SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

250

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 11 Bài 1.

SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 1 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 là f’(x0). Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 là f’(x0). Phát biểu nào sau đây là đúng

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 là f’(x0) thì f'(x)=limxx0f(x)f(x0)xx0.

Bài 2 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t). Cường độ trung bình trong khoảng thời gian |t – t0| được xác định bởi công thức Q(t)Q(t0)tt0.Cường độ tức thời tại thời điểm t0 là:

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t)

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cường độ tức thời tại thời điểm t0 là limtt0Q(t)Q(t0)tt0.

Bài 3 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

A. f(x0).

B. f’(x0).

C. x0.

D. –f’(x0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là: f’(x0).

Bài 4 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

A. y = f(x0)(x – x0) + f(x0).

B. y = f’(x0)(x + x0) + f(x0).

C. y = f’(x0)(x – x0) + f(x0).

D. y = f’(x0)(x – x0) – f(x0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y = f’(x0)(x – x0) + f(x0).

Bài 5 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là:

A. f’(t0).

B. f(t0) – f’(t0).

C. f(t0).

D. – f’(t0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là: s’(t0) = f’(t0).

Bài 6 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:

a) f(x) = x + 2;

b) g(x) = 4x2 – 1;

c) h(x)=1x1.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = x + 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x + 2) – (x + 2) = ∆x.

Suy ra ΔyΔx=ΔxΔx=1

Ta thấy limΔx0ΔyΔx=limΔx01=1

Vậy f'(x) = 1.

b) Hàm số y = g(x) = 4x2 – 1.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = g(x + ∆x) – g(x) = 4(x + ∆x)2 – 1 – (4x2 – 1)

= 4x2 + 8x. ∆x + (∆x)2 – 1 – 4x2 + 1

= 8x.∆x + (∆x)2.

Suy ra ΔyΔx=8xΔx+(Δx)2Δx=8x+Δx.

Ta thấy limΔx0ΔyΔx=limΔx0(8x+Δx)=8x.

Vậy g'(x) = 8x.

c) Hàm số y=h(x)=1x1.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: Δy=h(x+Δx)h(x)=1x+Δx11x1

=x1(x+Δx1)(x+Δx1)(x1)=Δx(x+Δx1)(x1)

Suy ra ΔyΔx=Δx(x+Δx1)(x1)Δx=1(x+Δx1)(x1).

Ta thấy limΔx0ΔyΔx=limΔx01(x+Δx1)(x1)=1(x1)2.

Vậy h'(x)=1(x1)2.

Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Chứng minh hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x0 = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2....

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = |x – 2|.

• Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 2.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x – 2) – (x – 2) = ∆x.

Suy ra: ΔyΔx=ΔxΔx=1.

Ta thấy: limΔx0ΔyΔx=limΔx01=1.

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

• Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (2 – x – ∆x) – (2 – x) = –∆x.

Suy ra: ΔyΔx=ΔxΔx=1.

Ta thấy: limΔx0ΔyΔx=limΔx0(1)=1.

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

• Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x0 = 2.

Ta có: ∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = |2 + ∆x – 2| – |2 – 2| = ∆x.

Suy ra: ΔyΔx=|Δx|Δx.

Ta thấy: limΔx0+ΔyΔx=limΔx0+|Δx|Δx=limΔx0+ΔxΔx=1.

limΔx0ΔyΔx=limΔx0|Δx|Δx=limΔx0ΔxΔx=1.

Do đó, không tồn tại limΔx0ΔfΔx nên hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 = 2.

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x0 = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Bài 8 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2Cho hàm số f(x) = x3 có đồ thị (C).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng –1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 8.

Lời giải:

Hàm số f(x) = x3.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)– x3

= x3 + 3x2.∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 – x3

= 3x2.∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3

= ∆x[3x2 + 3x.∆x + (∆x)2]

Suy ra ΔyΔx=Δx[3x2+3xΔx+(Δx)2]Δx=3x2+3xΔx+(Δx)2.

Ta thấy limΔx0ΔyΔx=limΔx0[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2+3x0+02=3x2.

Vậy f'(x) = 3x2.

a) Ta có f'(1) = 3.(1)2 = 3 và f(1) = (1)3 = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng –1 :

y = f’(–1)(x – (–1)) + f(–1)

Hay y = 3(x + 1) – 1, tức là y = 3x + 2.

b) Gọi hoành độ của tiếp điểm có tung độ bằng 8 là x0.

Do tiếp điểm thuộc (C), nên ta có:

f(x0) = (x0)3 = 8. Suy ra x0 = 2.

Ta có: f'(2) = 3.22 = 12.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 8 là:

y = f’(2)(x – 2) + 8, hay y = 12(x – 2) + 8, tức là y = 12x  16.

Bài 9 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là s(t)=12gt2, trong đó g = 9,8 m/s2

a) Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 3 (s).

b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của vật tại thời điểm đó bằng 39,2 (m/s).

Lời giải:

Xét ∆t là số gia của biến số tại điểm t.

Ta có:

Δs=s(t+Δt)s(t)=129,8(t+Δt)2129,8t2

=4,9t2+9,8tΔt+4,9(Δt)24,9t2=Δt(9,8t+4,9Δt).

Suy ra: ΔsΔt=Δt(9,8t+4,9Δt)Δt=9,8t+4,9Δt.

Ta thấy: limΔt0ΔsΔt=limΔt0(9,8t+4,9Δt)=9,8t.

Vậy v(t) = s’(t) = 9,8t (m/s).

a) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 3 (s) là:

v(3) = 9,8.3 = 29,4 (m/s).

b) Theo đề bài, ta có: v(t) = 9,8t = 39,2, suy ra t = 4.

Vậy vận tốc tức thời của vật đạt 39,2 m/s tại thời điểm t = 4 (s).

Đánh giá

0

0 đánh giá