Toptailieu.vn xin giới thiệu 50 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án) chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 12 ôn luyện kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Nguyên hàm

Câu 1: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

A. Hàm số y = 1/x có nguyên hàm trên (-∞; +∞).

B. 3x² là một số nguyên hàm của x³ trên (-∞; +∞).

C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).

D. 1/x + C là họ nguyên hàm của ln⁡x trên (0;+∞).

Lời giải:

Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .

Phương án A sai vì y=1/x không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).

Phương án B sai vì 3x² là đạo hàm của x³.

Phương án D sai vì 1/x là đạo hàm của ln⁡x trên (0; +∞).

Đáp án cần chọn là:C

Câu 2: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin⁡2x ?

A. x² + (1/2).cos⁡2x

B. x² + cos² x

C. x² - sin²x

D. x² + cos⁡2x .

Lời giải:

Ta có

   ∫(2x-sin⁡2x)dx=2∫xdx-∫sin⁡2xdx

D không phải là nguyên hàm của f(x). 

Đáp án cần chọn là:D

Câu 3: Tìm I=∫(3x² - x + 1)e^xdx

A. I = (3x² - 7x +8)e^x + C

B. I = (3x² - 7x)e^x + C

C. I = (3x² - 7x +8) + e^x + C

D. I = (3x² - 7x + 3)e^x + C

Lời giải:

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

Đặt u = 3x² - x + 1 và dv = e^xdx ta có du = (6x - 1)dx và v = e^x . Do đó:

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - ∫(6x - 1)e^xdx

Đặt u₁ = 6x - 1; dv₁ = e^xdx Ta có: du₁ = 6dx và v₁ = e^x .

Do đó ∫(6x - 1)e^xdx = (6x - 1)e^x - 6∫e^xdx = (6x - 1)e^x - 6e^x + C

Từ đó suy ra

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - (6x - 7)e^x + C = (3x² - 7x + 8)e^x + C

Đáp án cần chọn là:A

Câu 4: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng

A. 10m/s

B. 11m/s

C. 12m/s

D. 13m/s.

Lời giải:

Vận tốc của vật bằng

với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là :

v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)

khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s) .

Đáp án cần chọn là:D

Câu 5: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .

A. I = sin(4x + 2) + C

B. I = - sin(4x + 3) + C

C. I = (1/4).sin(4x + 3) + C

D. I = 4sin(4x + 3) + C

Lời giải:

Đặt u = 4x + 3

⇒ du = 4dx ⇒ dx = 1/4 du và cos(4x+3)dx được viết thành

Đáp án cần chọn là:C

Câu 6: Tìm I = ∫sin5xcosxdx .

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:C

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^2x.3^x.7^x .

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:B

Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số

A. cot2x + C

B. -2cot2x + C

C. 2cot2x + C

D. -cot2x + C .

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:B

Câu 10: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:B

Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 tanx + cotx)² là:

A. 2tanx - cotx - x + C

B. 4tanx + cotx - x + C

C. 4tanx - cotx + x + C

D. 4tanx - cotx - x + C

Lời giải:

∫(2tanx + cotx)²dx = ∫(4tan²x + 2tanx.cotx + cot²x)dx

= ∫ [4(tan²x + 1) + (cot²x + 1) - 1]dx

= 4tanx + cotx - x + C

Đáp án cần chọn là:B

Câu 12: Biết rằng: f'(x) = ax + b/x², f(-1) = 2, f(1) = 4, f'(1) = 0

Giá trị biểu thức ab bằng :

A.0

B.1

C.-1

D. 1/2 .

Lời giải:

Ta có:

Từ điều kiện đã cho ta có phương trình sau:

Đáp án cần chọn là:C

Câu 13: Cho các hàm số:

với x > 3/2. Để F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì giá trị của a,b,c lần lượt là:

A. a = 4; b = 2; c= 1

B. a = 4; b = -2; c = -1

C. a = 4; b = -2; c = 1

D. a = 4; b = 2; c = -1 .

Lời giải:

Ta có:

Đáp án cần chọn là:C

Câu 14: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng

và lúc đầu đám vi khuẩn có 250000 con. Sau 10 ngày số lượng vi khuẩn xấp xỉ bằng:

A. 264334

B. 263334

C.264254

D.254334.

Lời giải:

Số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t bằng

Với t = 0 ta có: N(0) = 250000,

Vậy N(t) = 8000.ln(1 + 0,5t) + 250000

khi đó N(10) ≈ 264334.

Đáp án cần chọn là:A

Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x

A. ∫sin2xdx = − cos2x + C .

B. ∫sin2xdx =  cos2x + C .

C. ∫sin2xdx = cos2x +C.

D. ∫sin2xdx = − cos2x + C.

Lời giải:

∫sin2xdx =  ∫sin2xd(2x) = − cos2x + C

Đáp án cần chọn là:A

Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(3x +  ) .

A. ∫f(x)dx =  sin(3x + ) + C .

B. ∫f(x)dx = sin(3x + ) + C .

C. ∫f(x)dx = − sin(3x + ) + C .

D. ∫f(x)dx =  sin(3x + ) + C .

Lời giải:

∫f(x)dx =  ∫cos(3x +  )d(3x +  ) =  sin(3x+ ) + C

Đáp án cần chọn là:A

Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + tan² .

A. ∫f(x)dx = 2tan +C.

B. ∫f(x)dx = tan +C.

C. ∫f(x)dx =  tan +C.

D. ∫f(x)dx = -2tan +C.

Lời giải:

f(x) = 1+ tan² = nên = 2tan + C

Đáp án cần chọn là:A

Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số  .

A. ∫f(x)dx = −cot(x+ ) + C .

B. ∫f(x)dx = − cot(x+ ) + C .

C. ∫f(x)dx = cot(x+ ) + C.

D. ∫f(x)dx =  cot(x+ ) + C.

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin³x.cosx .

A. ∫f(x)dx =  + C .

B. ∫f(x)dx = − + C .

C. ∫f(x)dx =  + C .

D. ∫f(x)dx = − + C .

Lời giải:

∫sin³x.cosx.dx = ∫sin³x.d(sinx) =  + C

Đáp án cần chọn là:A

Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x.3^-2x .

A. ∫f(x)dx =  .

B. ∫f(x)dx =  .

C. ∫f(x)dx =  .

D. ∫f(x)dx =  .

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:C

Câu 21: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x(3+e^-x) là

A. F(x) = -3e^x-x+C .

B. F(x) = 3e^x+e^xlne^x+C .

C. F(x) = 3e^x - +C.

D. F(x) = 3e^x +x+C.

Lời giải:

F(x) = ∫e^x(3+e^-x)dx = ∫(3e^x+1)dx = 3e^x+x+C

Đáp án cần chọn là:D

Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =  .

A. ∫f(x)dx =  e^2x-1 + C.

B. ∫f(x)dx = e^2x-1 + C.

C. ∫f(x)dx =  e^2x-1 + C.

D. ∫f(x)dx =  + C.

Lời giải:

∫ dx = ∫e^2x-1dx = ∫ e^2x-1d(2x-1) =  e^2x-1 + C

Đáp án cần chọn là:C

Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f(x) = là

A. ∫f(x)dx = 2 + C.

B. ∫f(x)dx =  + C.

C. ∫f(x)dx =  + C.

D. ∫f(x)dx = -2 + C.

Lời giải:

∫ dx =  = + C

Đáp án cần chọn là:B

Câu 24: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =  .

A. ∫f(x)dx = 2 + C

B. ∫f(x)dx = - + C

C. ∫f(x)dx = -2 + C

D. ∫f(x)dx = -3 + C

Lời giải:

∫ dx = - = -2 + C

Đáp án cần chọn là:C

Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =  .

A. ∫f(x)dx =   + C

B. ∫f(x)dx =  (2x+1) + C

C. ∫f(x)dx = -  + C

D. ∫f(x)dx =  (2x+1) + C

Lời giải:

Đặt t= ⇒dt = ⇒dx dx=tdt

⇒∫ dx = ∫t²dt =  + C =  (2x+1) + C

Đáp án cần chọn là:D

Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =  .

A. ∫f(x)dx =  (5-3x) + C

B. ∫f(x)dx = - (5-3x) + C

C. ∫f(x)dx = - (5-3x) + C

D. ∫f(x)dx = -  + C

Lời giải:

Đặt 

Đáp án cần chọn là:C

Câu 27: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =  .

A. ∫f(x)dx = - (x+2) + C

B. ∫f(x)dx =  (x+2) + C

C. ∫f(x)dx =  (x+2) + C

D. ∫f(x)dx =   + C

Lời giải:

Đặt t =  ⇒ dt =  (x-2)^-2/3dx ⇒ dx = 3t²dt

Khi đó ∫ dx = ∫t.3t²dt = ∫3t³dt =  t⁴ + C =  (x-2) + C

Đáp án cần chọn là:B

Câu 28: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =  .

A. ∫f(x)dx = -(1-3x) + C

B. ∫f(x)dx = - (1-3x) + C

C. ∫f(x)dx =  (1-3x) + C

D. ∫f(x)dx = - (1-3x) + C

Lời giải:

Đặt t =  = (1-3x)^1/3

⇒ dt =  .(-3).(1-3x)^-2/3dx = -(1-3x)^-2/3dx ⇒ dx = -t²dt

Khi đó ∫ dx =∫t.(-t²)dt = ∫-t³dt = - t⁴ + C = - (1-3x) + C

Đáp án cần chọn là:D

Câu 29: Tìm nguyên hàm của hàm số I = ∫ dx

A: x² - 3x + 4ln|x-1| + C

B. x² + 3x - 4ln|x-1| + C

C: x² + 3x + 4ln|x-1| + C

D: x² - 3x - 4ln|x-1| + C

Lời giải:

Ta có:  = 2x + 3 + 

Suy ra: I = ∫(2x + 3 +  )dx = x² + 3x + 4ln|x-1| + C

Đáp án cần chọn là:C

Câu 30: Tìm nguyên hàm của hàm số J = ∫ dx

A.  -  + x - 2ln|x+1| + C

B.  -  + 2x - 2ln|x+1| + C

C.  -  + x + 2ln|x+1| + C

D.  +  + x - 2ln|x+1| + C

Lời giải:

Ta có:  =  = x² - x + 1 - 

Suy ra: J = ∫(x² - x + 1 -  )dx =  -  + x - 2ln|x+1| + C

Đáp án cần chọn là:A

Câu 31: Tìm nguyên hàm của hàm số K = ∫ dx

A.  -  + 2ln|x| +  + C

B.  -  - 3ln|x| +  + C

C.  +  + 2ln|x| +  + C

D.  -  + 3ln|x| +  + C

Lời giải:

Ta có :  = x³ - 3x +  - 

Suy ra K = ∫(x³ - 3x +  -  )dx =  -  + 3ln|x| +  + C

Đáp án cần chọn là:D

Câu 32: Biết một nguyên hàm của hàm số f(x) =  + 1 là hàm số F(x) thỏa mãn F(-1) =  . Khi đó F(x) là hàm số nào sau đây?

A. F(x) = x -   + 3

B. F(x) = x -   - 3

C. F(x) = x -   + 1

D. F(x) = 4 -  

Lời giải:

F(x) = ∫( + 1)dx =  + x = x -   + C

F(-1) =  ⇒ C = 3 ⇒ F(x) = x -   + 3

Đáp án cần chọn là:A

Câu 33: Biết F(x) = 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) =  . Khi đó giá trị của a bằng

A. 2

B. 3

C. -3

D. 

Lời giải:

F'(x) = (6 )' =  ⇒ a = -3

Đáp án cần chọn là:C

Câu 34: Hàm số f(x) = x³ - x² + 3 +  có nguyên hàm là

A. F(x) =  -  + 3x + 2ln|x| + C .

B. F(x) = x⁴ -  + 3x + ln|x| + C .

C. F(x) = 3x² - 2x -  + C .

D.Đáp án khác

Lời giải:

F(x) = ∫(x³ - x² + 3 +  )dx =  -  + 3x + ln|x| + C

Đáp án cần chọn là:D

Câu 35: Họ nguyên hàm của hàm số I = ∫(e^x + 2e^-x)² là

A.  e^2x + 4x + 2e^-2x + C

B.  e^2x + 4x - 2e^-2x + C

C. e^2x + 4x + 2e^-2x + C

D.  e^2x - 4x - 2e^-2x + C

Lời giải:

Ta có: (e^x + 2e^-x)² = e^2x + 4 + 4e^-2x

Suy ra: I = ∫(e^2x + 4 + 4e^-2x)dx =  e^2x + 4x - 2e^-2x + C

Đáp án cần chọn là:B

Câu 36: Hàm số F(x) = 7sinx - cosx + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. f(x) = sinx - 7cosx + x.

B. f(x) = -sinx + 7cosx.

C. f(x) = sinx + 7cosx.

D. f(x) = -sinx - 7cosx.

Lời giải:

Ta có: F'(x) = 7cosx + sinx

Đáp án cần chọn là:C

Câu 37: Tính ∫ dx là

A. tanx - cos2x + C .

B. cot2x + C .

C. tan2x - x + C.

D. tanx - cosx + C .

Lời giải:

Ta có: ∫ dx = ∫ dx = tanx - cosx + C

Đáp án cần chọn là:D

Câu 38: Tìm hàm số f(x) biết: f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5

A. x² + x + 3

B. x² - x + 2

C. x² + 2x + 1

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có f(x) = ∫(2x+1)dx = x² + x + C

Vì f(1) = 5 nên C = 3;

Vậy : f(x) = x² + x + 3

Đáp án cần chọn là:A

Câu 39: Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2 – x² và f(2) = 7/3;

A. f(x) = 2x +  + 1

B. f(x) = x -  - 2

C. f(x) = 2x -  + 1

D. f(x) = 2x -  + 2

Lời giải:

Ta có f(x) = ∫(2 - x²)dx = 2x -  + C

Vì f(2) = 7/3 nên C = 1; Vậy: f(x) = 2x -  + 1 ;

Đáp án cần chọn là:C

Câu 40: Hàm số F(x) = 3x² -  +  - 1 có một nguyên hàm là

A. f(x) = x³ - 2√x -  - x .

B. f(x) = x³ - √x -  - x .

C. x³ - 2√x + 

D. x³ -  √x -  - x .

Lời giải:

Ta có: ∫F(x)dx = ∫(3x² -  +  - 1)dx = x³ - 2√x -  - x + C

Đáp án cần chọn là:A

Câu 41: Hàm số f(x) =  có một nguyên hàm F(x) bằng

A.  .

B. - + 1 .

C.  .

D.  + 2.

Lời giải:

∫f(x)dx = ∫ ∫ d(sinx) =  + C

Cho C = 2

Đáp án cần chọn là:D

Câu 42: Kết quả tính ∫2x dx bằng

A.   + C.

B. -  + C .

C. -  + C.

D.Tất cả sai

Lời giải:

Đặt t =  ⇒t² = 5 - 4x² ⇒ 2tdt = -8xdx ⇒ tdt = -4xdx

Ta có: ∫2x dx = - ∫t²dt = - t³ + C = -  + C

Đáp án cần chọn là:C

Câu 43: Kết quả ∫ cosxdx bằng

A. x + C .

B. cosx. + C .

C.  + C.

D.  + C.

Lời giải:

Ta có: ∫ cosxdx = ∫ d(sinx) =  + C

Đáp án cần chọn là:C

Câu 44: Tính ∫tanxdx bằng

A. -ln|sinx| + C .

B. -ln|cosx| + C .

C.  + C.

D. - + C.

Lời giải:

Ta có: ∫tanxdx = ∫ dx = -∫ d(cosx) = -ln|cosx| + C

Đáp án cần chọn là:B

Câu 45: Tính ∫cotxdx bằng

A. ln|cosx| + C.

B. ln|sinx| + C .

C. - + C.

D.  - C .

Lời giải:

Ta có: ∫cotxdx = ∫ dx = -∫ d(sinx) = ln|sinx| + C

Đáp án cần chọn là:B

Câu 46: Nguyên hàm của hàm số y =  là

A.  x³ +  x² + x + ln|x-1| + C .

B.  x³ +  x² + x + ln|x+1| + C .

C.  x³ +  x² + x + ln|x-1| + C.

D.  x³ +  x² + x + ln|x-1| + C.

Lời giải:

Ta có:  = x² + x + 1 + 

∫f(x)dx = ∫(x² + x + 1 +  )dx =  x³ +  x² + x + ln|x-1| + C

Đáp án cần chọn là:A

Câu 47: Một nguyên hàm của hàm số f(x) =  là

A.  + 3x + 6ln|x+1| + 3 .

B.  + 3x + 6ln|x+1| .

C.  + 3x - 6ln|x+1| .

D.  - 3x + 6ln|x+1| + 5 .

Lời giải:

f(x) =  = x - 3 + 

∫f(x)dx = ∫( = x - 3 +  )dx =  - 3x + 6ln|x+1| + C

Chọn C = 5

Đáp án cần chọn là:D

Câu 48: Kết quả tính ∫ dx bằng

A. - ln + C .

B. - ln + C .

C.  ln + C .

D.  ln + C .

Lời giải:

Ta có:  =  ( -  )

Nên ∫f(x)dx = ∫ ( -  )dx =  ln + C

Đáp án cần chọn là:D

Câu 49: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =  là

A. F(x) =  ln + C .

B. F(x) =  ln + C.

C. F(x) = ln + C .

D. F(x) = ln|x² + x - 2| + C .

Lời giải:

f(x) =  =  ( -  )

∫f(x)dx =  (ln|x-1| - ln|x+2|) + C = F(x) =  ln + C

Đáp án cần chọn là:A

Câu 50: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =  là

A. F(x) = - - 2ln|x| + x + C .

B. F(x) = - - 2lnx + x + C .

C. F(x) =  - 2ln|x| + x + C .

D. F(x) = - - 2ln|x| - x + C .

Lời giải:

f(x) =  =  =  - 2. + 1

Nên ∫f(x)dx = - - 2ln|x| + x + C

Đáp án cần chọn là:A