SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

260

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 11 Bài 1.

SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 1 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 là f’(x0). Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 là f’(x0). Phát biểu nào sau đây là đúng

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 là f’(x0) thì f to the power of apostrophe open parentheses x close parentheses equals limit as x rightwards arrow x subscript 0 of fraction numerator f open parentheses x close parentheses minus f open parentheses x subscript 0 close parentheses over denominator x minus x subscript 0 end fraction.

Bài 2 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t). Cường độ trung bình trong khoảng thời gian |t – t0| được xác định bởi công thức fraction numerator Q open parentheses t close parentheses minus Q open parentheses t subscript 0 close parentheses over denominator t minus t subscript 0 end fraction.Cường độ tức thời tại thời điểm t0 là:

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t)

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cường độ tức thời tại thời điểm t0 là limit as t rightwards arrow t subscript 0 of fraction numerator Q open parentheses t close parentheses minus Q open parentheses t subscript 0 close parentheses over denominator t minus t subscript 0 end fraction.

Bài 3 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

A. f(x0).

B. f’(x0).

C. x0.

D. –f’(x0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là: f’(x0).

Bài 4 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

A. y = f(x0)(x – x0) + f(x0).

B. y = f’(x0)(x + x0) + f(x0).

C. y = f’(x0)(x – x0) + f(x0).

D. y = f’(x0)(x – x0) – f(x0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y = f’(x0)(x – x0) + f(x0).

Bài 5 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là:

A. f’(t0).

B. f(t0) – f’(t0).

C. f(t0).

D. – f’(t0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là: s’(t0) = f’(t0).

Bài 6 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:

a) f(x) = x + 2;

b) g(x) = 4x2 – 1;

c) h open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator x minus 1 end fraction.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = x + 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x + 2) – (x + 2) = ∆x.

Suy ra fraction numerator capital delta y over denominator capital delta x end fraction equals fraction numerator capital delta x over denominator capital delta x end fraction equals 1

Ta thấy limit as capital delta x rightwards arrow 0 of fraction numerator capital delta y over denominator capital delta x end fraction equals limit as capital delta x rightwards arrow 0 of 1 equals 1

Vậy f'(x) = 1.

b) Hàm số y = g(x) = 4x2 – 1.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = g(x + ∆x) – g(x) = 4(x + ∆x)2 – 1 – (4x2 – 1)

= 4x2 + 8x. ∆x + (∆x)2 – 1 – 4x2 + 1

= 8x.∆x + (∆x)2.

Suy ra fraction numerator capital delta y over denominator capital delta x end fraction equals fraction numerator 8 x times capital delta x plus open parentheses capital delta x close parentheses squared over denominator capital delta x end fraction equals 8 x plus capital delta x.

Ta thấy limit as capital delta x rightwards arrow 0 of fraction numerator capital delta y over denominator capital delta x end fraction equals limit as capital delta x rightwards arrow 0 of open parentheses 8 x plus capital delta x close parentheses equals 8 x.

Vậy g'(x) = 8x.

c) Hàm số y equals h open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator x minus 1 end fraction.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: capital delta y equals h open parentheses x plus capital delta x close parentheses minus h open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator x plus capital delta x minus 1 end fraction minus fraction numerator 1 over denominator x minus 1 end fraction

equals fraction numerator x minus 1 minus open parentheses x plus capital delta x minus 1 close parentheses over denominator open parentheses x plus capital delta x minus 1 close parentheses open parentheses x minus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator negative capital delta x over denominator open parentheses x plus capital delta x minus 1 close parentheses open parentheses x minus 1 close parentheses end fraction

Suy ra fraction numerator capital delta y over denominator capital delta x end fraction equals fraction numerator fraction numerator negative capital delta x over denominator open parentheses x plus capital delta x minus 1 close parentheses open parentheses x minus 1 close parentheses end fraction over denominator capital delta x end fraction equals fraction numerator negative 1 over denominator open parentheses x plus capital delta x minus 1 close parentheses open parentheses x minus 1 close parentheses end fraction.

Ta thấy limit as capital delta x rightwards arrow 0 of fraction numerator capital delta y over denominator capital delta x end fraction equals limit as capital delta x rightwards arrow 0 of fraction numerator negative 1 over denominator open parentheses x plus capital delta x minus 1 close parentheses open parentheses x minus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator negative 1 over denominator open parentheses x minus 1 close parentheses squared end fraction.

Vậy h to the power of apostrophe open parentheses x close parentheses equals fraction numerator negative 1 over denominator open parentheses x minus 1 close parentheses squared end fraction.

Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2Chứng minh hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x0 = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2....

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = |x – 2|.

• Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 2.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x – 2) – (x – 2) = ∆x.

Suy ra: fraction numerator text Δ end text y over denominator text Δ end text x end fraction equals fraction numerator text Δ end text x over denominator text Δ end text x end fraction equals 1.

Ta thấy: limit as capital delta x rightwards arrow 0 of fraction numerator text Δy end text over denominator text Δ end text x end fraction equals limit as capital delta x rightwards arrow 0 of 1 equals 1.

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

• Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (2 – x – ∆x) – (2 – x) = –∆x.

Suy ra: fraction numerator text Δ end text y over denominator text Δ end text x end fraction equals fraction numerator negative text Δ end text x over denominator text Δ end text x end fraction equals negative 1.

Ta thấy: limit as capital delta x rightwards arrow 0 of fraction numerator text Δy end text over denominator text Δ end text x end fraction equals limit as capital delta x rightwards arrow 0 of open parentheses negative 1 close parentheses equals negative 1.

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

• Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x0 = 2.

Ta có: ∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = |2 + ∆x – 2| – |2 – 2| = ∆x.

Suy ra: fraction numerator text Δ end text y over denominator text Δ end text x end fraction equals fraction numerator open vertical bar text Δ end text x close vertical bar over denominator text Δ end text x end fraction.

Ta thấy: limit as capital delta x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator text Δ end text y over denominator text Δ end text x end fraction equals limit as capital delta x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator open vertical bar text Δ end text x close vertical bar over denominator text Δ end text x end fraction equals limit as capital delta x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator text Δ end text x over denominator text Δ end text x end fraction equals 1.

stack text lim end text with text Δ end text x rightwards arrow 0 to the power of minus below fraction numerator text Δ end text y over denominator text Δ end text x end fraction equals stack text lim end text with text Δ end text x rightwards arrow 0 to the power of minus below fraction numerator open vertical bar text Δ end text x close vertical bar over denominator text Δ end text x end fraction equals stack text lim end text with text Δ end text x rightwards arrow 0 to the power of minus below fraction numerator negative text Δ end text x over denominator text Δ end text x end fraction equals negative 1.

Do đó, không tồn tại limit as capital delta x rightwards arrow 0 of fraction numerator text Δ end text f over denominator text Δ end text x end fraction nên hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 = 2.

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x0 = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Bài 8 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2Cho hàm số f(x) = x3 có đồ thị (C).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng –1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 8.

Lời giải:

Hàm số f(x) = x3.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)– x3

= x3 + 3x2.∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 – x3

= 3x2.∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3

= ∆x[3x2 + 3x.∆x + (∆x)2]

Suy ra fraction numerator capital delta y over denominator capital delta x end fraction equals fraction numerator capital delta x times open square brackets 3 x squared plus 3 x times capital delta x plus open parentheses capital delta x close parentheses squared close square brackets over denominator capital delta x end fraction equals 3 x squared plus 3 x times capital delta x plus open parentheses capital delta x close parentheses squared.

Ta thấy limit as capital delta x rightwards arrow 0 of fraction numerator capital delta y over denominator capital delta x end fraction equals limit as capital delta x rightwards arrow 0 of open square brackets 3 x squared plus 3 x times capital delta x plus open parentheses capital delta x close parentheses squared close square brackets equals 3 x squared plus 3 x times 0 plus 0 squared equals 3 x squared.

Vậy f'(x) = 3x2.

a) Ta có f'(1) = 3.(1)2 = 3 và f(1) = (1)3 = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng –1 :

y = f’(–1)(x – (–1)) + f(–1)

Hay y = 3(x + 1) – 1, tức là y = 3x + 2.

b) Gọi hoành độ của tiếp điểm có tung độ bằng 8 là x0.

Do tiếp điểm thuộc (C), nên ta có:

f(x0) = (x0)3 = 8. Suy ra x0 = 2.

Ta có: f'(2) = 3.22 = 12.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 8 là:

y = f’(2)(x – 2) + 8, hay y = 12(x – 2) + 8, tức là y = 12x  16.

Bài 9 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là s open parentheses t close parentheses equals 1 half g t squared comma trong đó g = 9,8 m/s2

a) Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 3 (s).

b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của vật tại thời điểm đó bằng 39,2 (m/s).

Lời giải:

Xét ∆t là số gia của biến số tại điểm t.

Ta có:

text Δ end text s equals s open parentheses t plus text Δt end text close parentheses minus s open parentheses t close parentheses equals 1 half times 9 comma 8 times open parentheses t plus text Δt end text close parentheses squared minus 1 half times 9 comma 8 times t squared

equals 4 comma 9 t squared plus 9 comma 8 t times text Δ end text t plus 4 comma 9 open parentheses text Δ end text t close parentheses squared minus 4 comma 9 t squared equals text Δ end text t open parentheses 9 comma 8 t plus 4 comma 9 text Δt end text close parentheses.

Suy ra: fraction numerator text Δ end text s over denominator text Δ end text t end fraction equals fraction numerator text Δ end text t open parentheses 9 comma 8 t plus 4 comma 9 text Δt end text close parentheses over denominator text Δ end text t end fraction equals 9 comma 8 t plus 4 comma 9 text Δ end text t.

Ta thấy: limit as capital delta t rightwards arrow 0 of fraction numerator text Δ end text s over denominator text Δ end text t end fraction equals limit as capital delta t rightwards arrow 0 of open parentheses 9 comma 8 t plus 4 comma 9 text Δ end text t close parentheses equals 9 comma 8 t.

Vậy v(t) = s’(t) = 9,8t (m/s).

a) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 3 (s) là:

v(3) = 9,8.3 = 29,4 (m/s).

b) Theo đề bài, ta có: v(t) = 9,8t = 39,2, suy ra t = 4.

Vậy vận tốc tức thời của vật đạt 39,2 m/s tại thời điểm t = 4 (s).

Đánh giá

0

0 đánh giá