Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 11 Bài 3.

SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài 29 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t₀ là:

A. f(t₀).

B. f’’(t₀).

C. f’(t₀).

D. –f’(t₀).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t₀ là đạo hàm cấp hai của f(s = f(t) và bằng f’’(t₀).

Bài 30 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = e^–x. Khi đó f’’(x) bằng:

A. e^–x.

B. – e^–x.

C. – e^x.

D. e^x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số f(x) = e^–x. Ta có:

f’(x) = (e^–x) = – e^–x.

f’’(x) = (– e^–x)’ = e^–x.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 31 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = ln(3x). Khi đó f’’(x) bằng:

A. $-\frac{1}{9x^2}.$

B. $-\frac{1}{x^2}.$

C. $\frac{3}{x^2}.$

D. $-\frac{3}{x^2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số f(x) = ln(3x). Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)={\left[\ln \left(3x\right)\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left(3x\right)}^{\text{'}}}{3x}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}.$

${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{x^2}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 32 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}.$ Khi đó f’’(1) bằng:

A. 1.

B. –2.

C. 2.

D. –1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}.$ Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{x^2};$

${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)={\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{1}{-x^2}\right)}^{\text{'}}-\frac{{\left(-x^2\right)}^{\text{'}}}{{\left(-x^2\right)}^2}=-\frac{-2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}.$

Do đó ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{2}{1^3}=2.$

Bài 33 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{1}{3x+5};$

b) $g\left(x\right)=2^{x+3x^2}.$

Lời giải:

a) Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{3x+5}.$ Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{{\left(3x+5\right)}^{\text{'}}}{{\left(3x+5\right)}^2}=\frac{-3}{{\left(3x+5\right)}^2};$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\left(-3\right)\cdot \frac{-{\left[{\left(3x+5\right)}^2\right]}^{\text{'}}}{{\left[{\left(3x+5\right)}^2\right]}^2}=\frac{3\cdot 2\left(3x+5\right)\cdot 3}{{\left(3x+5\right)}^4}=\frac{18}{{\left(3x+5\right)}^3}.$

b) Xét hàm số $g\left(x\right)=2^{x+3x^2}.$ Ta có:

$g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x+3x^2\right)}^{\text{'}}\text{ln}2\cdot 2^{x+3x^2}=\left(6x+1\right)\text{ln}2\cdot 2^{x+3x^2}.$

${g^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=\text{ln}2\left[{\left(6x+1\right)}^{\text{'}}\cdot 2^{x+3x^2}+\left(6x+1\right)\cdot {\left(2^{x+3x^2}\right)}^{\text{'}}\right]$

$=\text{ln}2\left[6\cdot 2^{x+3x^2}+\left(6x+1\right)\cdot \left(6x+1\right)\text{ln}2\cdot 2^{x+3x^2}\right]$

$=6\text{ln}2\cdot 2^{x+3x^2}+{\left[\left(6x+1\right)\text{ln}2\right]}^2\cdot 2^{x+3x^2}.$

Bài 34 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = sinx . cosx . cos2x.

a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại $x_0=\frac{\pi }{6}.$

Lời giải:

a) Ta có: $f\left(x\right)=\text{sin}x\cdot \text{cos}x\cdot \text{cos}2x=\frac{1}{2}\text{sin}2x\cdot \text{cos}2x=\frac{1}{4}\text{sin}4x$.

Khi đó, $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{4}\cdot {\left(4x\right)}^{\text{'}}\cdot \text{cos}4x=\text{cos}4x.$

f’’(x) = (4x)’.(–sin4x) = –4sin4x.

b) Vì f’’(x) = –4sin4x nên ta có:

$f^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{6}\right)=-4\text{sin}\left(4\cdot \frac{\pi }{6}\right)=-4\text{sin}\left(\frac{2\pi }{3}\right)=-4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}.$

Bài 35 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x³ + 4x² + 5. Giải bất phương trình f’(x) – f’’(x) ≥ 0.

Lời giải:

Xét hàm số f(x) = x³ + 4x² + 5. Ta có:

f’(x) = (x³ + 4x² + 5)’ = 3x² + 8x;

f’’(x) = (3x² + 8x)’ = 6x + 8.

Khi đó, f’(x) – f’’(x) = 3x² + 8x – 6x – 8 = 3x² + 2x – 8.

Để f’(x) – f’’(x) ≥ 0 thì 3x² + 2x – 8 ≥ 0

$\iff \left(3x-4\right)\left(x+2\right)\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\ge \frac{4}{3}\\ x\le -2\end{array}\right..$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=\left(-\infty ;-2\right]\cup \left[\frac{4}{3};+\infty \right).$

Bài 36 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3-3t^2+8t+2,$ trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm:

a) Tại thời điểm t = 5 (s).

b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng –1 m/s.

Lời giải:

Ta có: $s^{\text{'}}\left(t\right)={\left(\frac{1}{3}{t}^3-3t^2+8t+2\right)}^{\text{'}}=t^2-6t+8;$

s’’(t) = (t² – 6t + 8)’ = 2t – 6.

Vậy gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là s’’(t) = (t² – 6t + 8)’ = 2t – 6.

a) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 (s) là:

s’’(5) = 2.5 – 6 = 4 (m/s²).

b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng –1 m/s là:

s’(t) = t² – 6t + 8 = –1

⇔ t² – 6t + 9 = 0

⇔ (t – 3)² = 0

⇔ t – 3 = 0

⇔ t = 3 (s).

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 3 (s) là:

s’’(3) = 2.3 – 6 = 0 (m/s²).

Bài 37 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm có phương trình chuyển động $s\left(t\right)=3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right),$ trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimet. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}\left(s\right).$

Lời giải:

Ta có:

$s^{\text{'}}\left(t\right)=3\cos \left(t+\frac{\pi }{3}\right);$

$s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=-3\text{sin}\left(t+\frac{\pi }{3}\right).$

Do đó gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là

$s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=-3\text{sin}\left(t+\frac{\pi }{3}\right)$ (cm/s²).

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}\left(s\right)$ là:

$s^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)=-3\text{sin}\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=-3\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{-3}{2}$ (cm/s²).