Nguyên hàm (Lý thuyết + 50 bài tập có lời giải)

A. Tóm tắt lý thuyết

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm

    Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

    Định lí:

    1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

    2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

    Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C

2. Tính chất của nguyên hàm

    Tính chất 1: (∫f(x)dx)' = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + C

    Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0.

    Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

    Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

 

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. Phương pháp đổi biến số

    Định lí 1: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

    ∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C

    Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

    Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và y = y(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

    ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx

    Hay ∫udv = uv - ∫vdu

B. Bài tập trắc nghiệm 

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + 3x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm.

⟶ Chọn A

Câu 2. Hàm số F(x) = 5x³ + 4x² – 7x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. f(x) = 15x² + 8x – 7

B. f(x) = 5x² + 4x + 7

C. 

D. f(x) = 5x² + 4x – 7

Hướng dẫn giải:

Lấy đạo hàm của hàm số F(x) ta được kết quả.

⟶ Chọn A

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số:  là

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm.

⟶ Chọn A

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

f(x) = (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2. Sử dụng bảng nguyên hàm.

⟶ Chọn A

Câu 5. Nguyên hàm F(x) của hàm số  là hàm số nào?

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm.

⟶ Chọn A

Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x

A. 

B. 

C. ∫sin2x dx = cos2x + C

D. ∫sin2x dx = –cos2x + C

Hướng dẫn giải:

⟶ Chọn A

Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

⟶ Chọn A

Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

 nên 

⟶ Chọn A

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

⟶ Chọn A

Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin³x․cosx

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

⟶ Chọn A

Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x – e^–x

A. ∫f(x) dx = e^x + e^–x + C

B. ∫f(x) dx = –e^x + e^–x + C

C. ∫f(x) dx = e^x – e^–x + C

D. ∫f(x) dx = –e^x – e^–x + C

Hướng dẫn giải:

∫(e^x – e^–x) dx = e^x + e^–x + C

⟶ Chọn A

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x․3^–2x

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

⟶ Chọn A

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x (3 + e^–x) là

A. F(x) = 3e^x + x + C

B. F(x) = 3e^x + e^x lne^x + C

C. 

D. F(x) = 3e^x – x + C

Hướng dẫn giải:

F(x) = ∫e^x (3 + e^–x) dx = ∫(3e^x + 1) dx = 3e^x + x + C

⟶ Chọn A

Câu 14. Hàm số F(x) = 7e^x – tanx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

⟶ Chọn A

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

⟶ Chọn A

Câu 16. Nguyên hàm của hàm số  là

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

⟶ Chọn A

Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

⟶ Chọn A

Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Đặt 

⟶ Chọn A

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Đặt 

⟶ Chọn A

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Đặt 

Khi đó 

⟶ Chọn A

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Đặt 

Khi đó 

⟶ Chọn A

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

⟶ Chọn A

Câu 23. Hàm số  là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

⟶ Chọn A

Câu 24. Biết một nguyên hàm của hàm số  là hàm số F(x) thỏa mãn . Khi đó F(x) là hàm số nào sau đây?

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

⟶ Chọn A

Câu 25. Biết  là một nguyên hàm của hàm số . Khi đó giá trị của a bằng

A. –3

B. 3

C. 6

D. 

Hướng dẫn giải:

⟶ Chọn A

Câu 26. Tính F(x) = ∫xsinx dx bằng

A. F(x) = sin x – xcos x + C

B. F(x) = xsin x – cos x + C

C. F(x) = sin x + xcos x + C

D. F(x) = xsin x + xcos x + C

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm x₀ thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng

Vậy F(x) = sin x – xcos x + C

⟶ Chọn A

Câu 27. Tính ∫xln²x dx. Chọn kết quả đúng:

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.

Phương pháp trắc nghiệm

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F’(x) = f(x) ⇔ F’(x) – f(x) = 0

Nhập máy tính . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x₀ trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:

Do đó 

⟶ Chọn A

Câu 28. Tính F(x) = ∫x sinx cosx dx. Chọn kết quả đúng:

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Biến đổi  rồi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F’(x) = f(x) ⇔ F’(x) – f(x) = 0

Nhập máy tính . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x₀ trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:

⟶ Chọn A

Câu 29. Tính . Chọn kết quả đúng

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với 

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F’(x) = f(x) ⇔ F’(x) – f(x) = 0

Nhập máy tính . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x₀ trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:

⟶ Chọn A

Câu 30. Tính . Chọn kết quả đúng

A. F(x) = x․tan x + ln|cos x| + C

B. F(x) = –x․cot x + ln|cos x| + C

C. F(x) = –x․tan x + ln|cos x| + C

D. F(x) = –x․cot x – ln|cos x| + C

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với 

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F’(x) = f(x) ⇔ F’(x) – f(x) = 0

Nhập máy tính . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x₀ trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:

⟶ Chọn A

Câu 31. Tính F(x) = ∫x²cos x dx. Chọn kết quả đúng

A. F(x) = (x² – 2) sin x + 2x cos x + C

B. F(x) = 2x² sin x – x cos x + sin x + C

C. F(x) = x² sin x – 2x cos x + 2sin x + C

D. F(x) = (2x + x²) cos x – x sin x + C

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần với u = x²; dv = cosx dx, sau đó u₁ = x; dv₁ = sinx dx

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F’(x) = f(x) ⇔ F’(x) – f(x) = 0

Nhập máy tính . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x₀ trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:

⟶ Chọn A

Câu 32. Tính F(x) = ∫x sin2x dx. Chọn kết quả đúng

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u = x; dv = sin2x dx

Phương pháp trắc nghiệm:

Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng máy tính:

Nhập  , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm x₀ bất kỳ, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn đáp án đó.

⟶ Chọn A

Câu 33. Hàm số F(x) = x.sin x + cos x + 2017 là một nguyên hàm của hàm số nào?

A. f(x = x․cos x

B. f(x) = x․sin x

C. f(x) = –x․cos x

D. f(x) = –x․sin x

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Tính F’(x) có kết quả trùng với đáp án chọn.

Phương pháp trắc nghiệm:

Sử dụng định nghĩa F’(x) = f(x) ⇔ F’(x) – f(x) = 0

Nhập máy tính . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x₀ trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn

⟶ Chọn A

Câu 34. Tính . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u = 1 + ln (x + 1);  hoặc biến đổi rồi đặt u = ln (x + 1); 

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra bằng định nghĩa.

Câu 35: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

A. Hàm số y = 1/x có nguyên hàm trên (-∞; +∞).

B. 3x² là một số nguyên hàm của x³ trên (-∞; +∞).

C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).

D. 1/x + C là họ nguyên hàm của ln⁡x trên (0;+∞).

Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .

Phương án A sai vì y=1/x không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).

Phương án B sai vì 3x² là đạo hàm của x³.

Phương án D sai vì 1/x là đạo hàm của ln⁡x trên (0; +∞).

Vậy chọn đáp án C.

Câu 36: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin⁡2x ?

x² + (1/2).cos⁡2x     B. x² + cos² x     C. x² - sin²x     D. x² + cos⁡2x .

Ta có

   ∫(2x-sin⁡2x)dx=2∫xdx-∫sin⁡2xdx

D không phải là nguyên hàm của f(x). Vậy chọn đáp án D.

Câu 37: Tìm nguyên hàm của

 

Với x ∈ (0; +∞) ta có

Vậy chọn đáp án C.

Câu 38:

 

Vậy chọn đáp án B.

Câu 39:

Đặt u = e^x + 1 ⇒ u' = e^x. Ta có

Câu 40: Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?

Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:

Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu

Câu 41: Tìm I=∫(3x² - x + 1)e^xdx

A. I = (3x² - 7x +8)e^x + C     B. I = (3x² - 7x)e^x + C

C. I = (3x² - 7x +8) + e^x + C    D. I = (3x² - 7x + 3)e^x + C

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

Đặt u = 3x² - x + 1 và dv = e^xdx ta có du = (6x - 1)dx và v = e^x . Do đó:

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - ∫(6x - 1)e^xdx

Đặt u₁ = 6x - 1; dv₁ = e^xdx Ta có: du₁ = 6dx và v₁ = e^x .

Do đó ∫(6x - 1)e^xdx = (6x - 1)e^x - 6∫e^xdx = (6x - 1)e^x - 6e^x + C

Từ đó suy ra

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - (6x - 7)e^x + C = (3x² - 7x + 8)e^x + C

Vậy chọn đáp án A.

Câu 41: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng

A. 10m/s    B. 11m/s    C. 12m/s    D. 13m/s.

Vận tốc của vật bằng

với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là :

v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)

khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s) .

Vậy chọn đáp án D.

Câu 42: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .

A. I = sin(4x + 2) + C    B. I = - sin(4x + 3) + C

C. I = (1/4).sin(4x + 3) + C   D. I = 4sin(4x + 3) + C

Đặt u = 4x + 3

⇒ du = 4dx ⇒ dx = 1/4 du và cos(4x+3)dx được viết thành

Câu 43: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 tanx + cotx)² là:

A. 2tanx - cotx - x + C     B. 4tanx + cotx - x + C

C. 4tanx - cotx + x + C     D. 4tanx - cotx - x + C

∫(2tanx + cotx)²dx = ∫(4tan²x + 2tanx.cotx + cot²x)dx

= ∫ [4(tan²x + 1) + (cot²x + 1) - 1]dx

= 4tanx = cotx - x + C

Câu 44: Biết rằng: f'(x) = ax + b/x², f(-1) = 2, f(1) = 4, f'(1) = 0

Giá trị biểu thức ab bằng :

A.0    B.1    C.-1     D. 1/2 .

Ta có:

Từ điều kiện đã cho ta có phương trình sau:

Câu 45: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng

và lúc đầu đám vi khuẩn có 250000 con. Sau 10 ngày số lượng vi khuẩn xấp xỉ bằng:

A. 264334     B. 263334    C.264254     D.254334.

Số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t bằng

Với t = 0 ta có: N(0) = 250000,

Vậy N(t) = 8000.ln(1 + 0,5t) + 250000

khi đó N(10) ≈ 264334.

Câu 46:

Ta biến đổi để thu được:

Câu 47.Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^2x.3^x.7^x .

Câu 48: Họ nguyên hàm của hàm số

Câu 49: Họ nguyên hàm của hàm số

A. cot2x + C     B. -2cot2x + C    C. 2cot2x + C     D. -cot2x + C

.

Câu 50: Tìm I = ∫sin5xcosxdx .