Aladin nhặt được cây đèn thần, chàng miết tay vào cây đèn và Thần đèn hiện ra. Thần đèn cho chàng 3 điều ước. Aladin ước 2 điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ 3 của chàng là: “Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay”. Thần đèn chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với thần đèn cho ngày hôm sau.

a) Ngày thứ hai Aladin ước 6 điều.

b) Ngày thứ ba Aladin ước 12 điều.

c) Ngày thứ tư Aladin ước 48 điều.

d) Sau 10 ngày gặp Thần đèn, Aladin ước tất cả 3 269 điều ước.

Cho tứ giác $ABCD$ có bốn góc tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.

a) Số đo góc nhỏ nhất bằng $24^\circ$.

b) Số đo góc lớn nhất bằng $196^\circ$.

c) Tổng số đo góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng $220^\circ$.

d) Số đo góc lớn nhất trừ cho số đo góc nhỏ nhất bằng $168^\circ$.

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_1} + {u_5} = 51;{u_2} + {u_6} = 102$.

a) Số hạng đầu ${u_1} = 3$.

b) Số hạng ${u_4} = 48$.

c) Số 12 288 là số hạng thứ 12 của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

d) Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là: $765$.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_1} = 8,{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 9$ với $n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$. Đặt ${v_n} = {u_n} - 3$ với $n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$.

a) ${v_1} = 5$.

b) Dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là một cấp số nhân có công bội $q = - 3$.

c) Công thức của số hạng tổng quát ${v_n}$ là ${v_n} = 5 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}$.

d) Công thức của số hạng tổng quát ${u_n}$ là ${u_n} = 3 + 5 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}$.

Một cầu thang lên một đỉnh tháp có 268 bậc, độ cao của bậc thứ nhất (bậc thấp nhất) so với mặt đất là 15 cm. Từ bậc thứ hai trở lên, độ cao của mỗi bậc (so với bậc ở liền phía dưới) cũng bằng 15 cm. Gọi ${{\rm{u}}_{\rm{n}}}$ là độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt đất (tính bằng centimét).

a) ${u_2} = 15.$

b) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ lập thành cấp số cộng với công sai $d = 15.$

c) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thoả mãn ${u_n} = 15n - 15$ với $n$ là số nguyên dương, $1 < n \le 268.$

d) Bạn Dũng đang sắp đi lên đến đỉnh tháp thì nhìn thấy mình còn bước đúng 2 bậc nữa là đứng ở bậc cao nhất. Bạn Dũng ở độ cao so với mặt đất là $39,9\;\,{\rm{m}}$.

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có công sai $d < 0$ thoả mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_7} = 26}\\{u_2^2 + u_6^2 = 466}\end{array}} \right.$.

a) Số hạng đầu ${u_1} = 25$.

b) Công sai $d = - 3$.

c) Số hạng tổng quát là ${u_n} = 29 - 4n$.

d) Số hạng ${u_{2024}} = - 8067$.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tổng $n$ số hạng đầu được tính bởi công thức ${S_n} = 2{n^2} - 4n$.

a) Số hạng đầu ${u_1} = - 2$, số hạng thứ hai ${u_2} = 2$.

b) Với $n \ge 2$ thì ${S_n} - {S_{n - 1}} = 4n - 6$.

c) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai là $- 6$.

d) Tổng ${u_2} + {u_4} + {u_6} + \ldots + {u_{100}}$ là $5000$.

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết rằng: ${u_1} = - 3,{u_6} = 27$.

a) Công sai của cấp số cộng bằng $7$.

b) Số hạng ${u_{10}} = 52$.

c) Số hạng ${u_{85}} = 501$.

d) Tổng của 85 số hạng đầu ${S_{85}} = 21165$.

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_4} = \frac{1}{{32}}$ và ${u_5} = \frac{1}{{128}}.$ Khi đó, số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$lần lượt là:

Viết ba số xen giữa $2$ và $22$ để ta được một cấp số cộng có $5$ số hạng?

Chu kì bán rã của Iôt phóng xạ ${}_{53}^{131}{\rm{I}}$ dùng trong y tế là $8$ ngày (nghĩa là sau $8$ ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Khối lượng còn lại của $200$ gam Iôt phóng xạ ${}_{53}^{131}{\rm{I}}$ sau $80$ ngày là bao nhiêu gam (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Trong một khán phòng có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước đó 4 ghế, hỏi khán phòng đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với công bội $q < 0$ và ${u_2} = 4,{u_4} = 9$.

a) Số hạng đầu ${u_1} = - \frac{8}{3}$.

b) Số hạng ${u_5} = \frac{{27}}{2}$.

c) $- \frac{{2187}}{{32}}$ là số hạng thứ 8.

d) Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là $\frac{{55}}{6}$.

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = \frac{3}{2}$, công sai $d = \frac{1}{2}$.

a) Công thức cho số hạng tổng quát ${u_n} = 1 + \frac{n}{3}$.

b) 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.

c) $\frac{{15}}{4}$ một số hạng của cấp số cộng đã cho.

d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ bằng $2620$.

Cho phương trình ${\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$.

a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình $\frac{{1 + \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2}$.

b) Ta có $\cos \left( {2x + \pi } \right) = - \cos 2x$.

c) Phương trình đã cho đưa về dạng $\cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x$.

d) Nghiệm của phương trình đã cho là $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$ và $x = & \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Cho hai đồ thị hàm số $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ và $y = \sin x$.

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x$.

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là $x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) Khi $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$ thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm.

d) Khi $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$ thì toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $\left( {\frac{{5\pi }}{8};\sin \frac{{5\pi }}{8}} \right),\left( {\frac{{7\pi }}{8};\sin \frac{{7\pi }}{8}} \right)$.