Cho hai đồ thị hàm số $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ và $y = \sin x$.

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x$.

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là $x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) Khi $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$ thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm.

d) Khi $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$ thì toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $\left( {\frac{{5\pi }}{8};\sin \frac{{5\pi }}{8}} \right),\left( {\frac{{7\pi }}{8};\sin \frac{{7\pi }}{8}} \right)$.

Cho phương trình $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)$ (*).

a) Phương trình có nghiệm: $x = \pi + k2\pi$ và $x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$, phương trình có 2 nghiệm.

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ bằng $\frac{{7\pi }}{6}$.

d) Trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$, phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{{5\pi }}{6}$.

Cho phương trình lượng giác $\cot 3x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ (*).

a) Phương trình (*) tương đương $\cot 3x = \cot \left( {\frac{{ - \pi }}{6}} \right)$.

b) Phương trình (*) có nghiệm $x = \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)$ bằng $\frac{{ - 5\pi }}{9}$.

d) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng $\frac{{2\pi }}{9}$.

Tập nghiệm của bất phương trình ${5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}}$ là

Cho phương trình $\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1$ (*).

a) Phương trình (*) có nghiệm $x = 30^\circ + k90^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $- 30^\circ$.

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)$ bằng $180^\circ$.

d) Trong khoảng $\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)$, phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $60^\circ$.

Một cây cầu có dạng cung $AB$ của đồ thị hàm số $y = 4,8\cos \frac{x}{9}$ và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở hình vẽ dưới đây.

Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao $3,6\,{\rm{m}}$ so với mực nước sông. Hỏi chiều rộng của khối hàng hoá đó lớn nhất là bao nhiêu mét để sà lan có thể đi qua được gầm cầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Các nghiệm của phương trình $\sin x = \sin 30^\circ$ là

Phương trình lượng giác $\sqrt 3 \,\tan \,x + 3 = 0$ có nghiệm là

Phương trình $\tan \left( {3x - 15^\circ } \right) = \sqrt 3$ có các nghiệm là