mặt phẳng trung trực cũng tương tự như khái niệm đường trung trực của đoạn thẳng trong mặt phẳng.
2. Cách viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
Từ định nghĩa nêu trên ta có thể thấy rằng nếu (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Thì véc tơ AB chính là 1 véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Còn trung điểm I của đoạn AB chính là 1 điểm nằm trên mặt phẳng (P).
Do đó cách viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB như sau:
Bước 1: Tính véc tơ AB là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). (Cách tính véc tơ AB là lấy tọa độ điểm cuối B trừ đi tọa độ điểm đầu A tương ứng).
Bước 2: Tìm tọa độ điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. (Cách tìm tọa độ trung điểm là lấy tọa độ điểm A cộng tọa độ điểm B tương ứng, xong chia cho 2)
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I nhận véc tơ AB là véc tơ pháp tuyến.
Ví dụ minh họa (Tự luận):
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và điểm B(3;6;1). Biết mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy viết phương trình tổng quát của (P).
Lời giải:
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là (2;4;2).
Véc tơ AB có tọa độ (2;4;−2) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Do đó phương trình mặt phẳng (P) là:
2(x−2)+4(y−4)−2(z−2)=0
⇔2x+4y−2z−16=0
⇔x+2y−z−8=0.
Ví dụ minh họa (Trắc nghiệm):
Lời giải:
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là (0;4;1).
Véc tơ AB có tọa độ (2;4;−4) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình là:
2(x−0)+4(y−4)−4(z−1)=0
⇔x+2y−2z−6=0
⇔−x−2y+2z+6=0.
Chọn đáp án A.
3. Cách nhẩm nhanh phương trình mặt phẳng trung trực
Thông thường khi tính toán viết ptmp trung trực ta thường lược bớt các bước biến đổi để cho ra kết quả ngay. Ta xét lại ví dụ bên trên:
“Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và điểm B(3;6;1). Biết mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy viết phương trình tổng quát của (P).”
Ta sẽ tiến hành nhẩm véc tơ AB=(2;4;-2). Khi đó ta sẽ viết được “phần đầu” của phương trình là:
2x+4y-2z+….=0
Đến đây ta nhẩm tọa độ trung điểm AB là I(2;4;2) ta thay luôn vào “phần đầu” phương trình vừa tìm được. Bài nào phân số hay số to ta có thể dùng chức năng CALC của máy tính để tính.
Ta được: 2.2+4.4-2.2=16. Ta lấy “phần đầu” trừ đi 16 (kết quả vừa nhẩm được) là được kết quả:
2x+4y-2z-16=0
4. Bài tập vận dụng
Bài 1:
Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;−1;2)A(1;−1;2) và B(3;3;0)B(3;3;0). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng ABAB có phương trình là
A. x+y−z−2=0x+y−z−2=0. B. x+y−z+2=0x+y−z+2=0. C. x+2y−z−3=0x+2y−z−3=0. D. x+2y−z+3=0x+2y−z+3=0.
Lời giải
Ta có →AB=2(1;2;−1)−−→AB=2(1;2;−1).
Gọi II là trung điểm của AB⇒I(2;1;1)AB⇒I(2;1;1).
+ Mặt phẳng trung trực(α)(α) của đoạn thẳng ABAB đi qua IIvà nhận →n=12→AB=(1;2;−1)→n=12−−→AB=(1;2;−1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
x−2+2(y−1)−(z−1)=0⇔x+2y−z−3=0x−2+2(y−1)−(z−1)=0⇔x+2y−z−3=0.
Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng ABAB là x+2y−z−3=0x+2y−z−3=0.
Đáp án: C.
Bài 2: Trong không gian OxyzOxyz, cho A(−1;−1;1)A(−1;−1;1), B(3;1;1)B(3;1;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn ABAB là.
Lời giải
Gọi II là trung điểm của ABAB nên I(1;0;1)I(1;0;1).
Mặt phẳng trung trực của đoạn ABABcó vtpt là →n→n=→AB=−−→AB=(4;2;0)=(4;2;0)=2(2;1;0)=2(2;1;0).
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2(x−1)+1(y−0)=02(x−1)+1(y−0)=0⇔2x+y−2=0⇔2x+y−2=0.
Bài 3:
Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;3;−4)A(1;3;−4) và B(−1;2;2)B(−1;2;2). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (α)(α) của đoạn thẳngABAB.
A. (α):4x+2y+12z+7=0(α):4x+2y+12z+7=0. B. (α):4x−2y+12z+17=0(α):4x−2y+12z+17=0.
C. (α):4x+2y−12z−17=0(α):4x+2y−12z−17=0. D. (α):4x−2y−12z−7=0(α):4x−2y−12z−7=0.
Lời giải
Gọi I(0;52;−1)I(0;52;−1) là trung điểm của ABAB; →AB=(−2;−1;6)−−→AB=(−2;−1;6).
Mặt phẳng (α)(α) qua I(0;52;−1)I(0;52;−1) và có VTPT →n=(−2;−1;6)→n=(−2;−1;6) nên có PT:(α):−2(x)−(y−52)+6(z+1)=0⇔4x+2y−12z−17=0(α):−2(x)−(y−52)+6(z+1)=0⇔4x+2y−12z−17=0.
Đáp án: C
Bài 4:
Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;6;−7)A(1;6;−7) và B(3;2;1)B(3;2;1). Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn ABAB là.
Lời giải
Mặt phẳng trung trực đoạn ABAB đi qua trung điểm I(2;4;−3)I(2;4;−3) của đoạn ABAB và nhân →AB=(2;−4;8)−−→AB=(2;−4;8) làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
2(x−2)−4(y−4)+8(z+3)=02(x−2)−4(y−4)+8(z+3)=0⇔x−2y+4z+18=0⇔x−2y+4z+18=0
Trong không gian với hệ tọa độOxyzOxyz, cho điểm A(2;4;1);B(−1;1;3)A(2;4;1);B(−1;1;3) và mặt phẳng (P):x−3y+2z−5=0. Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng ax+by+cz−11=0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a+b+c=5. B. a+b+c=15. C. a+b+c=−5. D. a+b+c=−15.
Lời giải
Vì (Q) vuông góc với (P) nên (Q) nhận vtpt →n=(1;−3;2)của (P)làm vtcp
Mặt khác (Q)đi qua A và B nên (Q)nhận →AB=(−3;−3;2) làm vtcp
(Q) nhận →nQ=[→n,→AB]=(0;8;12) làm vtpt
Vậy phương trình mặt phẳng (Q):0(x+1)+8(y−1)+12(z−3)=0, hay (Q):2y+3z−11=0
Vậy a+b+c=5.
Đáp án: A.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+y+z+1=0 và hai điểm A(1;−1;2);B(2;1;1). Mặt phẳng (Q) chứa A,B và vuông góc với mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q)có phương trình là:
A. 3x−2y−z+3=0. B. x+y+z−2=0. C. 3x−2y−z−3=0. D. −x+y=0.
Lời giải
Mặt phẳng (P) có 1 véc tơ pháp tuyến là →np=(1;1;1). Véc tơ →AB=(1;2;−1).
Gọi →n là một véc tơ pháp tuyến của (Q), do (Q)vuông góc với (P) nên →ncó giá vuông góc với →np, mặt khác véc tơ →AB có giá nằm trong mặt phẳng (Q) nên →n cũng vuông góc với →AB
Mà →np và →AB không cùng phương nên ta có thể chọn →n=[→nP,→AB]=(−3;2;1), mặt khác (Q)đi qua A(1;−1;2) nên phương trình của mặt phẳng (Q) là:
−3(x−1)+2(y+1)+1(z−2)=0⇔3x−2y−z−3=0.
Xem thêm Phương pháp giải các dạng bài tập môn Toán hay, chi tiết khác:
Nội dung bài viết
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.