Cho hai parabol có phương trình y^2 = 2px và y = ax^2 + bx + c (a khác 0)

Nguyễn Trang Ngày: 23-11-2022 Lớp 10

1 K

Với giải Bài 3.24 trang 61 Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài tập cuối chuyên đề 3 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 3.24 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho hai parabol có phương trình y² = 2px và y = ax² + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn .

Lời giải:

+) Xét trường hợp a > 0.

Cho hai parabol có phương trình y^2 = 2px và y = ax^2 + bx + c (a khác 0)

Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax² + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).

Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax² + bx + c có hai nghiệm phân biệt

⇒ b² – 4ac > 0

Xét phương trình đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} + (\frac{b}{a} - 2 p) x - \frac{1}{a} y + \frac{c}{a} = 0.$

có ${[\frac{(\frac{b}{a} - 2 p)}{2}]}^{2} + {[\frac{\frac{1}{a}}{2}]}^{2} - \frac{c}{a} = {(\frac{b}{2 a} - p)}^{2} + {(\frac{1}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$

$= \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b}{a} . p + p^{2} + \frac{1}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}$

$= (\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}) - \frac{b}{a} . p + p^{2} + \frac{1}{4 a^{2}}$

$= \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} - \frac{b}{a} . p + p^{2} + \frac{1}{4 a^{2}}$

Vì b < 0 và b² – 4ac > 0 (chứng minh trên) nên $- \frac{b}{a}$ .p > 0 và $\frac{b 2 - 4 a c}{4 a^{2}}$ > 0

Do đó ${[\frac{(\frac{b}{a} - 2 p)}{2}]}^{2} + {[\frac{\frac{1}{a}}{2}]}^{2} - \frac{c}{a} > 0.$

Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.

+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.

+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:

Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:

y² = 2px và y = ax² + bx + c ⇒ y² – 2px = 0 và ax² + bx + c – y = 0

⇒ y² – 2px = 0 và $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} - \frac{y}{a} = 0$

⇒ $(x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} - \frac{y}{a}) + (y^{2} - 2 p x) = 0$

⇒ $x^{2} + y^{2} + (\frac{b}{a} x - 2 p x) - \frac{y}{a} + \frac{c}{a} = 0$

⇒ $x^{2} + y^{2} + (\frac{b}{a} - 2 p) x - \frac{1}{a} y + \frac{c}{a} = 0.$

Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Từ khóa :

Giải bài tập

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

227

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

264

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

287

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

237