Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 11 Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 11 Bài 5.

SBT Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 1 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = $a\sqrt{3}$ và vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa:

a) SB và (ABCD);

b) SC và (ABCD);

c) SD và (ABCD);

d) SB và (SAC).

Lời giải:

a) Ta có: 

Suy ra AB là hình chiếu của SB trên (ABCD).

Do đó (SB, (ABCD)) = (SB, AB).

Trong tam giác SAB vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=60°.$

Vậy $(SB,(ABCD\left)\right)=\widehat{SBA}=60°.$

b) Tương tự câu a) ta xác định được (SC, (ABCD)) = (SC, AC).

Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{SCA}\approx \mathrm{50,8}°.$

Vậy $(SC,(ABCD\left)\right)=\widehat{SCA}\approx \mathrm{50,8}°.$

c) Tương tự câu a) ta xác định được (SD, (ABCD)) = (SD,AD).

Trong tam giác SAD vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SDA}=60°.$

Vậy $(SD,(ABCD\left)\right)=\widehat{SDA}=60°.$

d) Ta có: 

$\Rightarrow$ BD ⊥ (SAC) hay BO ⊥ (SAC). (1)

Mà SB $\cap$ (SAC) = S. (2)

Từ (1) và (2) suy ra SO là hình chiếu của SB trên (SAC).

Do đó: (SB, (SAC))=(SB, SO).

Trong tam giác SBO vuông tại O, ta có:

$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2},SB=2a.$

$\Rightarrow \sin \widehat{BSO}=\frac{BO}{SB}=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \widehat{BSO}\approx \mathrm{20,7}°.$

Vậy $(SB,(SAC\left)\right)=\widehat{BSO}\approx \mathrm{20,7}°.$

Bài 2 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm I của cạnh AB. Biết rằng mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân tại S. Xác định và tính góc giữa:

a) SA và (ABC);

b) SC và (SAB).

Lời giải:

a)Vì AI là hình chiếu của SA trên (ABC).

Do đó (SA, (ABC)) = (SA, AI).

Vì tam giác SAI vuông cân tại I $\Rightarrow \widehat{SAI}=45°.$

Vậy $(SA,(ABC\left)\right)=(SA,AI)=\widehat{SAI}=45°$ .

b)Ta có tam giác ABC đều nên CI ⊥ AB, $CI=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Ta có: 

Mà SC $\cap$ (SAB) = S. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ SI là hình chiếu của SC trên (SAB).

Do đó (SC, (SAB)) = (SC, SI).

Trong tam giác SAB vuông tại S, $SI=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$ .

Trong tam giác SCI vuông tại I, ta có $\tan \widehat{CSI}=\frac{IC}{SI}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{CSI}=60°.$

Vậy $\left(SC,\left(SAB\right)\right)=\widehat{CSI}=60°.$

Bài 3 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\frac{a\sqrt{15}}{6}$ . Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Lời giải:

Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có SG ⊥ (ABC), SM ⊥ BC, AM ⊥ BC.

Suy ra $\widehat{SMG}$ là góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Ta tính được

$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow GM=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6},$

$SM=\sqrt{S{B}^2-B{M}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{6},$

$SG=\sqrt{S{M}^2-G{M}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

$\Rightarrow$ GM = SG.

Ta có tam giác SMG vuông cân tại G, suy ra số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A] = $\widehat{SMG}=45°.$

Bài 4 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{AB\text{}C}=30°$, AC = a, $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Lời giải:

Vẽ AH ⊥ BC (H ϵ BC), ta có SH ⊥ BC.

Suy ra $\widehat{SHA}$ là góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Ta có AH = AC.sin60° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$= SA

Do đó $\widehat{SHA}$ = 45°.