Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

335

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)    M với mọi x thuộc D và tồn tại x0D sao cho f(x0) = M.

 

Kí hiệu: M=maxDfx

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)  m với mọi x thuộc D và tồn tại x0D sao cho f(x0) = m.

Kí hiệu: m=minDfx.

- Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số không có giá trị lớn nhất.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 9 tại x = – 3.

II. Cách tính giá trị  lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

1. Định lí.

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

- Nhận xét:

Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.

Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm xi (xi < xi+ 1) mà tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng (xi;  xi+1). Rõ ràng, giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a; b và tại các điểm xi nói trên.

- Quy tắc:

1. Tìm các điểm x1; x2; …; xn trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

2. Tính f(a); f(x1); f(x2); ….; f(xn); f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

M  =max[a;b]  f(x);m=min[a;  b]  f(x)

- Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn hàm số f(x)  =  1x không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1).

Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như ví dụ sau:

Ví dụ 2. Tìm giá trị lón nhất, nhỏ nhất của hàm số y=  2xx2 trên khoảng 0;  32.

Lời giải:

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bảng biến thiên:

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên trên ta thấy, trên khoảng 0;  32 hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 và tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất Max0;  32  f(x)=f(1)  =1.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=x410x22 trên đoạn 0;9 bằng:

A. -2

B. -11

C. -26

D. -27

Lời giải

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn D.

Bài 2 Trên đoạn [2;1], hàm số y=x33x21 đạt giá trị lớn nhất tại điểm:

A. x=2

B. x=0

C. x=1

D. x=1 .

Lời giải

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2;1] là -1, tại  x =0.

Chọn B.

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất  của hàm số fx=x1+3x2x2+4x3

A. M=0.

B. M=2.

C. M=2.

D. M=94.

Lời giải

TXĐ: Đặt  D=1;3.

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn C.

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số fx=x24x+5 trên đoạn 6;6.

A. M=0.

B. M=9

C. M=55

D. M=110.

Lời giải

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn C.

Lưu ý: Hàm trị tuyệt đối không âm.

Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số fx=2cos3x92cos2x+3cosx+12

A. m=24.

B. m=12

C. m=9.

D. m=1

Lời giải

Đặt t=cosx 1t1.

Khi đó, bài toán trở thành Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số gt=2t392t2+3t+12 trên đoạn 1;1''.

Đạo hàm:

g't=6t29t+3g't=0t=11;1t=121;1.

Ta có :

g1=9g12=98g1=1min1;1gt=g1=9minxfx=9.

Chọn C.

Bài 6 Giá trị lớn nhất của hàm số fx=xm2x+1 trên đoạn 0;1 bằng:

A1+m22

Bm2

C1m22

Dm2

Lời giải:

Đạo hàm :

f'x=1+m2x+12>0,x0;1

Suy ra hàm số fx đồng biến trên [ 0;1]

0;1max0;1fx=f1=1m22.

Chọn C.

Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số fx=x32x24x+1  trên đoạn 1;3.

A. max1;3fx=6727.

B. max1;3fx=2.

C. max1;3fx=7.

D. max1;3fx=4.

Đáp án: B

Lời giải:

 f'(x)=3x2-4X-4f'(x)=0

x=21;3x=231;3

Ta có f(1)=-4f(2)=-7f(3)=-2

max1:3 f(x)=-2

Cách 2. Sử dụng chức năng MODE 7 và nhập hàm fX=X32X24X+1 với thiết lập Start 1, End 3 Step 0.2.

Quan sát bảng giá trị F ( X ) ta thấy giá trị lớn nhất F ( X ) bằng - 2  khi X = 3

Bài 8  Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=2x3+3x21 trên đoạn 2;12. Tính P = M - m.

A. P=5.

B. P=1.

C. P=4.

D. P=5.

Bài 9 Biết rằng hàm số fx=x33x29x+28 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;4 tại x0 . Tính  P=x0+2018.

A. P=3.

B. P=2019.

C. P=2021.

D. P=2018.

Đáp án: C

Lời giải:

Đạo hàm f'(x)=3x2-6x-9

f'(x)=0

x=-10;4x=30;4

Ta có  f(0)=28f(3)=1f(4)=8

min0;4 f(x)=1khi x = 3 = x0

P=2021

Bài 10. Xét hàm số fx=43x32x2x3  trên 1;1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x=1  và giá trị lớn nhất tại x=1.

B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x=1 và giá trị lớn nhất tại x=1.

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x=1 nhưng không có giá trị lớn nhất.

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại x=1.

Đáp án: B

Lời giải:

Đạo hàm f'(x)=-4x2-4x-1

=-(2x-1)20xR

Suy ra hàm số f ( x ) nghịch biến trên đoạn -1 , 1 nên có giá trị nhỏ nhất tại  x = 1  và giá trị lớn nhất tại  x = - 1.

Bài 11 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=x2+3x1 trên đoạn.

A.min2;4fx=6.

B.min2;4fx=22;4.

C.min2;4fx=3.

D.min2;4fx=193.

Đáp án: A

Giải thích:

Đạo hàm 

 f'x=x22x3x12

f'(x)=0

[x=1[2;4]x=3[2;4]

Ta có  f2=7f3=6f4=193

min[2;4]f(x)=6.

Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7).

Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.

Bước 2: Nhập  fX=X2+3X1.

Sau đó ấn phím = (nếu có g(X) thì ấn tiếp phím =) sau đó nhập  Start=2End=4Step=0.2.

(Chú ý: Thường ta chọn  Step=EndStart10)

Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy min2;4fx=f3=6.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1 Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x2 + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) y = x3(x+ 3)2 trong các khoảng (12; 32) và (32; 4).

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Lời giải:

a) Tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

Xét dấu đạo hàm:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

b) Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 43.

Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Xét dấu đạo hàm:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Bài 2 Giả sử f(x) đạt cực đại tại xo. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 khi Δx 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.

Bài 3

a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

• y = -2x + 1;

• y = x3(x-3)2 (H.8).

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Lời giải:

a,Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị.

Hàm số y = x3 (x-3)2 đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

b, Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

Bài 4 Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Lời giải:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|. Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0.

Bài 5 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm s f(x) = x(x2 – 3).

Lời giải:

1. TXĐ: D = R

2. f’(x) = 3x2 – 3. Cho f’(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

3. Ta có bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.

Bài 6 Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

b) y = x+ 2x2 - 3;

c) y = x + 1x

d) y = x3(1 - x)2;

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

y' = 6x2 + 6x - 36

y' = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Giải bài 1 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Kết luận :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.

b) TXĐ: D = R

y'= 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1) = 0;

y' = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên:

Giải bài 1 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3

       hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: D = R \ {0}

y' = 1.  1x2

y' = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên:

Giải bài 1 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; y = -2;

       hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2.

d) TXĐ: D = R

y'= (x3)’.(1 – x)2 + x3.[(1 – x)2]’

= 3x2.(1 – x)2 + x3.2(1 – x).(1 – x)’

= 3x2(1 – x)2 - 2x3(1 – x)

= x2.(1 – x)(3 – 5x)

y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 35

Bảng biến thiên:

Giải bài 1 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 35

       hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1.

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D = R.

y' = 0 ⇔ x = 12

Bảng biến thiên:

Giải bài 1 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 12

Bài 7 Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x4 - 2x2 + 1 ;

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;

d) y = x5 - x3 - 2x + 1

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

+ y' = 4x3 - 4x

y' = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

+ y" = 12x2 - 4

y"(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

y"(1) = 8 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

y"(-1) = 8 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) TXĐ: D = R

+ y' = 2cos2x – 1;

Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

+ y" = -4.sin2x

Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 (k ∈ Z) là các điểm cực đại của hàm số.

Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 (k ∈ Z) là các điểm cực tiểu của hàm số.

c) TXĐ: D = R

+ y’ = cos x – sin x.

Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

+ y’’ = -sin x – cos x = Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 là các điểm cực đại của hàm số.

Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 là các điểm cực tiểu của hàm số.

d) TXĐ: D = R

+ y'= 5x4 - 3x2 - 2

y' = 0 ⇔ 5x4 – 3x2 – 2 = 0

Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇔ x = ±1.

+ y" = 20x3 - 6x

y"(-1) = -20 + 6 = -14 < 0

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

y"(1) = 20 – 6 = 14 > 0

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 8 Hàm số nào sau đây không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn [-2;2]?

Lời giải:

TXĐ: D=2;2. Đạo hàm f'x=1x2x2

f'x=0

x2x2=1

2x2=x

 {x02x2=x2

x=1[2;2].

Ta có  f2=2f1=2f2=2

m=2.

Bài 9 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - 2x2 +mx + 1 đạt cực đại tại x = 1.

Lời giải:

Ta có y' = 3x2 - 4x + m

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì y'(1) = 0 ⇒ 3.12 - 4.1 + m = 0 ⇒ m = 1

Với m = 1 thì hàm số đã cho trở thành y = x3 - 2x2 + x + 1

Ta có y' = 3x2 - 4x + 1, y'' = 6x - 4 Vì y''(1) = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Do vậy không có m thỏa mãn.

Bài 10 Tìm điểm cực đại của hàm số y = sin2x + 3cosx + 1 với x ∈ (0; π)

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho hàm số y = x4 - 2(m - 1)x2 + m2. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông

Bài 2 Cho hàm số f có đạo hàm là f'(x) = x(x+1)2(x-2)4 với mọi x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm số f là?

Bài 3 Điểm cực đại của hàm số y = -x3 - 3x2 + 1 là?

Bài 4 Điểm cực tiểu của hàm số y = x4 + 4x2 + 2 là?

Bài 5 Tìm a, b, c sao cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c có giá trị bằng 0 khi x = 1 và đạt cực trị khi bằng 0 khi x = -1 .

Bài 6 Giá trị của m để hàm số y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + 2 đạt cực đại tại x = 2 là?

Bài 7 Với giá trị nào của m, hàm số y = (x - m)3 - 3x đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0?

Bài 8 Với giá trị nào của m, hàm số y = x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 - 4m + 1)x + 2(m2 + 1) có hai điểm cực trị x1,x2 thỏa mãn

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Bài 9 Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x3 - mx2 + 3(m2 - 1)x - m 3 + m có điểm cực đại B, điểm cực tiểu C thỏa mãn OC = 3OB, với O là gốc tọa độ?

Bài 10 Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + m có hai điểm cực trị B, C thẳng hàng với điểm A(-1;3)?

Từ khóa :
Giải bài tập
Đánh giá

0

0 đánh giá