Cho $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\2x - 1\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 1\end{array} \right.$. Tính $J = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2x + {e^x}$. Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn $F\left( 0 \right) = 2024$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}$.

Cho $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {F_1}\left( x \right)$, $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = {F_2}\left( x \right)$. Tính $I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}$.

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3x + {x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0;x = 3$ quanh trục $Ox$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho các hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $\int\limits_2^7 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1$ và $\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 4}$. Khi đó, $\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 3\int\limits_7^2 {g\left( x \right)\,} {\rm{d}}x$ bằng bao nhiêu?

Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}$ và $F\left( 0 \right) = 1$. Tính giá trị $F\left( \pi \right)$.

Cho đồ thị hàm số $y = {{\rm{e}}^x}$ và hình được tô màu như hình bên.

a) Hình phẳng được tô màu giới hạn bởi $3$ đường.

b) Diện tích hình phẳng được tính bởi công thức $S = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x}$.

c) Diện tích hình phẳng $S = e - \frac{1}{e}$.

d) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục $Ox$ là $V = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)$.

Một vật chuyển động đều với vận tốc có phương trình $v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1$, trong đó $t$ được tính bằng giây, quãng đường $s\left( t \right)$ được tính bằng mét.

a) Quãng đường đi được của vật sau $2$ giây là: $\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}\;{\rm{m}}$.

b) Quãng đường vật đi được khi gia tốc bị triệt tiêu là $\frac{1}{3}\;{\rm{m}}$.

c) Quãng đường vật đi được trong khoảng từ $2$giây đến thời gian mà vận tốc đạt $9\;{\rm{m/s}}$ là: $\frac{{26}}{3}\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

d) Quãng đường vật đi được từ $0$ giây đến thời gian mà gia tốc bằng $10\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$ là $44\;{\rm{m}}$.

Cho $\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 4$ và $\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - 3$.

a) $\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = - 7$.

b) $\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1$.

c) $\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ { - 3f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 12$.

d) $\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = - 51$.

Cho $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \cos x + C}$.

a) $f\left( x \right) = \sin x$.

b) $\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = - \sin x + C}$.

c) $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$. Nếu $F\left( 0 \right) = 2$ thì $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.

d) $\int {\left[ { - 2\cos x \cdot f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos 2x + C}$.

Tìm nguyên hàm $\int {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x}$.

Cho hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$.

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $\left( {0\,;\, + \infty } \right)$.

b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm $\left( {0\,;2} \right)$.

c) Hàm số đạt cực trị tại $x = 0$.

d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ bằng $4$.

Cho hàm số $f\left( x \right) = x - \sin 2x$.

a) $f'\left( x \right) = 1 + 2\cos 2x$.

b) $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}$.

c) Trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$, phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có đúng một nghiệm $\frac{{5\pi }}{6}$.

d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là $\frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{9}{x}$ trên đoạn $\left[ {2\,;\,4} \right]$ là