Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Cánh Diều) Toán 7

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 hay, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững nội dung kiến thức từ đó dễ dàng làm các bài tập Toán 7.

Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Cánh Diều) Toán 7

A. Lý thuyết

1. Đường trung trực của tam giác

– Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Chú ý: Đường trung trực của một tam giác có thể không đi qua đỉnh nào của tam giác.

Ví dụ: Quan sát hình vẽ là chỉ ra các đường trung trực của tam giác (nếu có):

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng a vuông góc với AC tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng a là trung trực của ∆ABC.

Đường thẳng b đi trung điểm của BC nhưng không vuông góc với BC tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng b không là đường trung trực của ∆ABC.

Đường thẳng c ⊥ AB nhưng không vuông góc tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng c không là đường trung trực của ∆ABC.

– Nhận xét: Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

– Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Nhận xét:

+ Để xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

+ Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Do đó, trong một tam giác ba đường trung trực cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

Ví dụ: Cho ∆ABC có ba đường trung trực của AB, BC, AC cắt nhau tại O, tương ứng cắt AB, BC, CA lần lượt tại H, K, E. Chứng minh rằng: BK < OA < OC + BC.

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Vì O là giao điểm của ba đường trung trực trong ∆ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OBK vuông tại K nên OB > BK (vì trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất).   (1)

∆OBC có OB < OC + BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Mà OA = OB

Do đó OA < OC + BC   (2)

Từ (1) và (2) suy ra BK < OA < OC + BC

Vậy BK < OA < OC + BC.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho ∆ABC có D là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Kẻ DE ⊥ AC tại E; DF ⊥ AB tại F và DM ⊥ BC tại M. Chứng minh rằng DA > AB + AC +BC6.

Hướng dẫn giải

∆OBC có OB < OC + BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Mà OA = OB

Do đó OA < OC + BC   (2)

Từ (1) và (2) suy ra BK < OA < OC + BC

Vậy BK < OA < OC + BC.

Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 (ảnh 1)

Ta có D là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC và DE ⊥ AC tại E; DF ⊥ AB tại F và DM ⊥ BC tại M.

Suy ra DF, DM, DE lần lượt là đường trung trực của AB, BC, AC.

Do đó F, M, E lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC

Suy ra AF=12AB, BM = 12BC, CE = 12AC

∆ADF vuông tại F nên DA > AF (vì cạnh huyền lớn nhất)

Suy ra DA > 12AB   (1)

∆DBM vuông tại M nên DB > BM (vì cạnh huyền lớn nhất)

Suy ra DB > 12BC    (2)

∆CDE vuông tại E nên DC > EC (vì cạnh huyền lớn nhất)

Suy ra DC > 12AC   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra DA + DB + DC > 12AB+12BC+12AC

Hay DA + DB + DC > 12(AB + BC+AC)

Vì D là giao điểm của các đường trung trực trong ∆ABC nên DA = DB = DC.

Do đó DA + DB + DC > 12(AB + BC+AC)

Hay DA + DA + DA > 12(AB + BC+AC)

Suy ra 3DA > 12(AB + BC+AC).

Suy ra DA  > AB + BC +AC6.

Vậy DA > AB + AC +BC6.

Bài 2. Cho ∆ABC có góc A là góc tù, gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác sao cho BOC^=84°. Tính BAC^.

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Theo bài ta có: O là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC.

Do đó OA = OB = OC (tính chất đường trung trực trong tam giác).

• Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O.

Suy ra OBA^=OAB^ (tính chất tam giác cân)

∆OAB có BOA^+OBA^+OAB^=180° (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra BOA^=180°ABO^BAO^

Mà OBA^=OAB^ (chứng minh trên)

Nên BOA^=180°2BAO^         (1)

• Xét ∆OAC có OA = OC nên ∆OAC cân tại O.

Suy ra OCA^=OAC^ (tính chất tam giác cân).

∆OAC có COA^+OCA^+OAC^=180°(tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra COA^=180°ACO^CAO^

Mà OCA^=OAC^ (chứng minh trên)

Suy ra COA^=180°2CAO^      (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

BOA^+COA^=180°2BAO^+180°2CAO^

Hay BOC^=360°2(BAO^+CAO^)

Suy ra 84°=360°2BAC^

Suy ra 2BAC^=360°84°=276°

Suy ra BAC^=276°:2=138°

Vậy BAC^=138°.

Bài 3. Cho ∆ABC vuông tại A, có C^=40° và đường trung trực của BC cắt AC tại M. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại N. Tính số đo các góc của ∆BMN.

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Theo bài ta có: M nằm trên đường trung trực của BC nên BM = CM.

Suy ra ∆BMC cân tại M nên C^=CBM^=40°

Vì MN // BC nên NMB^=CBM^=40°(hai góc so le trong)

Xét ∆ABC vuông tại A có:

ABC^+C^=90°(tổng của hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)

Suy ra ABC^=90°C^=90°40°=50°

Ta lại có NBM^+MBC^=NBC^=ABC^

Suy ra NBM^=ABC^MBC^=50°40°=10°.

Do MN // BC nên MNB^+NBC^=180°(hai góc trong cùng phía)

Suy ra MNB^=180°NBC^=180°50°=130°.

Vậy ∆BMN có MNB^=130°NBM^=10°NMB^=40°.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

 Câu 1. Cho ∆ABC có A^ là góc tù. Các đường trung trực của cạnh AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự tại D và E. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. ∆ABD cân tại D;                  

B. ∆ACE cân tại E;                   

C. ∆OAB cân tại O;                  

D. Cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Vì D thuộc đường trung trực OM của cạnh AB.

Nên D cách đều A và B.

Do đó DB = DA.

Suy ra ∆ABD cân tại D.

Do đó đáp án A đúng.

Chứng minh tương tự, ta được ∆ACE cân tại E và ∆OAB cân tại O.

Do đó đáp án B, C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 2. Cho ∆ABC có A^ tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt BC lần lượt tại D và E. Biết DAE^=30°. Số đo BAC^bằng:

A. 95°;                  

B. 100°;                

C. 105°;                

D. 115°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Vì điểm D nằm trên đường trung trực của AB nên DA = DB.

Suy ra ∆DAB cân tại D.

Do đó A1^=ABC^.

Chứng minh tương tự, ta được A2^=ACB^.

Do đó A1^+A2^=ABC^+ACB^.

Xét tam giác ABC có: ABC^+BAC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra ABC^+ACB^=180°BAC^

Suy ra A1^+A2^=180°BAC^

Lại có A3^=BAC^A1^+A2^.

Suy ra 30°=BAC^180°BAC^

Suy ra BAC^180°+BAC^=30°

Do đó 2BAC^=180°+30°=210°.

Vì vậy BAC^=210°:2=105°.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 3. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của MD và AC là đường trung trực của ME. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Ba điểm D, A, E thẳng hàng;         

B. DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất;                 

C. AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC;             

D. Cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Vì AB là đường trung trực của MD.

Nên AD = AM và BD = BM (tính chất đường trung trực)

Suy ra ∆ADM cân tại A.

Xét DABD và DABM có:

AD = AM (chứng minh trên),

AB là cạnh chung,

BD = BM (chứng minh trên),

Do đó DABD = DABM (c.c.c)

Suy ra A1^=A2^ (hai góc tương ứng)

Vì vậy MAD^=A1^+A2^=2A2^.

Chứng minh tương tự, ta được A3^=A4^ và MAE^=A3^+A4^=2A3^

Ta có DAE^=MAD^+MAE^=2A2^+A3^=2BAC^=2.90°=180°

Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Do đó đáp án A đúng.

Vì ba điểm D, A, E thẳng hàng

Nên DE = DA + AE = AM + AM = 2AM.

Suy ra DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất.

Do đó đáp án B đúng.

Vì M thuộc cạnh BC nên AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Xem thêm các bài lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Lý thuyết Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Lý thuyết Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác

Lý thuyết Ôn tập chương 7

Tài liệu có 12 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Đánh giá

0

0 đánh giá

Tài liệu cùng môn học

Lý thuyết Ôn tập chương 7 (Cánh Diều) Toán 7 Giang Tiêu đề (copy ở trên xuống) - Trọn bộ lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết giúp em học tốt Toán 7.
540 47 12
Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 Giang Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 - Trọn bộ lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết giúp em học tốt Toán 7.
471 12 6
Lý thuyết Tính chất ba đường phân giác của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 Giang Lý thuyết Tính chất ba đường phân giác của tam giác (Cánh Diều) Toán 7 - Trọn bộ lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết giúp em học tốt Toán 7.
499 13 8
Tải xuống