Lý thuyết Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Cánh Diều) Toán 7

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Lý thuyết Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 hay, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững nội dung kiến thức từ đó dễ dàng làm các bài tập Toán 7.

Lý thuyết Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Cánh Diều) Toán 7

A. Lý thuyết

1. Đường trung tuyến của tam giác

– Trong tam giác ABC (hình bên dưới), đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Đôi khi, đường thẳng AM cũng được gọi là đường trung tuyến của ∆ABC.

Ví dụ: Quan sát hình bên dưới và cho biết trong hình có bao nhiêu đường trung tuyến?

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

Quan sát hình vẽ ta có:

• A là đỉnh của ∆ABC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của ∆ABC.

• C là đỉnh của ∆ABC và H là trung điểm của AB nên đoạn thẳng CH là đường trung tuyến của ∆ABC.

• M là đỉnh của ∆ABM và H là trung điểm của AB do đó MH là đường trung tuyến của ∆ABM.

• H là đỉnh của ∆HBC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng HM là đường trung tuyến của ∆HBC.

Vậy trong hình vẽ trên có tất cả 4 đường trung tuyến.

– Chú ý: Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

Ví dụ: Tam giác ABC (hình vẽ dưới) có ba đường trung tuyến là AM, BK và CN.

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

– Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.

Chú ý: Trong tam giác ABC (hình vẽ dưới) có ba đường trung tuyến AM, BK, CN cùng đi qua điểm G, ta còn nói chúng đồng quy tại điểm G.

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Để xác định trọng tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Nhận xét: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng  độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Lưu ý: Trong ∆ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm ta có:

 

Ví dụ: Cho ∆ABC như hình vẽ, biết AM = 18 cm và BN = 21 cm.

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

a) Chứng minh: G là trọng tâm của ∆ABC.

b) Tính độ dài AG, GN.

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Theo hình vẽ trên ta có:

A là đỉnh của ∆ABC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của ∆ABC.

B là đỉnh của ∆ABC và N là trung điểm của AC nên đoạn thẳng BN là đường trung tuyến của ∆ABC.

Mà hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Vậy G là trọng tâm của ∆ABC.

b) Theo phần a ta có: G là trọng tâm của ∆ABC nên AG = 23AM (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay AG = 23.18=12cm

Vì BN là đường trung tuyến của ∆ABC và G là trọng tâm của ∆ABC

Suy ra GNBN=13 hay GN = 13BN = 13.21=7cm

Vậy AG = 12 cm, GN = 7 cm.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho ∆ABC có hai tiếp tuyến BM và CN cắt nhau tại trọng tâm G. Chứng minh rằng: BC < 23BM + CN.

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Theo bài ta có: G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra BG = 23BM; CG = 23CN (tính chất trọng tâm của tam giác)

Xét ∆BGC ta có: BG + CG > BC (bất đẳng thức tam giác)

Hay 23BM +23CN > BC

Suy ra BC < 23BM + CN

Vậy BC < 23BM + CN.

Bài 2. Cho ∆ABC nhọn (AB < AC), đường trung tuyến AO. Trên tia đối của tia OA lấy điểm D sao cho OA = OD. Chứng minh rằng: AC // BD.

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Theo bài ta có AO là trung tuyến của ∆ABC nên BO = CO.

Xét ∆AOC và ∆DOB có:

AO = DO (giả thiết),

AOC^=DOB^ (hai góc đối đỉnh),

OC = OB (chứng minh trên).

Do đó ∆AOC = ∆DOB (c.g.c)

Suy ra CAO^=BDO^ (hai góc tương ứng) 

Hay CAD^=BDA^

Mà hai góc này ở vị trí so le trong           

Suy ra AC // BD

Vậy AC // BD.

Bài 3. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 9 cm; BM là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác. Kẻ AH ⊥ BM tại H. Tính AM biết rằng SDABG = 12 cm2.

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Vì ∆ABC có BM là đường trung tuyến và G là trọng tâm nên ta có: BG = 23BM  (1)

Ta có SΔABG=12AH.BG  (2)

SΔABM=12AH.BM   (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

SΔABGSΔABM= 12AH.BG12AH.BM=12AH.23BM12AH.BM=23

Suy ra 2SDABM = 3SDABG

Do đó SΔABM=32SΔABG=32.12=18(cm2)

Ta lại có SΔABM=12AB.AM(vì ∆ABM vuông tại A)

Hay 18=12.9. AM 

Suy ra AM = 18.29= 4 (cm)

Vậy AM = 4 cm.

B.2 Bài tập trắc nghiệm 

Câu 1. Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AX, BY, CZ cắt nhau tại G. Biết GA = GB = GC. Hãy so sánh GX, GY và GZ.

A. GX > GY > GZ;                   

B. GX = GY = GZ;                   

C. GX < GY = GZ;                   

D. GX = GY > GZ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất trọng tâm ta có:

GXGA=12GYGB=12GZGC=12 

Suy ra GX=12GA;GY=12GB;GZ=12GC

Mà GA = GB = GC.

Suy ra GX = GY = GZ.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 2. Cho ∆ABC có G là trọng tâm như hình bên.

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Tìm x, biết AG = 4x + 6 và AM = 9x.

A. x = 4;                

B. x = 1;                

C. x = 2;                

D. x = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra AG=23AM.

Do đó 4x+6=23.9x

4x + 6 = 2.3x

4x + 6 = 6x

4x – 6x = –6

–2x = –6.

x = –6 : (–2)

x = 3.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 3. Cho ∆ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Trên tia GB và GC lấy các điểm F và E sao cho G là trung điểm của FM, đồng thời là trung điểm của EN. Khẳng định nào sau đây sai?

A. GF = FB;         

B. E là trung điểm GC;             

C. NG > EC;                   

D. AD, BE, CF đồng quy tại một điểm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Do ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC

Suy ra GM=12GB 

Mà G là trung điểm của FM nên GM = GF

Do đó GF=12GB

Suy ra F là trung điểm của GB.

Nên GF = FB. Do đó A đúng.

Chứng minh tương tự ta có E là trung điểm của GC. Do đó B đúng.

Ta có: GN = GE = EC nên C là sai.

Vì F, E lần lượt là trung điểm của GB và GC (chứng minh trên)

Nên CF, BE là hai đường trung tuyến của ∆GBC.

Mà ∆GBC còn có GD là đường trung tuyến thứ ba (D là trung điểm BC).

Khi đó GD, BE, CF đồng quy tại trọng tâm của ∆GBC.

Hay AD, BE, CF đồng quy tại một điểm.

Do đó đáp án D đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.

Xem thêm các bài lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Lý thuyết Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Lý thuyết Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Lý thuyết Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác

Lý thuyết Ôn tập chương 7

Tài liệu có 12 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Đánh giá

0

0 đánh giá

Tài liệu cùng môn học

Lý thuyết Ôn tập chương 7 (Cánh Diều) Toán 7 Giang Tiêu đề (copy ở trên xuống) - Trọn bộ lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết giúp em học tốt Toán 7.
540 47 12
Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 Giang Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 - Trọn bộ lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết giúp em học tốt Toán 7.
471 12 6
Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 Giang Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 - Trọn bộ lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết giúp em học tốt Toán 7.
476 12 9
Lý thuyết Tính chất ba đường phân giác của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 Giang Lý thuyết Tính chất ba đường phân giác của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 - Trọn bộ lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết giúp em học tốt Toán 7.
499 13 8
Tải xuống