TOP 10 đề thi Giữa Học kì 2 Toán 11 (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Nguyễn Lê Khánh Vy Ngày: 27-02-2024 Lớp 11

Mua tài liệu 257

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu TOP 10 đề thi Giữa Học kì 2 Toán 11 (Kết nối tri thức 2024) có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết, bám sát chương trình giáo dục phổ thông mới giúp học sinh làm quen với các dạng đề, ôn luyện để đạt kết quả cao trong bài thi Toán 11 Giữa Học kì 2 . Mời các bạn cùng đón xem:

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề thi Giữa Học kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức bản word có lời giải chi tiết:

B1: Gửi phí vào tài khoản 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)

B2: Nhắn tin tới zalo Vietjack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận tài liệu.

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

TOP 10 đề thi Giữa Học kì 2 Toán 11 (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1

Đang cập nhật ...

Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 2

Sở Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Giữa kì 2 - Kết nối tri thức

Năm học 2023 - 2024

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: phút

(Đề số 2)

I. Trắc nghiệm

Câu 1 : Cho a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A
${(a^{m})}^{n} = a^{m + n}$ .
B
${(a^{m})}^{n} = a^{m - n}$ .
C
${(a^{m})}^{n} = a^{m . n}$ .
D
${(a^{m})}^{n} = a^{\frac{m}{n}}$ .

Câu 2 : Chọn đáp án đúng.

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì:

A
$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .
B
$a^{1 - n} = \frac{1}{a^{n}}$ .
C
$a^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{a^{n}}$ .
D
Cả A, B, C đều sai.

Câu 3 : Chọn đáp án đúng:

A
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[6]{a b}$ .
B
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[9]{a b}$ .
C
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a + b}$ .
D
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a b}$ .

Câu 4 : Rút gọn biểu thức $P = \frac{a^{\sqrt{5} + 1} . a^{7 - \sqrt{5}}}{{(a^{3 + \sqrt{2}})}^{3 - \sqrt{2}}}$ (với $a > 0$ ).

A
$a^{2}$ .
B
a.
C
$\frac{1}{a}$ .
D
$2 a^{2}$ .

Câu 5 : Với giá trị nào của a thì $a^{\sqrt{8}} < \frac{1}{a^{- 3}}$ ?

A
$a = \frac{3}{4}$ .
B
$a = \frac{1}{2}$ .
C
$a = 1$ .
D
$a = \frac{3}{2}$ .

Câu 6 : Chọn đáp án đúng.

$\log_{a} b$ xác định khi và chỉ khi:

A
$a > 0$ .
B
$a > 1$ .
C
$a > 0, a \neq 1, b > 0$ .
D
$a > 1, b > 0$ .

XEM NGAY

Câu 7 : Chọn đáp án đúng.

A
$\log_{1000} 1000^{3} = 1000^{3}$ .
B
$\log_{1000} 1000^{3} = \frac{1}{3}$ .
C
$\log_{1000} 1000^{3} = 3$ .
D
$\log_{1000} 1000^{3} = 3^{1000}$ .

Câu 8 : Khẳng định nào sau đây đúng?

A
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{\ln a}$ .
B
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\log a$ .
C
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{\log a}$ .
D
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\ln a$ .

Câu 9 : Giá trị của phép tính $4^{\log_{\sqrt{2}} 3}$ là:

A
81.
B
$9$ .
C
$\frac{1}{81}$ .
D
$\frac{1}{9}$ .

Câu 10 : Chọn đáp án đúng:

A
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = - 1$ .
B
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = 1$ .
C
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = 0$ .
D
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = \frac{1}{2}$ .

Câu 11 : Đồ thị hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng:

A
0.
B
1.
C
2.
D
3.

Câu 12 : Hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ có tập xác định là:

A
$D = (0; + \infty)$ .
B
$D = (- \infty; 0)$ .
C
$D = (- \infty; + \infty)$ .
D
Cả A, B, C đều sai.

Câu 13 : Hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A
$(- 1; + \infty)$ .
B
$[0; + \infty)$ .
C
$[- 1; + \infty)$ .
D
$(1; + \infty)$ .

Câu 14 : Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ?

A
$y = x^{\sqrt{2}}$ .
B
$y = x^{\log 4}$ .
C
$y = {(\frac{π}{2})}^{x}$ .
D
$y = \log_{2} x$ .

Câu 15 : Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình dưới?

Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án năm 2024 (ảnh 1)

A
$y = 3^{x}$ .
B
$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .
C
$y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ .
D
$y = {(\sqrt{2})}^{x}$ .

Câu 16 : Cho hàm số $f (x) = 2^{x}$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn $[- 2; 3]$ . Khi đó:

A
$M . m = 2$ .
B
$M . m = \frac{1}{2}$
C
$M . m = 4$ .
D
$M . m = \frac{1}{4}$ .

Câu 17 : Nghiệm của phương trình $2^{x} = 9$ là:

A
$x = \log_{9} 2$ .
B
$x = \log_{2} 9$ .
C
$x = 2^{- 9}$
D
$x = \frac{9}{2}$ .

Câu 18 : Nghiệm của phương trình $2^{2 x - 1} = 2^{x}$ là:

A
$x = 0$ .
B
$x = 2$ .
C
$x = - 1$ .
D
$x = 1$ .

Câu 19 : Phương trình $π^{x - 3} = \frac{1}{π}$ có nghiệm là:

A
$x = 0$ .
B
$x = 2$ .
C
$x = - 1$ .
D
$x = 1$ .

Câu 20 : Nghiệm của phương trình ${(\frac{1}{16})}^{x + 1} = 64^{2 x}$ là:

A
$x = \frac{- 1}{4}$ .
B
$x = \frac{1}{4}$ .
C
$x = \frac{- 1}{8}$ .
D
$x = \frac{1}{8}$ .

Câu 21 : Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{2}{3}} (x - 3) \geq 1$ là:

A
$S = (3; \frac{11}{3})$ .
B
$S = (3; \frac{11}{3}]$ .
C
$S = [3; \frac{11}{3}]$ .
D
$S = [3; \frac{11}{3})$ .

Câu 22 : Phương trình $\log_{3} x + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (5 x + 12)$ có bao nhiêu nghiệm?

A
0.
B
1.
C
2.
D
Vô số.

Câu 23 : Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{\sqrt{5}})}^{2 x} < 25^{1 - x}$ là:

A
$S = (- 2; + \infty)$ .
B
$S = (2; + \infty)$ .
C
$S = (- \infty; - 2)$ .
D
$S = (- \infty; 2)$ .

Câu 24 : Góc giữa hai đường thẳng a và b có thể bằng:

A
180⁰.
B
150⁰.
C
90⁰.
D
Cả A, B, C đều sai.

Câu 25 : Trong không gian cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Mệnh đề nào dưới đúng?

A
a và b cắt nhau.
B
a và b chéo nhau.
C
a và b cùng nằm trên một mặt phẳng.
D
Góc giữa a và b bằng $90^{0}$ .

Câu 26 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và $\hat{S A B} = 100^{0}$ . Góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng bao nhiêu độ?

A
$100^{0}$ .
B
$90^{0}$ .
C
$80^{0}$ .
D
$70^{0}$ .

Câu 27 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SD. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AC và MN bằng bao nhiêu độ?

A
$100^{0}$ .
B
$90^{0}$ .
C
$80^{0}$ .
D
$70^{0}$ .

Câu 28 : Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước?

A
Vô số.
B
1.
C
2.
D
3.

Câu 29 : Chọn đáp án đúng:

A
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
D
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

Câu 30 : Chọn đáp án đúng.

A
Có hai đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B
Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
D
Có ba đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 31 : Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng P. Góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng bao nhiêu độ?

A
$30^{0}$ .
B
$45^{0}$ .
C
$60^{0}$ .
D
$90^{0}$ .

Câu 32 : Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng nào?

A
(SAD).
B
(SCD).
C
(SAC).
D
(SAB).

Câu 33 : Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Chọn khẳng định đúng.

A
$B C ⊥ A B$ .
B
$B C ⊥ A H$ .
C
$B C ⊥ S C$ .
D
Cả A, B, C đều sai.

Câu 34 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng A’A và D’B’ bằng:

A
$30^{0}$ .
B
$60^{0}$ .
C
$90^{0}$ .
D
$45^{0}$ .

Câu 35 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, $S A ⊥ (A B C D)$ . Chọn đáp án đúng.

A
$(A B, S D) = 90^{0}$ .
B
$(A B, S D) = 85^{0}$ .
C
$(A B, S D) = 70^{0}$ .
D
$(A B, S D) = 75^{0}$ .

II. Tự luận

Câu 1 : Cho hàm số: $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m)}}$ .

a) Với $m = \frac{1}{3}$ , hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định là $R$ .

Câu 2 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh rằng:

a) $S C ⊥ (A H K)$ .

b) $H K ⊥ (S A C)$ và $H K ⊥ A I$ .

Câu 3 : Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn bất phương trình $l o g_{3} \frac{x^{2} - 16}{343} < l o g_{7} \frac{(x - 4) (x + 4)}{27}$ ?

ĐÁP ÁN

I. Trắc nghiệm

Câu 1 Đáp án : C

Với a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý thì ${(a^{m})}^{n} = a^{m . n}$ .

Câu 2:Đáp án : A

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Câu 3: Đáp án : D

Ta có: $\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a b}$ .

Câu 4:Đáp án : B

$P = \frac{a^{\sqrt{5} + 1} . a^{7 - \sqrt{5}}}{{(a^{3 + \sqrt{2}})}^{3 - \sqrt{2}}} = \frac{a^{\sqrt{5} + 1 + 7 - \sqrt{5}}}{a^{(3 + \sqrt{2}) (3 - \sqrt{2})}} = \frac{a^{8}}{a^{7}} = a$

Câu 5:Đáp án : D

Ta có: $\frac{1}{a^{- 3}} = a^{3} = a^{\sqrt{9}}$ nên $a^{\sqrt{8}} < a^{\sqrt{9}}$

Vì $\sqrt{8} < \sqrt{9}$ , mà $a^{\sqrt{8}} < a^{\sqrt{9}}$ nên $a > 1$ . Do đó, $a = \frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6:Đáp án : C

$\log_{a} b$ xác định khi và chỉ khi $a > 0, a \neq 1, b > 0$ .

Câu 7:Đáp án : C

$\log_{1000} 1000^{3} = 3$

Câu 8:Đáp án : B

Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\log a$ .

Câu 9:Đáp án : A

$4^{\log_{\sqrt{2}} 3} = 2^{2 \log_{2^{\frac{1}{2}}} 3} = 2^{4 \log_{2} 3} = 2^{\log_{2} 3^{4}} = 81$

Câu 10:Đáp án : B

$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = \log_{5} 15 - \log_{5} 3 = \log_{5} \frac{15}{3} = \log_{5} 5 = 1$

Câu 11:Đáp án : B

Đồ thị hàm số hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Câu 12:Đáp án : C

Hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ có tập xác định là $D = (- \infty; + \infty)$ .

Câu 13:Đáp án : D

Vì $2 > 1$ nên hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ . Do đó, hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến trên

Câu 14:Đáp án : C

Hàm số $y = {(\frac{π}{2})}^{x}$ được gọi là hàm số mũ.

Câu 15:Đáp án : C

Ta thấy đồ thị hàm số $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ đi qua điểm $(- 1; 3)$ và (0;1) nên hàm số $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ là hàm số cần tìm.

Câu 16:Đáp án : A

Vì $2 > 1$ nên hàm số $f (x) = 2^{x}$ đồng biến trên $R$ .

Do đó, $max_{[- 2; 3]} f (x) = f (3) = 2^{3} = 8; min_{[- 2; 3]} f (x) = f (- 2) = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$

Suy ra: $M = 8, m = \frac{1}{4} \Rightarrow M m = 8. \frac{1}{4} = 2$ .

Câu 17:Đáp án : B

$2^{x} = 9 \Leftrightarrow x = \log_{2} 9$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \log_{2} 9$ .

Câu 18:Đáp án : D

$2^{2 x - 1} = 2^{x} \Leftrightarrow 2 x - 1 = x \Leftrightarrow x = 1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1$

Câu 19:Đáp án : B

$π^{x - 3} = \frac{1}{π} \Leftrightarrow π^{x - 3} = π^{- 1} \Leftrightarrow x - 3 = - 1 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$ .

Câu 20 :Đáp án : A

${(\frac{1}{16})}^{x + 1} = 64^{2 x} \Leftrightarrow 4^{- 2 (x + 1)} = 4^{3.2 x} \Leftrightarrow - 2 x - 2 = 6 x \Leftrightarrow 8 x = - 2 \Leftrightarrow x = \frac{- 1}{4}$

Câu 21 :Đáp án : B

$\log_{\frac{2}{3}} (x - 3) \geq 1 \Leftrightarrow \log_{\frac{2}{3}} (x - 3) \geq \log_{\frac{2}{3}} \frac{2}{3} \Leftrightarrow {\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 3 \leq \frac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 3 \\ x \leq \frac{11}{3} \end{cases}$

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (3; \frac{11}{3}]$ .

Câu 22 :Đáp án : B

Điều kiện: $x > 0$

$\log_{3} x + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (5 x + 12) \Leftrightarrow \log_{3} x (x + 1) = \log_{3} (5 x + 12)$

$\Leftrightarrow x^{2} + x = 5 x + 12 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 (L) \\ x = 6 (T M) \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là $x = 6$

Câu 23 :Đáp án : D

${(\frac{1}{\sqrt{5}})}^{2 x} < 25^{1 - x} \Leftrightarrow 5^{\frac{- 2 x}{2}} < 5^{2 (1 - x)} \Leftrightarrow - x < 2 - 2 x (d o 5 > 1) \Leftrightarrow x < 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S = (- \infty; 2)$ .

Câu 24 :Đáp án : C

Vì góc giữa hai đường thẳng có số đo không vượt quá 90⁰nên góc giữa hai đường thẳng có thể bằng 90⁰.

Câu 25 :Đáp án : D

Trong không gian cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng $90^{0}$ .

Câu 26 :Đáp án : C

Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án năm 2024 (ảnh 2)

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B / / C D$

Do đó, $(S A, C D) = (S A, A B) = 180^{0} - \hat{S A B} = 80^{0}$

Câu 27 :Đáp án : B

Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án năm 2024 (ảnh 3)

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD, do đó, MN//BD.

Vì ABCD là hình thoi nên $A C ⊥ B D$

Vì $A C ⊥ B D$ , MN//BD nên $A C ⊥ M N \Rightarrow (A C, M N) = 90^{0}$ .

Câu 28 :Đáp án : B

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Câu 29 :Đáp án : A

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Câu 30 :Đáp án : C

Có duy nhất một đường thẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 31 :Đáp án : D

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng P nên $d ⊥ d^{'} \Rightarrow (d, d^{'}) = 90^{0}$

Câu 32 :Đáp án : D

Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án năm 2024 (ảnh 4)

Vì $S A ⊥ (A B C D), B C \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B C$

Mà ABCD là hình chữ nhật nên $B C ⊥ A B$

Ta có: $S A ⊥ B C, B C ⊥ A B,$ AB và SA cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB).

Do đó, $B C ⊥ (S A B)$

Câu 33 :Đáp án : B

Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án năm 2024 (ảnh 5)

Vì $S A ⊥ (A B C), B C \subset (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C$ , mà $B C ⊥ S H$ và SA và SH cắt nhau tại S và nằm trong mặt phẳng (SAH) nên $B C ⊥ (S A H)$ .

Lại có: $A H \subset (S A H)$ nên $B C ⊥ A H$ .

Câu 34 :Đáp án : C

Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án năm 2024 (ảnh 6)

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $A A^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ , mà $B^{'} D^{'} \subset (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ nên $A A^{'} ⊥ B^{'} D^{'}$ . Do đó, góc giữa hai đường thẳng A’A và D’B’ bằng $90^{0}$ .

Câu 35 :Đáp án : A

Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án năm 2024 (ảnh 7)

Vì $S A ⊥ (A B C D), A B \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A B$ .

Vì ABCD là hình thang vuông tại A nên $A B ⊥ A D$ .

Ta có: $A B ⊥ A D$ , $S A ⊥ A B$ và SA và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAD)

Do đó, $A B ⊥ (S A D) \Rightarrow A B ⊥ S D$ . Suy ra, $(A B, S D) = 90^{0}$ .

II. Tự luận

Câu 1 :

a) Với $m = \frac{1}{3}$ ta có: $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 1)}}$ .

Hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 1)}}$ xác định khi $\log_{3} (x^{2} - 2 x + 1) > 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 > 1 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array}$

Vậy với $m = \frac{1}{3}$ thì tập xác định của hàm số là: $D = (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

b) Hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m)}}$ có tập xác định là $R$ khi và chỉ khi $\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m) > 0$ với mọi $x \in R$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 3 m > 1$ với mọi $x \in R$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 3 m - 1 > 0$ với mọi $x \in R$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 1 > 0 \\ Δ^{'} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow {(- 1)}^{2} - 3 m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{2}{3}$

Vậy với $m > \frac{2}{3}$ thì hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m)}}$ có tập xác định là $R$ .

Câu 2 :

Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án năm 2024 (ảnh 8)

a) Vì $S A ⊥ (A B C D), D C \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ D C$

Vì ABCD là hình vuông nên $D C ⊥ A D$ .

Mà SA và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAD). Do đó, $D C ⊥ (S A D)$

Lại có: $A K \subset (S A D) \Rightarrow D C ⊥ A K$ . Mặt khác, $A K ⊥ S D \Rightarrow A K ⊥ (S D C) \Rightarrow A K ⊥ S C$

Vì $S A ⊥ (A B C D), B C \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B C$

Vì ABCD là hình vuông nên $B C ⊥ A B$ .

Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, $B C ⊥ (S A B)$

Lại có: $A H \subset (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$ . Mặt khác, $A H ⊥ S B \Rightarrow A H ⊥ (S B C) \Rightarrow A H ⊥ S C$

Ta có: $A K ⊥ S C$ , $A H ⊥ S C$ và AK và AH cắt nhau tại A nằm trong mặt phẳng (AHK) nên $S C ⊥ (A H K)$ .

b) Ta có: $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow {\begin{cases} S A ⊥ A B \\ S A ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \hat{S A B} = 90^{0} \\ \hat{S A D} = 90^{0} \end{cases}$

Tam giác SAB và tam giác SAD có: SA là cạnh chung, $\hat{S A B} = \hat{S A D} = 90^{0}$ , $A B = A D$ .

Do đó, $Δ S A B = Δ S A D (c . g . c) \Rightarrow S B = S D$ , $S H = S K$ .

Suy ra: $\frac{S H}{S B} = \frac{S K}{S D}$ . Do đó, HK//BD (1)

Vì ABCD là hình vuông nên $A C ⊥ B D$ .

Vì $S A ⊥ (A B C D), D B \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ D B$

Mà SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên $D B ⊥ (S A C)$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $H K ⊥ (S A C)$ . Mà $A I \subset (S A C)$ , suy ra $H K ⊥ A I$ .

Câu 3:

TXĐ: $D = (- \infty; - 4) \cup (4; + \infty)$ .

Ta có: $l o g_{3} \frac{x^{2} - 16}{343} < l o g_{7} \frac{(x - 4) (x + 4)}{27}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow l o g_{3} \frac{x^{2} - 16}{343} < l o g_{7} \frac{x^{2} - 16}{27} \\ \Leftrightarrow l o g_{3} 7. [l o g_{7} (x^{2} - 16) - 3] < l o g_{7} (x^{2} - 16) - 3 l o g_{7} 3 \\ \Leftrightarrow (l o g_{3} 7 - 1) . l o g_{7} (x^{2} - 16) < 3 l o g_{3} 7 - 3 l o g_{7} 3 \\ \Leftrightarrow \log_{7} (x^{2} - 16) < \frac{3 (\log_{3} 7 - \log_{7} 3)}{\log_{3} 7 - 1} \end{array}$

$\Leftrightarrow \log_{7} (x^{2} - 16) < \frac{3 (\log_{3} 7 - \frac{1}{\log_{3} 7})}{\log_{3} 7 - 1}$ $\Leftrightarrow \log_{7} (x^{2} - 16) < \frac{3 (\log_{3} 7 + 1)}{\log_{3} 7}$